文档内容
第7讲 截面、交线问题（新高考专用）
目录
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】截面问题.......................................................................................................................2
【考点二】交线问题.......................................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................6
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
“截面、交线”问题是高考立体几何问题最具创新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静
态的立体几何题赋予了活力．求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、扇形弧长、面积等相结
合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解．
考点突破
【考点一】截面问题
一、单选题
1．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知正方体 中，点 、 满足 ，则
平面 截正方体 形成的截面图形为（ ）
A．六边形 B．五边形
C．四边形 D．三角形
2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方体 中， 为 中点， 为线段 上一动点，
过 的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）
A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
二、多选题
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正四面体 ，过点 的平面将四面体的体积平分，则下列命题
正确的是（ ）
A．截面一定是锐角三角形 B．截面可以是等边三角形
C．截面可能为直角三角形 D．截面为等腰三角形的有6个
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，M为平面ABCD内一动
点，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．若M在线段AB上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与AB所成的角为 ，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线 ， 所成角为
三、填空题
5．（2024·陕西西安·模拟预测）正方体 中， 是棱 的中点， 在侧面 上运动，
且满足 平面 .以下命题正确的有 .
①侧面 上存在点 ，使得
②直线 与直线 所成角可能为
③平面 与平面 所成锐二面角的正切值为
④设正方体棱长为1，则过点 的平面截正方体所得的截面面积最大为
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学科网（北京）股份有限公司6．（23-24高三下·江西·开学考试）在正四面体 中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接
球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则 ；若记该正四面体和其外接球
的体积分别为 和 ，则 ．
规律方法：
作几何体截面的方法
(1)利用平行直线找截面．
(2)利用相交直线找截面．
【考点二】交线问题
一、单选题
1．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）在正方体 中，点 为线段 上的动点，直线 为平面
与平面 的交线，现有如下说法
①不存在点 ，使得 平面
②存在点 ，使得 平面
③当点 不是 的中点时，都有 平面
④当点 不是 的中点时，都有 平面
其中正确的说法有（ ）
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
2．（2024·江西宜春·模拟预测）在正六棱柱 中， ， 为棱 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司则以 为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·贵州·模拟预测）如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ， .设
平面 与平面 的交线为 ，点 为 上的点， 为 上的点.下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．四棱锥 外接球的半径为
C．点 到 的距离为
D．三棱锥 的体积为
4．（2024·湖北荆州·三模）如图，正八面体 棱长为2．下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为
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学科网（北京）股份有限公司C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥 的体积为定值
D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为
三、填空题
5．（2024·山东·二模）三棱锥 中， 和 均为边长为2的等边三角形， 分别在棱
上，且 平面 平面 ，若 ，则平面 与三棱锥 的交线围成
的面积最大值为 ．
6．（2024·陕西安康·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，过面对角线 的平面记为 ，
以下四个命题:
①存在平面 ，使 ;
②若平面 与平面 的交线为 ，则存在直线 ，使 ;
③若平面 截正方体所得的截面为三角形，则该截面三角形面积的最大值为 ;
④若平面 过点 ，点 在线段 上运动，则点 到平面 的距离为 ．
其中真命题的序号为 ．
规律方法：
找交线的方法
(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点．
(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线．
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学科网（北京）股份有限公司专题精练
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都
为一个面积为 的圆，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东枣庄·一模）在侧棱长为2的正三棱锥 中，点 为线段 上一点，且 ，
则以 为球心， 为半径的球面与该三棱锥三个侧面交线长的和为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·辽宁·阶段练习）已知在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱
， 和 上，且 ， ， ，记平面 与侧面 ，底面 的交线分别
为 ， ，则（ ）
A． 的长度为 B． 的长度为
C． 的长度为 D． 的长度为
4．（2023·河南·模拟预测）如图，在三棱锥 中， 两两垂直，且 ，以
为球心， 为半径作球，则球面与底面 的交线长度的和为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
5．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）圆台上、下底面半径分别为 ，作平行于底面的平面 将圆台分成上
下两个体积相等的圆台，截面圆的半径为（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．（2024·福建泉州·一模）泉州花灯技艺源于唐朝中期从形式上有人物灯、宫物灯、宫灯，绣房灯、走马
灯、拉提灯、锡雕元宵灯等多种款式．在2024年元宵节，小明制做了一个半正多面体形状的花灯，他将正
方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面
体，如图所示．已知该半正多面体的体积为 ，M为 的中心，过M截该半正多面体的外接球的截
面面积为S，则S的最大值与最小值之比（ ）
A． B． C．3 D．9
7．（2024·四川绵阳·模拟预测）在长方体 中， ，点 是线段 上靠
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学科网（北京）股份有限公司近 的四等分点，点 是线段 的中点，则平面 截该长方体所得的截面图形为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥 为 中点， 为直二面
角，且 为二面角 的平面角，三棱锥 的外接球 表面积为 ，则平面 被
球 截得的截面面积及直线 与平面 所成角的正切值分别为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·江苏盐城·一模）已知直四棱柱 ， ，底面 是边长为1的菱形，
且 ，点E，F，G分别为 ， ， 的中点，点H是线段 上的动点（含端点）.以
为球心作半径为R的球，下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 所成角的正切值的最小值为
B．存在点H，使得 平面
C．当 时，球 与直四棱柱的四个侧面均有交线
D．在直四棱柱内，球 外放置一个小球，当小球体积最大时，球 直径的最大值为
10．（2024·山东·模拟预测）如图在四棱柱 中，底面四边形 是菱形， ，
， 平面 ， ，点 与点 关于平面 对称，过点 做任意平面
，平面 与上、下底面的交线分别为 和 ，则下列说法正确的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．平面 与底面 所成的角为
C．点 到平面 的距离为1 D．三棱锥 的体积为
11．（2024·安徽·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，以A， 为焦点的椭圆，绕着轴
旋转180°得到的旋转体称为椭球 ，椭圆的长轴就是椭球的长轴，若椭球 的长轴长为2，则下列
结论中正确的是（ ）
A．椭球 的表面与正方体 的六个面都有交线
B．在正方体 的所有棱中，只有六条棱与椭球 的表面相交
C．若椭球 的表面与正方体 的某条棱相交，则交点必是该棱的一个三等分点
D．椭球 的表面与正方体 的一个面的交线是椭圆的一段
三、填空题
12．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知正四面体棱长为2，所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体
所得的截面之和为 ．
13．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知正四棱柱 中， 为 的中点，则平
面 截此四棱柱的外接球所得的截面面积为 .
14．（2024·广东茂名·二模）如图，在梯形 中， ，将
沿直线 翻折至 的位置， ，当三棱锥 的体积最大时，过点 的平面截三棱
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学科网（北京）股份有限公司锥 的外接球所得的截面面积的最小值是 .
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