文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.7 一次函数与一元一次方程 教学设计
一、教学目标：
1.通过函数图像初步体会一次函数与一元一次方程的内在联系;
2.了解一次函数与一元一次方程在解决问题过程中的作用和联系.
二、教学重、难点：
重点：对一次函数与一元-次方程的关系的理解；应用函数求解一元一次方程.
难点：对一次函数与一元一次方程的关系的理解.
三、教学过程：
问题引入
提出问题：
看下面两个问题之间的关系：
(1)解方程2x+20=0
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
分析：可以从以下三个方面进行思考
1.对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同.
2.从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？
3.若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？
知识精讲
◆对于2x+20=0和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？
◆从问题本质上看，(1)和(2)有什么关系？
从“数”上看◆若作出函数y=2x+20的图象，(1)和(2)有什么关系？
从“形”的角度看：
直线y=2x+20的图象与 x 轴
的交点坐标为________，这说明
方程2x+20=0的解是______.
一次函数与一元一次方程的关系
思考
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
(1) 2x+1=3； (2) 2x+1=0； (3) 2x+1=-1.
从“数”的角度看：解这 3 个方程相当于在一次函数 y=2x+1 的函数值分别为
3，0，-1时，求自变量x的值.
从“形”的角度看：
在直线 y=2x+1 上取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，它们的
横坐 标分别为_____________.
典例解析
例 1.一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17
米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17
解得 x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由2x+5=17 得 2x－12=0
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交
点为（6，0），得x=6.
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由右图可以看出当y=17时，x=6.【针对练习】已知一次函数y=-2x+2，根据图象回答：
(1)当y=0时，求x的值；
(2)当y=2时，求x的值.
解：(1)由图象可知：一次函数y=-2x+2与x轴的交点为(1，0)
∴ 当y=0时，x=1
(2)由图象可知：一次函数y=-2x+2与y轴的交点为(0，2)
∴ 当y=2时，x=0
例2.利用一次函数图象解方程5x-1=2x+5.
解：原方程变形为3x-6=0，并画出一次函数y=3x-6的图象.
由图象可知一次函数y=3x-6与x轴交点为(2，0)
因此，方程3x-6=0的解为x=2，
即方程5x-1=2x+5的解为x=2.
【针对练习】用函数图象求解下列方程．
(1)2x﹣3＝x﹣2； (2)x+3＝2x+1．
解:(1) 原方程变形为x-1=0，并画出一次函数y=x-1的图象.
由图象可知一次函数y=x-1与x轴交点为(1，0)
因此，方程x-1=0的解为x=1，
即方程2x-3=x-2的解为x=1.（2）原方程变形为-x+2=0，并画出一次函数y=-x+2的图象.
由图象可知一次函数y=-x+2与x轴交点为(2，0)
因此，方程-x+2=0的解为x=2，
即方程x+3=2x+1的解为x=2.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是( )
2.若直线y=ax+b过点A(0，2)和点B(-3，0)，则方程ax+b=0的解是( )
A.x=2 B.x=0 C.x=-1 D.x=-3
3.若关于x的方程4x-b=5的解为x=2， 则直线y=4x-b一定经过点( )A. (2，0) B. (2，5) C. (0，5) D. (5，2)
4.若方程x-2=0的解也是直线y= (2k-1)x+10与x轴的交点的横坐标，则k的值为( )
A.2 B.0 C.-2 D.±2
2
5.如图，一次函数y=- x-2的图象与x轴交于(-5，0)，与y轴交于(0，-2)，则当x=_____时，
5
2
y=0，即方程- x -2=0的解为_________.
5
6.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(3，0)， 则下列说法:①y随x的增大
而减小；②b>0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=3.其中说法正确的有___________.
7.如图，直线y=2x-1，结合图象回答下列问题:
(1)利用方程求直线y=2x- 1与x轴交点坐标;
(2)求方程2x-1=3的解.8.已知直线y=kx+b经过点A(2.5，0)，且与坐标轴所围成的三角形的面积为 6.25，求该直线
的函数解析式.
【参考答案】
1. C
2. D
3. B
4. C
5. -5，x=-5
6. ①②③
7. 解: (1) 当y=0时，得2x-1=0，解得x=0. 5，即直线y=2x-1与x轴交点坐标为
(0.5，0)；
(2)由图象可知x=2时，y=3，即方程2x- 1=3的解为x=2.
8. 解:∵直线y=kx+b经过点A(2.5,0)
∴2.5k+b=0，即b=-2. 5k
此时，一次函数解析式可写成y=kx-2.5k
当x=0，则y=-2.5k
∴直线y=kx+b与y轴交点B的坐标为(0，-2.5k)，与x轴交点A的坐标为(2.5，0)，
如图:
∵S =6.25
△AOB
1
∴ ×2.5×|-2.5k|=6.25
2
解得k =2，k =-2
1 2
代入b=-2.5k，解得b =-5， b =5
1 2
∴该直线的函数解析式为y=2x-5或y=-2x+5.四、教学反思：
在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要. 本节课是在一次
函数的基础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展.课堂教学充分体现了新课标的教学
理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生.
