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第2课时 商品利润最大问题
1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题．
一、情境导入
红光旅社有100张床位，每床每日收费10元，客床可全部租出，若每床每日收费提高
2元，则租出床位减少10张，若每床每日收费再提高2元，则租出床位再减少10张，以每
提高2元的这种方式变化下去，每床每日应提高多少元，才能使旅社获得最大利润？
二、合作探究
探究点一：最大利润问题
【类型一】利用解析式确定获利最大的条件
为了推进知识和技术创新、节能降耗，使我国的经济能够保持可持续发展．某工
厂经过技术攻关后，产品质量不断提高，该产品按质量分为10个档次，生产第一档次(即
最低档)的新产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件可节约能源消耗
2元，但一天产量减少4件．生产该产品的档次越高，每件产品节约的能源就越多，是否
获得的利润就越大？请你为该工厂的生产提出建议．
解析：在这个工业生产的实际问题中，随着生产产品档次的变化，所获利润也在不断
的变化，于是可建立函数模型；找出题中的数量关系：一天的总利润＝一天生产的产品件
数×每件产品的利润；其中，“每件可节约能源消耗2元”的意思是利润增加2元；利用
二次函数确定最大利润，再据此提出自己认为合理的建议．
解：设该厂生产第x档的产品一天的总利润为y元，则有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x
－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.当x＝8时，y ＝1152.由此可见，并不
最大值
是生产该产品的档次越高，获得的利润就越大．建议：若想获得最大利润，应生产第8档
次的产品．(其他建议，只要合理即可)
【类型二】利用图象解析式确定最大利润
某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果
每千克售价y(元)与销售时间第x月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克
1
成本y(元)与销售时间第x月满足函数关系式y＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图②所示．
2 2
(1)求y的解析式；
2
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y的图象经过两点(3，6)，(7，7)，∴解得∴y的解析式为
2 2
y＝x2－x＋(1≤x≤12)．
2
(2)设y＝kx＋b，∵函数y的图象过两点(4，11)，(8，10)，∴解得∴y的解析式为
1 1 1
y＝－x＋12(1≤x≤12)．设这种水果每千克所获得的利润为w元．则w＝y－y＝(－x＋
1 1 2
12)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋，∴w＝－(x－3)2＋(1≤x≤12)，∴当x＝3时，w取最大值，
∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是元/千克．
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，并利用函
数的性质进行决策.
