文档内容
21.3 一元二次方程的应用
【考点1一元二次方程应用-变化率问题】
【考点2一元二次方程应用传染问题】
【考点3一元二次方程应用枝干问题】
【考点4一元二次方程应用双循环问题】
【考点5一元二次方程应用单循环问题】
【考点6 一元二次方程应用-销售利润问题】
【考点7 一元二次方程应用-每每问题】
【考点8 一元二次方程应用-几何面积问题】
【考点9 一元二次方程应用-动点与几何问题】
考点1： 变化率问题
设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一
次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可
列方程为 ²=b
【考点1一元二次方程应用-变化率问题】
【典例1】（2023秋•罗定市期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了
市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月
份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发
现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能
将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的
条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得2250（1+x）2＝3240，
解得x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设增加y条生产线，则
（900﹣30y）（y+1）＝3900．
解得y ＝4，y ＝25（不符合题意，舍去）
1 2
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
【变式1-1】（2024•岳阳县二模）建设美丽城市，改造老旧小区．某市 2019年投入资金
1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每
个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可
以改造多少个老旧小区？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤ ，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
【变式1-2】（2023秋•官渡区期末）2023年10月《奔跑吧•生态篇》节目组在昆明小渔村
进行录制，优美的湖滨生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．某民宿10
月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，12月的营业额达到4.32
万元．
（1）求该民宿11月、12月营业额的月平均增长率；（2）求该民宿第四季度营业总额．
【答案】（1）该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为20%．
（2）该民宿第四季度营业总额为10.92万元．
【解答】解：（1）设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为x，
根据题意得：3（1+x）2＝4.32，
解得：x ＝0.2，x ＝﹣2.2（舍去），
1 2
答：该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为20%．
（2）∵该民宿10月的营业额为3万元，设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率
为20%，
∴该民宿11月的营业额为3（1+20%）＝3.6（万元），
∴该民宿第四季度营业总额为3+3.6+4.32＝10.92（万元）．
答：该民宿第四季度营业总额为10.92万元．
【变式1-3】（2023秋•民权县期末）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年 2
月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递
快递总件数的增长率相同．
（1）求该公司投递快递总件数的月增长率；
（2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么 5月份投递快递总件数是
否达到45万件？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x，
依题意得：20（1+x）2＝33.8，
解得：x ＝0.3＝30%，x ＝﹣2.3（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%．
（2）33.8×（1+30%）＝43.94（万件），
∵43.91＜45，
∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么 5月份投递快递总件数不能达到
45万件．考点2： 传染、枝干问题
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个
人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人：
【考点2一元二次方程应用传染问题】
【典例2】（2023秋•太和县期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有
一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
（2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7人；
（2）第三轮感染后，患流感的共有512人．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
由题意得：1+x+（1+x）x＝64，
解得：x＝7，x＝﹣9（不合题意舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了7人；
（2）第三轮感染的人数＝64×7＝448（人），
∴第三轮感染后，患流感的总人数为：448+64＝512（人），
答：第三轮感染后，患流感的共有512人．
【变式2-1】（2023秋•伊金霍洛旗期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一
人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列
式正确的是（ ）
A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64
C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64
【答案】C
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染．依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64，
故选：C．
【变式2-2】（2023秋•山亭区期中）每年的6月6日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼
卫生．假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有144人患病，那每轮传染中平均
一个人传染的人数为多少人？（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮中有x人被传染，
第二轮中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝144，
即（1+x）2＝144，
解得：x ＝11，x ＝﹣13（不符合题意，舍去），
1 2
∴每轮传染中平均一个人传染的人数为11人．
故选：B．
【变式2-3】（2023秋•惠城区期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出
时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患
了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人
数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
【答案】6人．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，
第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝49，
