文档内容
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第2课时 三角形的中位线
（2个知识点+6大题型+15道拓展培优题）
分层作业
题型目录
题型一 利用三角形中位线求线段长
题型二 利用三角形中位线求角度
题型三 三角形中位线与三角形面积问题
题型四 与三角形中位线有关的证明问题
题型五 三角形中位线的实际应用
题型六 三角形中位线的综合大题
【知识梳理】
知识点1：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长
1 1
为原三角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点2：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.题型一 利用三角形中位线求线段长
1．如图，菱形 中，对角线 、 交于点O，菱形 周长为24，点P是边 的中点，则线
段 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
2．如图，在 中， ， ， ， 是线段 上靠近点 的一个三等分点，延
长 到点 ，使得 ，连接 ．若 ， 分别是 ， 的中点，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．5
3．如图，在 中，D，E分别是 的中点， ，F是线段 上一点，连接 ，
．若 ，则 的长度是 ．
4．如图，在正方形 中，点E，F分别是 上的点， 相交于点L， ，G为
上一点，H为 的中点．若 ， ，连接 ，则线段 的长度为 ．5．如图， 于点 于点 ，连接 分别为 的中点，连接 ．
(1)求证： ．
(2)猜想线段 之间的数量关系并证明．
题型二 利用三角形中位线求角度
1．如图，在四边形 中，点E、F分别是边 、 的中点， ， ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形 中，G是对角线 的中点，点E、F分别是 、 的中点， ，
°， ．则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，在四边形 中，P是对角线 的中点，E、F分别是 、 的中点， ，，则 的度数是 .
4．如图，在平行四边形 中，点E在边 上，连接 并延长至点F，使 ，连接 并延长
至点G，使 ，连接 若 ， ，则 的度数为
5．如图，在四边形 中，点P是对角线 的中点，点E、F分别是 、 的中点， ，
，求 的度数．
题型三 三角形中位线与三角形面积问题
1．如图， 是 内部一点， ，且 ， ，依次取 ， ， ， 的中点，
并顺次连接得到四边形 ，则四边形 的面积是（ ）A．12 B．16 C．24 D．48
2．如图，在正方形纸板 中， 为对角线， ， 分别为 ， 的中点， 分别交 ，
于 ， 两点， ， 分别为 ， 的中点，连接 ， ，沿图中实线剪开即可得到一副七巧
板．若 ，则四边形 的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知三角形的各边长分别为 ， ， ，则以各边中点为顶点的三角形的面积是 ．
4．已知三角形的各边长分别是 ， ， ，则以各边中点为顶点的三角形面积是 ．
5．已知：在 中， ，点 分别是 的中点．
(1)如图1，若 ，请判断四边形 的形状，并证明你的结论；
(2)如图2，若 ， ，求四边形 的周长和面积．
题型四 与三角形中位线有关的证明问题
1．如图，已知 是 的中线， 、 分别是 、 边上的中点，则下列说法正确的个数是
（ ）
① ；② ；③ 和 互相平分；④连接 ，则四边形 是平行四边形；⑤
．A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，在四边形 中，E、F、G、H分别是 边的中点，则下列条件能使得四边
形 为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点E，F，G，H分别是四边形 的边 ， ， ， 的中点，连接四边形 各边
中点，当四边形 满足 条件，四边形 是矩形．
4．如图，点 、 、 、 分别是四边形 边 、 、 、 的中点，若四边形 是菱
形，则四边形 的对角线 和 需要满足的条件是 ．
5．如图，在四边形 中， ，点P是对角线 的中点，M是 的中点，N是 的中点，
延长线段 交 的延长线于点E，延长线段 交 的延长线于点F．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的大小．
题型五 三角形中位线的实际应用
1．要测量池塘两岸 的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点 ，得到线段 ，并取
的中点 ，连结 ，则他只需测量哪条线段的长度．（ ）
A． B． C． D．
2．如图，要测量被池塘隔开的 ， 两点的距离，先在池塘外选一点 ，连接 ， ，然后找出它们
的中点 ， ，连接 ．测得 ， ， ，根据给定的条件，推断 的长等于
（ ）
A． B． C． D．3．要测池塘 ， 两地的距离，小明想出一个方法：如图，在池塘外取点 ，得到线段 ， ，并取
， 的中点 ， ，连接 ，测得 米，则 ．
4．如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地 已知 分别是 的中点，测得
，李叔叔想把四边形 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是
5．如图1，在平行四边形 中，点E、F分别为 ， 的中点，点G，H在对角线 上，且
．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)如图2，连接 交 于点O，若 ， ， ，求 的长．
