文档内容
二模模拟卷03-新题型 数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
是偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平移求出函数 ，由 是偶函数求出 ，进而得出 的值．
【详解】∵函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，
所得图象对应的函数 ，
又函数 是偶函数，∴ ，∴ ．
由 ，可得 ，
∴ ， ，
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查图象的变换，考查奇偶性的应用，属于基础题．2．设复数 满足 （其中 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算得到 ，进而得到其共轭复数即可.
【详解】 ， ，
的共轭复数为 ，
故选B.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，考查计算能力，属于基础题.
3．已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直时数量积为0，可以列出两个等式，整理后代入数量积的公式里可得 和 夹角的
余弦值.
【详解】∵ 且
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴ 和 的夹角为
故选A.
4．木桶作为一种容器，在我国使用的历史已经达到了几千年，其形状可视为一个圆台．若某圆台形木桶
试卷第2页，共15页上、下底面的半径分别为15cm，8cm，母线长为25cm，木板厚度忽略不计，则该木桶的容积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用圆台的体积公式求解即可
【详解】由题意可知，圆台形木桶的高为 （cm），
所以该木桶的容积为 ，
故选：D．
5．函数 的导数为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因 ，故应选答案A．
6．已知函数 ，若 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合三角变换先对 变形，再结合正弦函数的单调性，即可求解．
【详解】
因为 ，则 ,因为 在区间 上是单调函数，
则 ，解得 ，
又 ，
实数 的取值范围是 ．
故选：A．
7．某生产厂商更新设备，已知在未来 年内，此设备所花费的各种费用总和 （万元）与 满足函数关系
，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限 为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由题知，平均话费为 ，再根据基本不等式求解即可.
【详解】解：平均话费为 ，当且仅当 ， 时，等号成立.
故选：B．
8．在一次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是错误选项，甲、乙两名同
学都完全不会这道题目，只能在4个选项中随机选取两个选项．设事件 “甲、乙两人所选选项恰有一
个相同”，事件 “甲、乙两人所选选项完全不同”，事件 “甲、乙两人所选选项完全相同”，事
件 “甲、乙两人均未选择B选项”，则（ ）
A．事件M与事件N相互独立 B．事件X与事件Y相互独立
C．事件M与事件Y相互独立 D．事件N与事件Y相互独立
【答案】C
【分析】根据互斥、相互独立事件的乘法公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：
①有一个选项相同，②两个选项相同，③两个选项不相同，
所以 ， ， ， ，
试卷第4页，共15页因为事件 与事件 互斥，所以 ，又 ，
所以事件M与事件N不相互独立，故A错误；
，故B错误；
由 ，则事件M与事件Y相互独立，故C正确；
因为事件N与事件Y互斥，所以 ，又 ，
所以事件N与事件Y不相互独立，故D错误.
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于先求出 ， ， ， ，再根据互斥、相互独立
事件的乘法公式对选项一一判断即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（多选）2020年2月，全国“停课不停学”期间，各地教师通过网络直播、微课推送等方式来指导学
生线上学习.为了调查学生对网络课程是否喜爱，研究人员随机调查了相同人数的男、女学生，发现男生中
有80%喜欢网络课程，女生中有40%不喜欢网络课程，且有95%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，但
没有99%的把握认为喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男、女学生的总人数可能为（ ）
A．120 B．130 C．240 D．250
【答案】AB
【分析】根据题意设男、女生的人数各为 ，建立 列联表，计算 ，列不等式组求出 的取值范围，
即可确定满足条件的选项．
【详解】解：依题意，设男、女学生的人数均为 （ ），则被调查的男、女学生的总人数为 .建
立下表：
喜欢网络课程的情况 喜
不喜欢 总计
性别 欢
男
女总计
则 .由题意可知 ，即 .故A，B符合题意.
故选：AB
10．下面四个关于圆锥曲线的命题中，其中真命题为（ ）
A．设A、B为两个定点，K为非零常数，若 ，则动点P的轨迹是双曲线
B．方程 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
C．双曲线 与椭圆 有相同的焦点
D．已知抛物线 ，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切
【答案】BD
【分析】对A，根据双曲线的定义可知错误；对B，求出方程的两根，即可判断；对C，利用 的关系
判断；对D，利用抛物线的焦半径求解.
【详解】，
对A，当 且 ，点 的轨迹是双曲线，故A错误；
对B，方程 分别为 和 ，故两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故B正确；
对C，双曲线 中 ，椭圆 中 ，所以焦点坐标不一样，故C
错误；
对D，设弦AB的中点为 ，过 分别作抛物线准线的垂线，垂足为 ，则 ，
以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切，故D正确；
故选：BD.
【点睛】本题考查双曲线的定义、离心率、焦点坐标等概念，考查对概念的理解与应用.
11．已知正三棱锥 的底面边长为6，侧棱长为 ，则下列说法中正确的有（ ）
试卷第6页，共15页A．侧棱 与底面 所成的角为
B．侧面 与底面 所成角的正切值为
C．正三棱锥 外接球的表面积为
D．正三棱锥 内切球的半径为
【答案】BC
【分析】若 分别是 的中点，连接 ，找到侧棱 与底面 所成角的平面角，应用余弦
定理求角的大小；若 是底面中心，连接 、 ，找到侧面 与底面 所成角的平面角，由正三
棱锥的性质在直角三角形求二面角的正切值；由正三棱锥外接球的性质确定球心位置，进而求球的半径即
可得表面积；内切球的半径为 ，由 求半径即可.