解得：x ＝6，x ＝﹣8（不符合题意，舍去）．
1 2
答：每轮传染中平均一个人传染了6个人．
【考点3一元二次方程应用枝干问题】
【典例3】（2023秋•临沭县校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一
种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和
小分支的总数是43，求这种植物每个枝干长出的小分支个数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这种植物每个枝干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2＝43，整理得：x2+x﹣42＝0，
解得：x ＝﹣7（不合题意，舍去），x ＝6．
1 2
答：这种植物每个枝干长出的小分支个数为6．
【变式3-1】（2023秋•北林区校级期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现
一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上
的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则x等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝31，
整理，得：x2+x﹣30＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣6（不合题意，舍去）．
1 2
故选：B．
【变式3-2】（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一
种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的
主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝57，
整理，得：x2+x﹣56＝0，
解得：x ＝7，x ＝﹣8（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
【变式3-3】（2023•大连模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物
的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、
枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43，
整理，得：x2+x﹣42＝0，
解得：x ＝6，x ＝﹣7（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．考点3： 握手、比赛问题
握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握 次手。赠卡问题：n
n(n−1)
个人相互之间送卡片，总共要送 张卡片。
【考点4一元二次方程应用双循环问题】
【典例4】（2023春•北碚区校级月考）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，
共发2450条，设全班共有x名学生，可列方程（ ）
A． x（x﹣1）＝2450 B．x（x﹣1）＝2450
C．2x（x﹣1）＝2450 D．x（x+1）＝2450
【答案】B
【解答】解：∵全班共有x名学生，
∴每名学生需发送（x﹣1）条祝福短信．
根据题意得：x（x﹣1）＝2450．
故选：B．
【变式4-1】（2023秋•大安市期末）元旦快到了，已知九年级五班同学们要互赠贺卡共
420张，设该班共有x名同学，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝420 B．（1+x）2＝420
C．x（x﹣1）＝420 D．（1+2x）＝420
【答案】C
【解答】解：∵该班共有x名同学，
∴每名同学需送出（x﹣1）张贺卡．
根据题意得：x（x﹣1）＝420．
故选：C．
【变式4-2】（2024•越秀区校级开学）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给
群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程 x （ x ﹣ 1 ）＝ 75 6 ．【答案】x（x﹣1）＝756．
【解答】解：∵一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条
信息，
∴每个好友需发（x﹣1）条信息．
根据题意得：x（x﹣1）＝756．
故答案为：x（x﹣1）＝756．
【变式4-3】（2023秋•长治月考）长治市近期在漳泽湖畔开展一次绿色有机农产品交易会，
会上每两家公司都签订了一份合同（一式两份），交易会结束后，经统计共签订了1560
份合同．如果共有x个公司参加交易会，根据题意可列方程为 x （ x ﹣ 1 ）＝ 156 0 ．
【答案】x（x﹣1）＝1560．
【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝1560．
故答案为：x（x﹣1）＝1560．
【考点5一元二次方程应用单循环问题】
【典例5】（2023秋•萍乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯
36次，则参加酒会的人数为 9 人．
【答案】9．
【解答】解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝36，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x ＝9，x ＝﹣8（不符合题意，舍去），
1 2
∴参加酒会的人数为9人．
故答案为：9．
【变式5-1】（2024•黑龙江一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了
一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（ ）
A．38人 B．40人 C．41人 D．42人
【答案】B
【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人，
根据题意得： x（x﹣1）＝780，
整理得：x2﹣x﹣1560＝0，
解得：x ＝40，x ＝﹣39（不符合题意，舍去），
1 2∴这次参加聚会的同学有40人．
故选：B
【变式5-2】（2023秋•郑州期末）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足
球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比
赛，则需要邀请 9 个球队参加．
【答案】9．
【解答】解：设需要邀请x个球队参加，
根据题意得： x（x﹣1）＝36，
整理得：x2﹣x﹣72＝0，
解得：x ＝9，x ＝﹣8，
1 2
∴需要邀请9个球队参加．
故答案为：9．
【变式5-3】（2023秋•仙居县期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一
场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有 x个队参赛，根据题意可列方程为（
）
A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10
C． x（x﹣1）＝10 D． x（x+1）＝10
【答案】C
【解答】解：根据题意得： x（x﹣1）＝10．
故选：C．
考点4： 销售利润问题
（1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量；
（2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量
为【考点6 一元二次方程应用-销售利润问题】
【典例6】（2024•乌鲁木齐一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查
发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图
象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）求w与x之间的函数关系式；
（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的
利润，每件商品的售价应定为多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+120；
（2）w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）30元．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由所给函数图象可知： ，