题型六 三角形中位线的综合大题
1．如图，在 中， ， ，点D，E分别是 边上的动点，连结 ，F，M分
别是 的中点，则 的最小值为（ ）A．12 B．10 C．9.6 D．4.8
2．在如图所示的 中，点D，E在边AB上， 的平分线 于F， 的平分线
于H，若 ， ，则 的周长为（ ）
A．10 B．12 C．18 D．20
3．如图，在菱形 中， ， ， 交 于点 ， 为 的中点，连接 并延长，交
于点 ，点 为 的中点，连接 ，则 ．
4．如图，D是等边三角形 的边 上一点，四边形 是平行四边形，点F在 的延长线上，G
为 的中点．连接 ，若 ， ，则 的长为 ．
5．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①， 中，若 ，求 边上的中线 的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 至点E，使 ，连接 ．请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到 ，依据是_____．
A． B． C． D．
（2）由“三角形的三边关系”可求得 的取值范围是_____．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件
和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
【初步运用】
如图②， 是 的中线， 交 于E，交 于F，且 ．若 ，则线段
的长 _____．
【灵活运用】
如图③，在 中， ，D为 中点， 交 于点 交 于点F，连接
，试猜想线段 三者之间的等量关系，并证明你的结论．
1．（2023上·河南焦作·九年级统考期中）如图，正方形 和正方形 的边长分别为6和2，点
F，G分别在边 ， 上，P为 的中点，连接 ，则 的长为（ ）
A．5 B．5 C． D．52．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，D是 的中点，
E是 上一点，若 平分 的周长，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ， ， ，
点 、 分别是边 、 上的动点．连接 ，点 为 的中点，点 为 的中点，连接 ．
则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2023上·河南周口·九年级校联考期末）如图， 、 分别是 的中线和角平分线， ，
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河南平顶山·九年级校考阶段练习）如图，在矩形 中，点 ， 分别是边 ， 的
中点，连接 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，若 ， ，则 的长度
为（ ）A． B． C． D．
6．（2023下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知矩形 ， ， ， 平分
交 于点E，点F、G分别为 、 的中点，则 ．
7．（2023上·吉林·八年级校考期中）如图，在等边 中 ，点D是 的中点，P是 上的
动点，E是 的中点，则 的最小值为 cm．
8．（2024上·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校联考阶段练习）如图， 中， ，
， ，点 为 边上的中点，将 沿 对折，使点 落在同一平面内的点 处，连
接 ，则 的长为 ．
9．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ， ， ，若 ，
， 则 的长度为 ．10．（2024上·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知 ，延长直角边 至点 ，使 ，
为直角边 上的点，且 ，连接 ， ， 分别为 ， 的中点，连接 ，则 ．
11．（2024下·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图， 是 的中位线，延长
至点 ，使 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形．
(2)若 ，试判断 的形状，并说明理由．
12．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）已知，如图 中，点 是边 的中点，点 是 的中点，
连接 并延长交边 于点 ．求边 的长．13．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，对角线 ， 交
于点 ，点 ， 分别是 ， 延长线上的点，且 ， ，连接 ，点 为 的中点．连
接 ，交 于点 ，连接 ．
(1)猜想： 是 的中点吗？并加以证明；
(2)求 的长．
14．（2023上·山东泰安·八年级统考期末）在四边形 中， ，E、F分别是 的中点．
(1)如图1，若M是 的中点，求证： ．
(2)如图2，连接EF并延长，分别与 的延长线交于点M、N，求证： ．
(3)如图3，在 中， ，D点在 上， ，E、F分别是 的中点，连接 并延
长，与 的延长线交于点G，若 ，连接 ，判断 的形状并说明理由．15．（2024上·浙江湖州·八年级统考期末）如图1， 中， ， 于点E， 于
点D， ， 与 交于点F，连结 ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数；
(3)如图2， ，点P是线段 上一点，连结 ，将 沿直线 翻折，使得点C落在同一平
面内的点 处，当 为等腰三角形时，求 的长．
