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2023 年新高考数学仿真演练综合能力测试（一）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若 ，则 在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3． 是定义在R上的函数， 为奇函数，则 （ ）
A．－1 B． C． D．1
4．已知椭圆的两个焦点为 ， ，M是椭圆上一点，若 ， ，则该椭
圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 ，函数 的图象由 图象向右平移 个单位得到，则下列关于函数
的图象说法正确的是（ ）
A．关于y轴对称 B．关于原点对称
C．关于直线 对称 D．关于点 对称
6．木楔子在传统木工中运用广泛，它使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，是一种简单的机械工具，是
用于填充器物的空隙使其牢固的木橛、木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形 是边长为2
的正方形，且 均为正三角形， ，则该木楔子的体积为（ ）A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，动点 满足 ，过点 的直线
与动点 的轨迹交于 ， 两点，记点 的轨迹的对称中心为 ，则当 面积取最大值时，直线
的方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．在 中， ， 的内切圆的面积为 ，则边 长度的最小值为（ ）
A．16 B．24 C．25 D．36
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，3，5，7，9，11，13的第60百分位数为9
B．已知随机变量 服从二项分布： ，设 ，则 的方差
C．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是
D．若样本数据 的平均数为2，则 的平均数为8
10．已知公差不为0的等差数列 的前n项和为 ，若 ，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体 中， ，点P满足 ，其中 ，则下列
结论正确的是（ ）
A．当 平面 时， 不可能垂直
B．若 与平面 所成角为 ，则点P的轨迹长度为
C．当 时，正方体经过点 ､P､C的截面面积的取值范围为[ ， ]D．当 时， 的最小值为
12．当 时，不等式 成立．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，四边形 是边长为4的正方形，若 ，且 为 的中点，则 ______.
14．若 的展开式中常数项为70，则 ______．
15．双曲线 的离心率为 ，F是C的下焦点，若P为C上支上的动点，设点P到C
的一条渐近线的距离为d，则 的最小值为______．
16．正实数 ， 满足 ， ，则 的值为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求 .
(2)若点D在边AC上，且 ，求 .
18．（12分）
2022年，为贯彻落实党的十九届六中全会、中央经济工作会议、中央农村工作会议、中央1号文件精神，围绕巩固拓展脱贫攻坚成果、全面推进乡村振兴、加快农业农村现代化，国家继续加大支农投入，强化项
目统筹整合．某企业为合理规划价格，积极响应号召，将某农产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组
销售数据 （ ，2，3，4，5），如下表所示：
试销单价 （元） 3 4 5 6 7
产品销量 1
20 15 12 6
（件） 6
(1)若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量 （件）关于试销单价 （元）的线性回归方程 ；
(2)用 表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值，当销售数据 对应
的残差的绝对值 时，则将销售数据 称为一个“次数据”．现从5个销售数据中任取3个，
求“次数捃”个数 的分布列和数学期望 ．
（参考公式：线性回归方程中 ， 的最小二乘估计分别为 ， ）
19．（12分）
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形且 ，M为 的中点， ， ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， 与平面 所成的角为45°，求二面角 的正弦值．
20．（12分）
已知数列 对于任意的 均有 ；数列 的前n项和为，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ， 为数列 的前n项和，且 恒成立，求λ的最大值.
21．（12分）
已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，抛物线 的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
22．（12分）
已知函数 ， ．
(1)求证： 在 上单调递增；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