解得 ，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；
（2）∵y＝﹣2x+120，
∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400，
即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；
（3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400，
∴x ＝30，x ＝50（舍），
1 2
∵20≤x≤38，∴x＝30．
答：每件商品的售价应定为30元．
【变式6-1】（2024•荔湾区一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水
鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量 y（千克）与销售价格 x（元/千克）
（30≤x＜48）存在一次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格x（元/千克） 35 45
日销售量y（千克） 250 150
（1）试求出y关于x的函数表达式．
（2）如果不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，请求
出销售价格．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．
将x＝35，y＝250和x＝45，y＝15（0分）别代入，得： ，
解得： ，
∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600（30≤x＜48）．
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣10x+600）＝2000．
解得x＝40或50（舍去）．
答：销售价格为每千克40元．
【变式6-2】（2024•零陵区校级开学）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在
杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的
进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是 45元时，每日销售量是
550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为
x元（x＞40）．
（1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式．
（2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？
【答案】（1）y＝1000﹣10x（x＞40）；
（2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元．
【解答】解：（1）由题意得：y＝550﹣10（x﹣45）＝1000﹣10x（x＞40）；
（2）由题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000，整理得：x2﹣130x+4000＝0，
解得x＝50或x＝80，
答：若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元．
【变式6-3】（2023秋•金牛区期末）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原
计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与
每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？
【答案】（1）为y＝10x+100；
（2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b
当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140，
∴ ，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；
（2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250，
整理得x2﹣30x+125＝0，
解得：x ＝5，x ＝25，
1 2
答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元．
【考点7 一元二次方程应用-每每问题】
【典例7】（2024春•慈溪市期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，
商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）若商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？
【答案】（1）1692元；
（2）10元或25元．
【解答】解：（1）（50﹣3）×（30+2×3）
＝47×36
＝1692（元）．
答：当天可获利1692元．
（2）设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为
（30+2x）件，
依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x ＝10，x ＝25．
1 2
答：每件商品应降价10元或25元．
【变式7-1】（2024春•浙江期中）2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构
成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间
站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一
月、十二月销量持续走高，十二月售出400件．
（1）求十一、十二这两个月的月平均增长率．
（2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价
每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？
【答案】当商品降价10元时，商场获利9000元．
【解答】解：（1）设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得：
256（1+x）2＝400，
解得：x ＝0.25＝25%，x ＝﹣ （不合题意舍去）．
1 2
答：二、三这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设当商品降价m元时，商品获利9000元，根据题意可得：
（70﹣40﹣m）（400+5m）＝9000，解得：m ＝10，m ＝﹣70（不合题意舍去）．
1 2
答：当商品降价10元时，商场获利9000元．
【变式7-2】（2024•凉州区一模）某果农计划在一片向阳的坡地上种植 100棵桃树，果农
想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵．
（1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？
（2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均
产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个
桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵
桃树？
【答案】（1）20棵桃树；
（2）应多种20棵桃树．
【解答】解：（1）100÷（20÷4）＝20（棵）．
答：果农原计划每亩地种20棵桃树；
（2）设多种 x棵树，则（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）（0＜x＜
100），
整理，得：x2﹣400x+7600＝0，（x﹣20）（x﹣380）＝0，
解得x ＝20，x ＝380．
1 2
∵果园有100棵桃树，380＞100，
∴x ＝380不合题意，故舍去．
2
答：应多种20棵桃树．
【变式7-3】（2023秋•太康县期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的
定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加 10元时，就会有一
个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
【答案】（1）7770元；
（2）房价定为300元或320元．
