文档内容
冲刺 2024 年高考—多选题专练六十题
专题四 立体几何（学生版）
第一部——高考真题练
1．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器
壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
2．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径， ，
，点C在底面圆周上，且二面角 为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为
C． D． 的面积为
3．（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形 为正方形， 平面 ，
，记三棱锥 ， ， 的体积分别为 ，则（ ）
A． B．C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体 ，则（ ）
A．直线 与 所成的角为 B．直线 与 所成的角为
C．直线 与平面 所成的角为 D．直线 与平面ABCD所成的角为
5．（2017·全国·高考真题）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱
的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 平行的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国·统考高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方
体的顶点．则满足 的是（ ）A． B．
C． D．
7．（2021·全国·统考高考真题）在正三棱柱 中， ，点 满足 ，
其中 ， ，则（ ）
A．当 时， 的周长为定值
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，有且仅有一个点 ，使得
D．当 时，有且仅有一个点 ，使得 平面
第二部——基础模拟题
8．（2023·广东深圳·统考二模）《九章算术》中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.已知四面体
是一个鳖臑，其中 平面 ，且 .若该鳖臑的体积为 ，则（ ）
A． 为四面体 中最长的棱
B． 平面
C．平面 平面D．四面体 外接球的表面积的最小值为
9．（2024·江西·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ，则
（ ）
A． 平面
B．平面 平面
C．异面直线 与 所成的角的余弦值为
D．点 ， ， ， 均在半径为 的球面上
10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在棱长为1的正方体 中， 是棱
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在点 ，使得
B．存在点 ，使得C．对于任意点 ， 到 的距离的取值范围为
D．对于任意点 ， 都是钝角三角形
11．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在直三棱柱 中， ，
，点M，N分别是 ， 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． 平面
B．异面直线 与 所成的角为45°
C．若点P是 的中点，则平面BNP截直三棱柱所得截面的周长为
D．点Q是底面三角形ABC内一动点（含边界），若二面角 的余弦值为 ，则动点Q的
轨迹长度为
12．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）已知正方体 ，则（ ）
A．异面直线 与 所成的角为
B．异面直线 与 所成角的正切值为
C．直线 与平面 所成的角为
D．直线 与平面 所成角的正切值为
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）如图，在直三棱柱 中， ，，点 是 上的动点，点 是 上的动点，则（ ）
A． //平面 B． 与 不垂直
C．存在点 、 ，使得 D． 的最小值是
14．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在四棱雉 中，底面 为梯形，
且 的交点为 ，在 上取一点 ，使得 平面 ，四棱雉
的体积为 ，三棱锥 的体积为 ，则下面结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体
中，点 ， 分别在线段 和 上．给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是（ ）
A． 的最小值为2B．四面体 的体积为
C．有且仅有一条直线 与 垂直
D．存在点 ，使 为等边三角形
16．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱
中， 分别是 的中点，设 ， ，则（ ）
A．当 时，
B． ，使得 平面
C． ，使得 平面
D．当 时， 与平面 所成角为
17．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）如图，在三棱柱 中， 平面
， 是棱 上的一个动点，则（ ）A．直线 与直线 是异面直线
B． 周长的最小值为
C．存在点 使得平面 平面
D．点 到平面 的最大距离为
18．（2023·山东潍坊·三模）如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底
面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（ ）
A．直线 与直线 所成角为 B．直线 与平面 所成角为
C．该几何体的体积为 D．该几何体中，二面角 的余弦值为
19．（2020·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）已知正方体 的棱长为2， ，
， 分别为 ， ， 的中点，则下列结论中正确的是（ ）A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行
C．点 与点 到平面 的距离相等 D．平面 截正方体所得的截面面积为
20．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上
下底面半径分别为r 和r，母线长为l，球的表面积与体积分别为S 和V ，圆台的表面积与体积分别为S
1 2 1 1 2
和V .则下列说法正确的是（ ）
2
A． B．
C． D． 的最大值为
21．（2023·福建漳州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体 中，点 为 的中点，点 ，