【详解】若 分别是 的中点，连接 ，易知 为侧棱 与底面 所成角，
由题设， ， ， ，则 ，
∴ ，故A错误；
若 是底面中心，易知： 面 ，连接 、 ，则侧面 与底面 所成角为 ，
又 ， ，则 ，故B正确.
若外接球的半径为 ，则 ，解得 ，
∴正三棱锥 外接球的表面积为 ，故C正确.
由题设易知： ，若内切球的半径为 ，则 ，
又 ， ，则 ，故D错误.故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设全集为R，集合 集合 则 ；
； ．
【答案】 ； ；
【分析】解出集合 即可得答案.
【详解】解： ，
，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： ； ； ．
13．当曲线 与直线 有两个不同交点时，则 的取值范围为 ；
【答案】
【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过定点 ，画出图形，找到直线与半圆有两个交点的临界
状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.
试卷第8页，共15页【详解】由题可知，曲线 为圆心坐标 ，半径为1的半圆，
直线 过定点 ，画出图形：
由图可知， 的取值范围为 ，由直线AB与半圆相切得：
，
， ，
的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到
临界状态，易错点是忽略曲线y的范围，误认为曲线为圆.
14．已知 的内角 的对边分别为 且 , 为 内部的一点，且 ，
若 ，则 的最大值为 .
【答案】
【解析】将 利用向量的线性运算全部转化为以 为起点的向量，根据平面向量基本定理可将 用 表示，再利用余弦定理及基本不等式，即可求出结果．
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以
又 ，所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，又 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立．
所以 ，故 的最大值为 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查向量的线性运算，平面向量基本定理，余弦定理及基本不等式求最值，关键是利用
整体思想将 化为 ，属于难题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明在、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
在直角 中， ，延长 至点D，使得 ，连接 .
（1）若 ，求 的值；
（2）求角D的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）在 中，由正弦定理得， ，再结合在直角 中， ，然后
求解即可；
试卷第10页，共15页（2）由正弦定理及两角和的余弦可得 ，然后结合三
角函数的有界性求解即可.
【详解】解：（1）设 ，在 中，由正弦定理得， ，
而在直角 中， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 ；
（2）设 ，
在 中，由正弦定理得， ，
而在直角 中， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
根据三角函数有界性得， 及 ，解得 ，
所以角D的最大值为 .
【点睛】本题考查了正弦定理，重点考查了三角函数的有界性，属中档题.
16．（15分）
如图甲，在边长为4的等边三角形 中， ，将 沿 折起，使点 到达点 的位置，连
接 ，得到如图乙所示的四棱锥 ， 为线段 的中点.(1)求证： ；
(2)当翻折到平面 平面 时，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）由题意，根据线面垂直判定定理，结合等边三角形的性质，可得答案；
（2）由（1）证明垂直，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，结合夹角公式，可得答案.
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
在等边三角形 中 为线段 的中点，
知 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 面 ，故 .
（2）因为平面 平面 ，面 面 面
所以 面 ， 面 ，则 两两垂直，
故可建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ，则 ，
于是 ，
平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，
试卷第12页，共15页由 ，设 ，故 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
17．（15分）
记数列 的前 项和为 .
(1)证明 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，求使不等式 成立的 的最大值.
【答案】(1)证明见解析，
(2)6
【分析】（1）对已知等式变形结合等比数列定义即可求解；
（2）由题意结合裂项相消法求和，并结合数列单调性即可求解.
【详解】（1）由 ，
得 ，即 ，
所以 ，变形得 ，又 ，故数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，
所以 ，即 .
（2）因为 ，
所以 ，
.
因为 ，所以 ，即 .
设函数 .
因为 ，
所以 单调递增.
又 ，所以 ，
所以使 成立的最大正整数 的值为6.
18．（17分）
已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若方程 有两个实数解 ， ，证明： ．
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减.
试卷第14页，共15页(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数可求出结果；
（2）由（1）可知 在 时取得极大值，构造函数 ，利用导数判断 的
单调性，得到 与 的大小关系，再根据 ，结合函数 的单调性可
证不等式成立.
【详解】（1） ，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1）可知 在 时取得极大值，
因为方程 有两个实数解 ， ，所以可设 ，
令 ， ，
则
，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以 ，即 ，
则 ，
即 ，
因为 ， ，所以 ，
由（1）知， 在 上单调递减，
所以 ，即 .
【点睛】关键点点睛：第（2）问中，利用极值点构造函数 ，利用导数得到
的单调性，从而得到 与 的大小关系，得到 是解题关键.
19．（17分）
已知双曲线 （ ）的离心率为 ，且经过点 .
(1)求E的方程；
(2)若A，B是E右支上的不同两点，O是坐标原点，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由离心率、点在双曲线上及参数关系列方程组求参数，即可得方程；
（2）令 ，所以 ，令 且 ， ，联立椭圆并
应用韦达定理可得 ，进而求最小值.
试卷第16页，共15页【详解】（1）由题设 ，可得 ，则 .
（2）令 ，则 ，
所以 ，
由题设，可令 且 ， ，联立 ，
所以 ，且 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 ，而 ，
则 ，故 ，则 的最小值为 .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；（5）代入韦达定理求解.
试卷第18页，共15页
