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15.2 画轴对称的图形
题型一 车牌号码的镜面对称
1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）雨后从地面水洼处观察到一辆小汽车的车牌号为 ，
它的实际车牌号是 ．
2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一个汽车牌照在水中的倒影为 ，则该汽车牌
照号码为 ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）一个车牌号码在水中的倒影如图所示，则该车牌号码为 ．
4．（2023八年级上·江苏·专题练习）一轿车的车牌在水中的倒影是 ，则该车的牌照
号码为 ．
题型二 钟表的镜面对称
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，这是小张在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则
此刻的实际时间应该是 ．2．（23-24八年级上·河南漯河·期中）平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在
梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是 ．
3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，这是小明在平面镜里看到背后墙上电子钟显示的时间，此刻
的实际时间应该是 ．
4．（21-22八年级上·江苏盐城·期中）在镜子中看到时钟显示的时间 ，则实际时间是 ．
题型三 设计轴对称图案
1．（24-25八年级上·吉林·期中）轴对称（或称对称轴）的概念早在古希腊时期就已经出现．古希腊哲学
家柏拉图在其著作《会晤篇》中，就提到了“对称”的概念，并阐述了对称的重要性．在数学和物理学等
领域中，轴对称一直都是一个重要的概念，被广泛应用于各种理论和实践中．如图是由三个阴影的小正方
形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）在图 分别补充 个小方块，在图 中分别补充 个小方
块，分别使它们成为轴对称图形．
3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）请在下列 的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图
中的三角形经过轴对称变换得到的图形，且所画的三角形的顶点都在格点上（如图），并将所画的三角形涂上阴影．（注：所画的三角形不能重复）
4．（24-25八年级上·四川广安·期中）如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形
涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
图乙与图丙是一种涂法，请在图 中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全
等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
题型四 轴对称在坐标系中的应用
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图， 的顶点都在格点上，其中 ， ， ．(1)画出 关于 轴对称的图形 并写出点 ， ， 的坐标；
(2)画出 关于直线 对称的 ，若点 是 内一点，请写出 内对称点 的坐
标
2．（24-25八年级上·天津·期中）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 、 、 ．
(1)将 沿y轴翻折，画出 关于y轴对称的图形 ，并直接写出 点的坐标 ；
(2)直接写出点 关于x轴对称的点 的坐标 ；
(3)若以D、B、C为顶点的三角形与 全等，请画出所有符合条件的 （ 点D与点A重合除
外）．3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图， 在平面直角坐标系中，其顶点坐标如下： ，
， ．
(1)作 关于 轴对称的图形 ．其中 ， ， 分别和 ， ， 对应；
(2)点 ， ， 对应的坐标分别为 ___________； ____________； ___________；
(3)求 的面积．
4．（24-25八年级上·安徽六安·期末） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点
上．
(1)作出 关于x轴对称的 ；
(2)在y轴上求作点D，使得 的值最小，点D的坐标为______．题型一 线段问题
1．（24-25八年级上·北京·期中）在 中， ，射线 的夹角为 ，过点
作 于点 ，直线 交 于点 ，连接 ．
(1)如图 ，射线 都在 的内部．
设 ，则 _______（用含有 的式子表示）；
在直线 上取一点 ，使得 ，则线段 与图 中已有线段_______的长度相等．
(2)如图 ，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段
之间的数量关系，并证明．
2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为
．
(1)画出 关于 轴的对称图形为 ，并写出顶点 的坐标；(2)画出 关于直线 所对称的图形 ，并写出顶点 的坐标；
(3)在 轴上画出点 ，使 的周长最小．
3．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在直角坐标系中，已知点 ，直线l
是第二、四象限的角平分线．
(1)操作：连结线段 ，作出线段 关于直线l的轴对称图形 ．
(2)发现：请写出坐标平面内任一点 关于直线l的对称点 的坐标．
(3)应用：请在直线l上找一点Q，使得 最小，并写出点Q的坐标．
4．（23-24八年级上·北京海淀·开学考试）(1)如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
(2)如图2，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使彻E、F、M、N，四点组
成的四边形的周长最短，找出E、F两点，保留作图痕迹．
题型二 面积问题
1．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别为
， ， （每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．(1)请在下图中画出与 关于y轴对称的 ；
(2)求 的面积；
