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第2课时 平均变化率与一元二次方程
1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．
一、情境导入
月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植 3株时，平均每株盈利4元；
若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少
株？
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决增长率问题
【类型一】增长率问题
(2014·辽宁大连)某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量
达到121万件．假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？
解析：(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增长率，
代入2014年产量的表达式即可解决．
解：(1)设这种产品产量的年增长率为x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解得
x＝0.1，x＝－2.1(舍去)．
1 2
答：这种产品产量的年增长率为10%.
(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
方法总结：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长
后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数时，则降低后的结果为a(1－x)n.
某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5
万元；从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达
100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每
月生产收入稳定在3月份的水平．
(1)求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；
(2)购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进
费)
解析：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意建立等量关系，即3个月
之和为364万元，解方程时要对结果进行合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：前三个
月的生产收入＋以后几个月的收入减去一次性支付 640万元大于或等于旧设备几个月的生
产收入－每个月的维护费，然后解不等式．
解：(1)设2月，3月生产收入的月增长率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1＋
x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，x＝－3.2(舍)，x＝0.2，所以2月，3月生产收
1 2
入的月增长率为20%.
(2)设m个月后，使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题意有
364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12个月后所
得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．
方法总结：根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解
方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．
【类型二】利润问题
一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果
购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出
售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校最终向
园林公司支付树苗款8800元．请问该校共购买了多少棵树苗？
解析：根据条件设该校共购买了x棵树苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．
解：∵60棵树苗售价为120元×60＝7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60棵．设
该校共购买了x棵树苗，由题意得x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x＝220，x＝80.当
1 2
x＝220时，120－0.5(220－60)＝40＜100，∴x＝220不合题意，舍去；当x＝80时，
1 1 2
120－0.5(80－60)＝110＞100，∴x＝80，∴x＝80.
2
答：该校共购买了80棵树苗．
方法总结：根据实际问题中的数量关系或题目中给出的数量关系得到方程，当求出的
方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．
【类型三】方案设计问题
菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批发销售．由于部分菜农盲
目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，
以每千克3.2元的价格对外批发销售．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供
选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种
方案更优惠？请说明理由．
分析：第(1)小题设平均每次下调的百分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不合题
意的解；第(2)小题通过计算进行比较即可求解．
解：(1)设平均每次下调的百分率为x，由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x＝0.2＝
1
20%，x＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百分率为20%；
2
(2)小华选择方案一购买更优惠，理由如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000＝
14400(元)；方案二所需费用为：3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400＜15000，∴小
华选择方案一购买更优惠．三、板书设计
教学过程中，强调解决有关增长率及利润问题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.