【解答】解：（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
（元）；
（2）设每个房间的定价为a元，根据题意，得： ，
解得：a＝300或a＝320．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
考点5： 几何面积问题
（1）如图①，设空白部分的宽为x,则 ；
（2）如图②，设阴影道路的宽为x,则
（3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则
【考点8 一元二次方程应用-几何面积问题】
【典例8】（2023秋•双辽市期末）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边
靠墙，若墙长为 18m，墙对面有一个 2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长
33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．
（1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33﹣2x+2）＝150，
解得：x ＝10，x ＝7.5，
1 2
当x ＝10时，33﹣2x+2＝15＜18，
1当x ＝7.5时33﹣2x+2＝20＞18，（舍去），
2
则养鸡场的宽是10m，长为15m．
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得：
x（33﹣2x+2）＝200，
整理得：2x2﹣35x+200＝0，
Δ＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2．
【变式8-1】（2023秋•昭通期末）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场
地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地
的长和宽．
【答案】活动场地的长为14米，宽为13米．
【解答】解：设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40﹣2x）米，
依题意，得：x（40﹣2x）＝182，
整理，得：x2﹣20x+91＝0，
解得：x ＝7，x ＝13．
1 2
当x＝7时，40﹣2x＝26＞25，不合题意，舍去；
当x＝13，40﹣2x＝14＜25，符合题意．
答：活动场地的长为14米，宽为13米．
【变式8-2】（2023•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，
在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建
了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影
部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的
宽是多少米？【答案】6米．
【解答】解：设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣
2x）米的长方形，
根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640，
整理得：x2﹣40x+204＝0，
解得：x ＝6，x ＝34（不符合题意，舍去）．
1 2
答：通道的宽是6米．
【变式8-3】（2022秋•环江县期末）某公园准备在一块长为42m，宽为30m的长方形花园
内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，
且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地
方铺草坪，设小路宽度为x m．
（1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积；
（2）若草坪面积为1164m2时，求这时道路宽度．
【答案】（1）温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2；
（2）1m．
【解答】解：（1）∵温室花房边长是小路宽度的6倍，小路宽度为x m，
∴温室花房边长为6x m，
∴温室花房的面积为6x•6x＝36x2（m2），小路的面积为（42﹣6x+30﹣6x）•x＝（72x﹣
12x2）（m2）．
答：温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2．
（2）依题意得：42×30﹣36x2﹣（72x﹣12x2）＝1164，整理得：x2+3x﹣4＝0，
解得：x ＝1，x ＝﹣4（不符合题意，舍去）．
1 2
答：当草坪面积为1164m2时，道路的宽度为1m．
考点6： 动点与几何问题
键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公
关
式列出方程.
【考点9 一元二次方程应用-动点与几何问题】
【典例9】（2024春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC
＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速
度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点
也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发．
①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2；
②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由．
【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【解答】解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB ＝ •PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t ＝2，t ＝4．
1 2
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【变式9-1】（2023秋•贵阳期末）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝
8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，
如果点P，Q的运动速度均为1cm/s．
（1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？
（2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？
【答案】（1）（4﹣ ）秒或（4+ ）秒；
（2）△PCQ的面积不能等于10cm2，理由见解答．
【解答】解：（1）6÷1＝6（秒）．
当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm，
根据题意得：t2+（8﹣t）2＝62，
整理得：t2﹣8t+14＝0，
解得：t ＝4﹣ ，t ＝4+ ．
1 2答：运动（4﹣ ）秒或（4+ ）秒时，点P，Q相距6cm；
（2）△PCQ的面积不能等于10cm2，理由如下：
假设△PCQ的面积能等于10cm2，当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝
（8﹣t）cm，
根据题意得： t（8﹣t）＝10，
整理得：t2﹣8t+20＝0，
∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即△PCQ的面积不能等于10cm2．
【变式9-2】（2023秋•绵阳期末）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝
8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C
以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4 cm？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积1：2的两部分？
若能，求出运动时间；若不能说明理由．
【答案】（1）当 t ＝2 时，PQ的长度等于 ．（2）经过2秒或4秒时，线
2
段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分．
【解答】解：（1）当 时，
在Rt△PBQ 中，
∵BP2+BQ2＝PQ2∴ ，
5t2﹣12t+4＝0，（5t﹣2）（t﹣2）＝0，
∴当 t ＝2 时，PQ的长度等于 ．
2