(3)在x轴上是否存在点P，使得 ，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
2．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系 中，点 ，过点 作x轴的垂
线l，点A关于直线l的对称点为B．
(1)点B的坐标为_____________；
(2)已知点 ，点 ，在图中描出点B，C，D，顺次连接点A，B，C，D．
①在四边形 内部有一点P，满足 且 ，则此时点P的坐标为_____________，
_____________；
②在四边形 外部是否存在点Q，满足 且 ，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，依已知 ， ，
．
(1)作出 关于 轴对称的 ；
(2)求 的面积；
(3)若点 在 轴上，求 的最小值．
4．（23-24八年级上·广东茂名·期中）如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
(1)在图中作出 关于y轴的对称图形 ．
(2)写出点 ， ， 的坐标．
(3)求出 的面积．
题型三 最值问题
1．（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点
A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出与 关于直线l成轴对称的 ；
(2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与
△ABC全等的格点三角形；
(3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短．
2．（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下
列各题．
(1)画出格点 关于直线 对称的 ；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作 中 边上的高；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在 上画出点P，使 最小．
3．（21-22八年级上·河南焦作·期末）如图，已知 的顶点分别为 ， ， ．(1)作出 关于x轴对称的图形 ，并写出点 的坐标；
(2)若点 是 内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是________．
(3)在x轴上找一点P，使得 最小（画出图形，找到点P的位置）．
4．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图1，直线 于点B， ，点D为 中点，一条光
线从点A射向D，反射后与直线l交于点E（提示：作法线）．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接 交 于点F，连接 交 于点H， ，求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，点P是 边上的动点，连接 ， ， ， ，求
的最小值．
1．（24-25八年级上·北京·期中）在平面直角坐标系 中，已知点 ，将经过点 垂直于x轴的直线记为直线 ，将经过点 且垂直于y轴的直线记为直线 ．对于点P给出如下定义：将点P
关于直线 对称得到点 ，则称点 为点P关于直线 的“一次对应点”，再将点 关于直线
对称得到点Q，称点Q为点P关于M的“二次对应点”．
已知 顶点坐标为 ．
(1)如图1，若点 ．
①将点 关于直线 对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点 ，则点
关于点M“二次对应点”为 ．请直接写出点 关于直线 的“一次对应点”：_________；点
关于点M的“二次对应点”：___________；
②若点 和点 关于M的“二次对应点”分别为点 和点 ，且线段 与 的边
没有公共点，求n的取值范围；
(2)若点B关于点M的“二次对应点”为点 ，且以A、B、 为顶点的三角形恰与 全等，请直接
写出所有满足条件的点M的坐标：___________．
2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）情景探究
【问题情景】学习了“最短路径问题”后，张老师结合七年级学习的坐标系的知识，将课本上的“饮马问题”放置在坐标系中，设计了下面的问题：如图，在平面直角坐标系中， ，在x轴上找一
点C，使得 的值最小．你能求出点C的坐标吗？
【方法探究】
（1）小明按照课堂上学习的方法在图1先画出点A关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点C，则此时
的值最小；然后连接 ，利用 列方程求出点C的坐标．请按小明的方法完
成画图，并求出点C的坐标；
【类比推广】
（2）小强受到启发，他将课本上的“造桥选址”问题放在坐标系中，设计了如下问题：如图2，在平面直
角坐标系中， ，直线m经过点 ，且与x轴平行，分别在x轴和直线m上找点M，
N，使得 轴，且 的值最小，请在图2中画出点M和点N的位置，并求出点M，N的坐标；
【拓展创新】
（3）如图3，在平面直角坐标系中， ，C是 的中点， 交 于点D，求点D
的坐标．
3．（23-24八年级上·北京东城·期末）对于平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下定义：
若图形 上存在点 ，满足 ，则称图形 是点 的“ 关联图形”．(1)已知原点 是点 的“ 关联图形”，则点 的坐标是_______；
(2)如图1，已知点 ， ，当线段 是点 的“ 关联图形”时，在图1中画出所有满足条
件的点 所形成的图形，并指出线段 可以通过怎样的几何变换得到该图形；
(3)如图2，已知 是点 的“ 关联图形"，其中点 ， ， ．
①当点 在第一、三象限角平分线上时， 的取值范围是_______；
②当 时，请在图3中画出所有满足条件的点 所形成的区域，并直接写出该区域的面积．
4．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系 中，经过点 ，且平行于x轴的
直线记作直线 ．我们给出如下定义：点 先关于y轴对称得到点 ，再将点 关于直线
对称得到点 ，则称点 为点P关于y轴和直线 的“青一对称点”．举例：如图， 先关于y轴
对称得到点 ，再将点 关于直线 对称得到点 ，则称 为点P关于y轴和直线
的“青一对称点”．(1)点 关于y轴和直线 的“青一对称点” 的坐标是______．
(2)点 关于y轴和直线 的“青一对称点” 的坐标是 ，求m和n的值．
(3)若 关于y轴和直线 的“青一对称点” 在第四象限，且得到关于x的取值范围内的
所有整数解之和为5，求m的取值范围．
