文档内容
13.5 轴对称-最短路径问题
【考点1：两定一动-作图】
【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【考点4：一定两动-求角度】
基本图模
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.
2.
已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
方法总结：
1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【考点1：两定一动-作图】
【典例1】如图：直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路m上修建一个车站
P，使其到两所大学的距离之和最小，请在图上确定点P的位置．
【变式1-1】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长
最小，请在图中规范地做出M、N两点的位置，并说明理由．
【变式1-3】如图，要在河边修一个水泵站，分别向A、B两村送水，已知A、B两村到江
边的距离分别为2km和7km，且A、B两村相距13千米．
（1）水泵站应修建在何处，可使所用水管最短，请在图中设计出水泵站P的位置；
（2）若铺设水管的费用为每千米4500元，为了使铺设水管费用最节省，请求出最节省
铺设水管的费用为多少元？【考点2：两定一动-求周长/线段和最小值/角度】
【典例2】如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分
线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则
△CDM周长的最小值是（ ）
A．11 B．13 C．18 D．24
【变式2-1】如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝3.5，BC的垂直平分线MN交AB
于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4.5
【变式2-2】（2023春•老城区校级月考）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积
是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，
点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式2-3】（2023•新荣区三模）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E
是 AC 边的中点，点 P 是 AD 上的一个动点，当 PC+PE 最小时，∠PCD 的度数是
（ ）A．90° B．60° C．45° D．30°
【考点3：一定两动-求线段和/周长/角度最小】
【典例3】已知∠AOB＝30°，在∠AOB内有一定点P，点M，N分别是OA，OB上的动
点，若△PMN的周长最小值为3，则OP的长为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．
【变式3-1】（2023•紫金县校级开学）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M
和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB
的度数是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
【典例4】（2023春•市中区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最
小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【变式4-1】（2023春•高州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝
8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是
（ ）A．9.6 B．8 C．6 D．4.8
【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC
的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【考点4：一定两动-求角度】
【典例5】如图，在四边形ABCD中，∠C＝ °，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上
的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度α 数为（ ）
A． B．2 C．180﹣ D．180﹣2
【变式α6-1】如图，在四边形AαBCD中，∠C＝72°，∠B＝α∠D＝90°，M，N分别α是BC，
DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．72° B．36° C．108° D．38°
【变式6-2】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是（ ）
A．50° B．70° C．90° D．100°
【变式6-3】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝ ，在AB、BC上分别找一
点E、F，使△DEF的周长最小．此时，∠EDF＝（ ） α
A． B．90°﹣ C． D．180°﹣2
α α α
一、单选题
1．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到
送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）．
A． B．
C． D．
2．如图，等腰△ABC的底边BC长为3，面积是12，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，
AB于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，则△CDM周长的最小值
为（ ）A．4 B．9.5 C．12.5 D．16
3．如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ．再分别以点
P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交
BC于点D．已知AB=AC=10，AD=8，BC=12．若点M、N分别是线段AD和线段
AB上的动点，则BM+MN的最小值为（ ）
A．10 B．12.8 C．12 D．9.6
4．如图，在锐角三角形ABC中，AB=4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、
N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，已知直线l垂直平分AB，点C在直线l的左侧，且AB=9，AC=7，BC=5，P
是直线l上的任意一点，则PB+PC的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
6．如图，在△ABC中，AB=3,AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长
的最小值是（ ）A．12 B．6 C．7 D．8
7．如图，四边形ABCD中，∠A=40°，∠B=∠D=90°，M，N分别是AB，AD上的
点，当△CMN的周长最小时，则∠MCN的度数为（ ）
A．40° B．80° C．90° D．100°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，如果点D，E分别
为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
9．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上
的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个
动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（ ）A．30° B．45° C．60° D．90°
11．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是
射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=6，则AB的长
为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
12．如图，等边△ABC的边长为1，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线
l对称，D为线段BC′上的一个动点，则AD+CD的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10，BD平分∠ABC，如
果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是（ ）A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的
平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