（2）线段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分，理由如下：
设运动时间为x s（0≤x≤4），则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，
依题意得： ×2x（6﹣x）＝ × ×6×8，
整理得：x2﹣6x+8＝0．
解得x ＝2，x ＝4，
1 2
即线段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4．
【变式9-3】（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一
动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边
以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵S△PCQ ＝ t（8﹣2t），S△ABC ＝ ×4×8＝16，
∴ t（8﹣2t）＝16× ，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的 ；（2）当S△PCQ ＝ S△ABC 时，
t（8﹣2t）＝16× ，
整理得t2﹣4t+8＝0，
Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
一．选择题（共9小题）
1．（2024春•慈溪市期中）某基金2019年总投入10.8万元，到2021年总额预计达到14万
元，设该基金的年平均涨幅为x，则可列方程为（ ）
A．10.8（1+x）＝14 B．10.8（1+2x）＝14
C．10.8（1+x）2＝14 D．10.8（1+x+x2）＝14
【答案】C
【解答】解：设年平均涨幅为x，则2020的总投入为：10.8（1+x）万元，2021的总投
入为：10.8（1+x）2万元，
那么可得方程：10.8（1+x）2＝14．
故选：C．
2．（2024•鼓楼区校级模拟）在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相
同宽度的边框，制成一幅挂图，如图所示．设边框的宽为xcm，如果整个挂图的面积是
5400cm2，那么下列方程符合题意的是（ ）
A．（50﹣x）（80﹣x）＝5400
B．（50﹣2x）（80﹣2x）＝5400
C．（50+x）（80+x）＝5400
D．（50+2x）（80+2x）＝5400
【答案】D【解答】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，
（80+2x）（50+2x）＝5400，
故选：D．
3．（2023秋•汕尾期末）参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手
10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（ ）
A． x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10
C． x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10
【答案】A
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）；
依题意，可列方程为： ＝10．
故选：A．
4．（2024•辽宁一模）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比
门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉
一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长x尺，则根据题意，可列方程（
）
A．（x+4）2+（x+2）2＝x2 B．（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2
C．（x﹣4）2+（x+2）2＝x2 D．（x+4）2+（x﹣2）2＝x2
【答案】B
【解答】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x﹣2）尺，宽为（x﹣4）尺，
∴可列方程为（x﹣4）2+（x﹣2）2＝x2，
故选：B．
5．（2024•河南模拟）国产动画电影《舒克贝塔•五角飞碟》于 2024年元旦档上映．电影
的点映及预售总票房突破400万元，若以后每天票房按相同的增长率增长，两天后累计票房收入达4000万元．设票房收入的日均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．400+400x+400x2＝4000
B．400（1+x）2＝4000
C．400+400（1+x）+400（1+x）2＝4000
D．400+400（1+x）2＝4000
【答案】C
【解答】解：设票房收入的日均增长率为x，根据题意得：
400+400（1+x）+400（1+x）2＝4000，
故选：C．
6．（2024•锦江区校级模拟）我国南宋数学家杨辉所著的《田亩比类乘除算法》中有这样
一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”意思是：
一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长和宽各多少
步？设这块田地的宽为x步，则所列的方程正确的是（ ）
A．x+（x﹣12）＝864 B．x+（x+12）＝864
C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864
【答案】D
【解答】解：∵这块田地的宽比长少12步，且这块田地的宽为x步，
∴这块田地的长为（x+12）步．
根据题意得：x（x+12）＝864．
故选：D．
7．（2023秋•湛江期末）新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，
经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据
题意可列出方程（ ）
A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256
C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256
【答案】D
【解答】解：每轮传染中平均每个人传染了x人，根据题意可列出方程，1+x+x（1+x）
＝256，
故选：D．
8．（2023秋•细河区期末）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 4，且个位数字
与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（ ）A．x2+（x﹣4）2＝10（x﹣4）+x﹣4
B．x2+（x+4）2＝10x+x﹣4﹣4
C．x2+（x+4）2＝10（x+4）+x﹣4
D．x2+（x+4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
【答案】C
【解答】解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）
这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，
∵两数相差4，
∴x2+（x+4）2＝x+10（x+4）﹣4．
故选：C．
9．（2023秋•滨城区期末）小区新增了一家快递店，前三天的揽件数如图所示，若该快递
店揽件数平均增长，增长率均为x，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【答案】A
【解答】解：根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
10．（2024•库尔勒市一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号
召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是
20% ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
11．（2024•台江区校级模拟）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每
两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有 1 0 队参加比赛．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为 场，
根据题意列出方程得： ＝45，
整理，得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x ＝10，x ＝﹣9（不合题意舍去），
1 2
