文档内容
人教版初中数学八年级下册
19.2.8 一次函数与一元一次不等式 教学设计
一、教学目标：
1.通过函数图像初步体会一次函数与一元一次不等式的内在联系;
2.了解一次函数与一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系.
二、教学重、难点：
重点：理解一次函数与一元一次不等式的关系；会根据一次函数图像解决一元一次
不等式的问题.
难点：经历不等式与函数问题的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想.
三、教学过程：
复习回顾
上节课我看用函数观点，从“数”和“形”两个角度学习了一元一次方程求解问题.
如图：(1)当x=___时，一次函数y=x-2的值为0，则x=2是一元一次方程_______的解；
(2)一元一次方程x-2=1的解为_____，则当x=3时，一次函数y=x-2的值为___.
思考：当x为何值时，函数y=x-2对应的值大于0？
知识精讲
问题：
(1)解不等式2x-4＞0；
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？
解：(1)解得x＞2；(2)由2x-4＞0，解得x＞2，即当x＞2时，函数y=2x-4的值大于0.
在上面问题的解决过程中，你能发现它们之间有什么关系？
从“数”的角度看它们是同一个问题，只是表达的形式不同.
从“数”上看
根据一次函数与不等式的关系填空：(1)解不等式3x-6＜0，可看作_________________________________________________.
(2)“当自变量x取何值时，函数y=-5x+8的值大于0”可以看作_____________________.
解：画出直线y=2x-4，可以看出，当x＞2时，这条
直线上的点在x轴的上方，即这时，y=2x-4＞0.
因此不等式2x-4＞0的解集为x＞2.
从“形”的角度看它们也是同一个问题.
从“形”上看
根据下列一次函数的图象，直接写出下列不等式的解集.
(1) 3x+6＞0 (即y＞0)_________ (2) 3x+6≤0 (即y≤0)_________
(3) -x+3≥0 (即y≥0)_________ (4) -x+3＜0 (即y＜0)_________
一次函数与一元一次不等式的关系
思考：下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这 3个不等式进行解
释吗？
(1) 3x+2＞2； (2) 3x+2＜0； (3) 3x+2＜-1.
从“数”的角度看：
解这3个不等式相当于在一次函数y=3x+2的函数值分别大于2、
小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围.
从“形”的角度看：
在直线y=3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，
它们的横坐标分别满足____________________.典例解析
例1.画出函数y=x+2的图象，利用图象：
(1) 求不等式x+2<0的解集；
(2)若-1≤ y≤3，求x的取值范围．
解：（1）由图象知，不等式x+2<0的解集是x<-2；
（2）由图象知，当-1≤ y≤3时，x的取值范围是﹣3≤x≤1．
【针对练习】画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集;
（2）当x取何值时，y<3?
解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示,图象与x轴交于点B(2，0).
（1）由图象可知，不等式-3x+6>0 的解集是图象位于 x轴上方的x的取值范围,即x<2；不
等式 -3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2；
（2）当y=3时，x=1，由图象可知，当x>1时，y<3.例 2.如图，直线l ，l 相交于点 A，l 与 x 轴的交点坐标为(-1，0)，l 与 y 轴的交点坐标为
1 2 1 2
(0，-2)．
(1)求出直线l ，l 表示的一次函数关系式；
1 2
(2)当x分别取何值时，l ，l 表示的两个一次函数值分别大于0？
1 2
(3)当x取何值时，l 表示的函数值比l 的函数值大？
1 2
（1）解：设直线l 的函数关系式为y =kx+b，
1 1
{-k+b=0
将点(-1，0)，(2，3)代入，得 ，
2k+b=3
{k=1
解得 ，
b=1
∴直线l 的函数关系式为y =x+1；
1 1
设直线l 的函数关系式为y =mx+n，
2 2
{ n=-2
将(0，-2)，(2，3)代入，得 ，
2m+n=3
{ 5
m=
解得 2 ，
n=-25
∴直线l 的函数关系式为y = x-2.
2 2 2
5
（2）解：由图可知，当x>-1时，y >0，即直线l 的函数值大于 0；令y =0，由 x-2=0得
1 1 2 2
4
x= ，
5
4
∴当x> 时，y >0，即直线l 的函数值大于0．
5 2 2
（3）解：由图可知，当x<2时，l 表示的函数值比l 的函数值大．
1 2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.一次函数y=ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是( )
A.x≤2 B. x≥2 C. x≤4 D.x≥4
3
2.若直线y=kx+3经过点A( ，0)，则不等式kx+3≥0的解集是( )
2
3 3 3 3
A.x≥ B.x≤ C. x≤- D.x<-
2 2 2 2
3.已知关于 x的不等式 ax+1>0(a≠0)的解集为 x<1，则直线 y=ax+1与x轴的交点坐标是(
)
A. (0，1) B. (0，-1) C. (-1，0) D. (1，0)
4.如图，直线 y=kx+b 交坐标轴于 A(-3，0)，B(0，5)两点，则不等式-kx-b<0 的解集为(
)
A.x<-3 B. x>-3 C. x<3 D.x>35.一次函数y =kx+b与y =x+a的图象如图,则下列结论:①k<0；②a>0；③当x<3时，y y 时，x的取值范
1 2 1 2
3 3
围是( )
A.x<-1 B.-12 D.x<-1或x>2
7.如图，一次函数y=- -2x+2的图象与x轴交于(1, 0)，与y轴交于(0，2)，则①当x_____
时，y<0，即不等式-2x+2＜0的解集为______；②当x_____时，y≥2.
8.如图，一次函数 y=ax+b 的图象经过 A、B 两点，则关于 x 的不等式 ax+b<0 的解集是________.
9.若直线y=-2x+b经过点(3，5)，则关于x的不等式-2x+b<5的解集是________.
10.已知一次函数y =3x+3与y =-2x+8在同一直角坐标系内的交点坐标为(1，6)，则当y >y
1 2 1 2
时，x的取值范围是_________.
11.在如图的平面直角坐标系内画出一次函数y=3x-6的图象,根据图象求:
(1)当-1≤x≤3时，y的取值范围；
(2)当x取什么值时，y<0，y=0，y>0；
(3)当-62时，y>0.
(3)由图象知，当x=0时， y=-6；当x=1时，y=-3，
∴当-6
