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培优点 6 隐圆(阿波罗尼斯圆)问题
隐圆问题近几年在高考题和各地模拟题中都出现过，难度为中高档，在题设中没有明确
给出圆的相关信息，而是隐含在题目中，要通过分析、转化、发现圆(或圆的方程)，从而最
终利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐圆问题”．
考点一 利用圆的定义、方程确定隐形圆
例1 (1)(2022·滁州模拟)已知A，B为圆C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0上的两个动点，P为弦
AB的中点，若∠ACB＝90°，则点P的轨迹方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝
D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
(2)(2022·茂名模拟)已知向量a，b 满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，若向量c满足|a＋b－2c|＝
1，则|c| 的取值范围是( )
A．[1，－1] B.
C. D.
跟踪演练1 (2022·平顶山模拟)已知M，N为圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上两点，且|MN|＝4，
点P在直线l：x－y＋3＝0上，则|PM＋PN|的最小值为( )
A．2－2 B．2
C．2＋2 D．2－
考点二 由圆周角的性质确定隐形圆
例2 (1)已知点P(2，t)，Q(2，－t)(t>0)，若圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上存在点M，使得
∠PMQ＝90°，则实数t的取值范围是( )
A．[4,6] B．(4,6)
C．(0,4]∪[6，＋∞) D．(0,4)∪(6，＋∞)
(2)(2022·长沙雅礼中学质检)已知直线l：x－y＋4＝0上动点P，过P点作圆x2＋y2＝4的两条
切线，切点分别为C，D，记M是CD的中点，则直线CD过定点________，点M的轨迹方
程为______________________________．
跟踪演练2 (2022·北京海淀区模拟)在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋m(k≠0)与x轴和y
轴分别交于A，B两点，|AB|＝2，若CA⊥CB，则当k，m变化时，点C到点(1,1)的距离的
最大值为( )
A．4 B．3 C．2 D.
考点三 阿波罗尼斯圆
例3 (2022·江西省重点中学联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，长轴
1 2
长为AA，短轴长为BB，动点M满足＝2，若△MA A 面积的最大值为8，△MB B 面积的
1 2 1 2 1 2 1 2最小值为2，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
跟踪演练3 若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则|PA|2＋|PB|2的最大值为
( )
A．16＋8 B．8＋4
C．7＋4 D．3＋