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
12．（2023秋•永修县期末）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩
形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二
步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 x （ x +1 2 ）＝ 86 4 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
13．（2023秋•商洛期末）白云航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条
航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有 5 个飞机场．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设共有x个飞机场．
x（x﹣1）＝10×2，
解得x ＝5，x ＝﹣4（不合题意，舍去），
1 2
故答案为：5．
三．解答题（共5小题）
14．（2024•江海区一模）参加一次商品交易会的每两家公司之间都签定了一份合同，所有
公司共签定了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？
【答案】共有10公司参加商品交易会．
【解答】解：设有x家公司参加，依题意，得x（x﹣1）＝45．
整理得：x2﹣x﹣90＝0．
解得：x ＝10，x ＝﹣9（舍去）
1 2
答：共有10公司参加商品交易会．
15．（2024春•慈溪市期中）某景区在2020年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，
预计在2022年“五一”小长假期间，接待游客2.88万人次，该景区一家特色小面店希
望在“五一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴
以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天
少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元．
（1）求出2020至2022年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了更好地维护景区形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，当每碗售价定为
多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入﹣总成本﹣其它各种费
用）
【答案】（1）20%；
（2）18元．
【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
2（1+x）2＝2.88，
解得x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（舍去）．
1 2
答：年平均增长率为20%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润600元，依题意得：
（y﹣10）[120﹣ （y﹣15）]﹣168＝600，
解得y ＝18，y ＝22，
1 2
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝18．
答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天利润600元．
16．（2024春•合肥期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，
当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的
运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售
价应该定为多少？
（3）为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 50%，公司每天能否获得9000元的利
润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝10x+200；
（2）当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠
力度最大；
（3）售价90元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本
价的50%．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b （k≠0），
由图可知其函数图象经过点（0，200）和（10，300），
将其代入y＝kx+b 得300＝10k+b，200＝b，
解得k＝10，b＝200
∴y与x的函数关系式为y＝10x+200；
（2）由题意得 （10x+200）（100﹣x﹣60）＝8910，
整理得 x2﹣20x+91＝0，
解得：x ＝7，x ＝13；
1 2
当x＝7时，售价为100﹣7＝93（元），
当x＝13时，售价为100﹣13＝87（元），
∵优惠力度最大，
∴取x＝13，
答：当每双运动鞋的售价为87元时，企业每天获得的销售利润达到8910元并且优惠力
度最大；
（3）公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
∵要保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的50%，∴100﹣60﹣x≥60×50%，
解得：x≤10；
依题意，得 （100﹣60﹣x）（10x+200）＝9000，
整理得 x2﹣20x+100＝0，
解得：x ＝x ＝10；
1 2
∴售价90元时，公司每天能获得9000元的利润，且每双运动鞋的利润不低于成本价的
50%．
17．（2023秋•黔东南州期末）某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁
栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长 15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养
鸡场（如图所示）．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；
（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．
【解答】解：（1）设BC＝x m，则AB＝（33﹣3x）m，
依题意，得：x（33﹣3x）＝90，
解得：x ＝6，x ＝5．
1 2
当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，
当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞15，不合题意，舍去．
答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．
（2）不能，理由如下：
设BC＝y m，则AB＝（33﹣3y）m，
依题意，得：y（33﹣3y）＝100，
整理，得：3y2﹣33y+100＝0．
∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，
∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．18．（2024•江阴市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q
分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间
P，Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停
止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1） 或 ；
（2）4秒或6秒．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，
∴ ， ；
∴经过 或 ，P、Q两点之间的距离是10cm；
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当 时，PB＝16﹣3y，
∴ ，即 ，
解得y＝4；
②当 时，BP＝3y﹣16，QC＝2y，
则 ，解得 （舍去）；
③ 时，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y，
则 ，
解得y＝18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2．