分别为线段 ， 上的动点，则（ ）
A． B．平面 可能经过顶点
C． 的最小值为 D． 的最大值为
22．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测）在四棱锥 中，底面 为矩形，
， ， ， ．下列说法正确的是（ ）
A．设平面 平面 ，则
B．平面 平面
C．设点 ，点 ，则 的最小值为
D．在四棱锥 的内部，存在与各个侧面和底面均相切的球
23．（2023·河北·统考模拟预测）如图，已知正方体 的棱长为1， 为底面 的中心，
交平面 于点 ，点 为棱 的中点，则（ ）A． ， ， 三点共线 B．异面直线 与 所成的角为
C．点 到平面 的距离为 D．过点 ， ， 的平面截该正方体所得截面的面积为
24．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知三棱柱 的六个顶点都在球O的
球面上， .若点O到三棱柱 的所有面的距离都相等，则（ ）
A． 平面
B．
C．平面 截球O所得截面圆的周长为
D．球O的表面积为
25．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）如图，已知二面角 的棱l上有A，B两点， ，
， ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）．
A．当 时，直线 与平面 所成角的正弦值为B．当二面角 的大小为 时，直线 与 所成角为
C．若 ，则二面角 的余弦值为
D．若 ，则四面体 的外接球的体积为
26．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在正方体 中， 分别为
的中点，则（ ）
A．直线 与直线 垂直
B．点 与点 到平面 的距离相等
C．直线 与平面 平行
D． 与 的夹角为
27．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知正方体 的棱长为 分别为
的中点， 为正方体的内切球 上任意一点，则（ ）
A．球 被 截得的弦长为
B．球 被四面体 表面截得的截面面积为C． 的范围为
D．设 为球 上任意一点，则 与 所成角的范围是
28．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，点
分别是 的中点，则（ ）
A．四点 共面
B．直线 与平面 平行
C．异面直线 与 所成角的余弦值为
D．过 三点的平面截正方体所得图形面积为
29．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）正三角形 的边长为 ，如图， 为其水平
放置的直观图，则（ ）
A． 为锐角三角形
B． 的面积为C． 的周长为
D． 的面积为
30．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）如图，正方体 的棱长为 ，点 为
的中点，下列说法正确的是 （ ）
A．
B． 平面
C．点 到平面 的距离为
D． 与平面 所成角的正弦值为
31．（2023·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知 是两条不相同的直线， 是两个不重
合的平面，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 是异面直线， ，则 .
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
32．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，正三棱锥 和正三棱锥 的侧棱长均
为 ， .若将正三棱锥 绕 旋转，使得点E，P分别旋转至点A， 处，且A，B，C，D四点共面，点A，C分别位于BD两侧，则（ ）
A． B．
C．多面体 的外接球的表面积为 D．点P与点E旋转运动的轨迹长之比为
33．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，
羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以 为顶点
的五面体，四边形 为正方形， 平面 ，则
（ ）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．该几何体的外接球的表面积为
D． 与平面 所成角的正弦值为
34．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为 ，母线 长为2，点 为 的中点，则（ ）
A．圆台的体积为 B．圆台的侧面积为
C．圆台母线 与底面所成角为 D．在圆台的侧面上，从点 到点 的最短路径长为5
35．（2023·江苏南通·统考模拟预测）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的正三角形，
， ，P，Q分别为棱 ，BC的中点，则（ ）
A． 平面 B．平面 平面
C．三棱柱 的侧面积为 D．三棱锥 的体积为
36．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考三模）下列命题中，正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．如果直线 平面 ， ，那么过点 且平行于直线 的直线有无数条，且一定在 内
D．已知 ， 为异面直线， 平面 ， 平面 ，若直线 满足 ， ， ， ，
则 与 相交，且交线平行于
37．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，矩形 中， 、 分别为 、 的中点，且 ，现将 沿 问上翻折，使 点移到 点，则在翻折过程中，下列结论正确的是
（ ）
A．存在点 ，使得
B．存在点 ，使得
C．三棱锥 的体积最大值为
D．当三棱锥 的体积达到最大值时，三棱锥 外接球表面积为
38．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如图，正方体 的棱长为3，点 、 、 分别在棱
、 、 上，满足 ， ，记平面 与平面 的交线为 ，则
（ ）
A．存在 使得平面 截正方体所得截面图形为四边形
B．当 时，三棱锥 的外接球表面积为
C．当 时，三棱锥 体积为
D．当 时； 与平面 所成的角的正弦值为39．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）已知 ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的
是（ ）
A．若 ， 且 ，则
B．若A，B，C是平面 内不共线三点， ， ，则
C．若 且 ，则直线
D．若直线 ，直线 ，则a与b为异面直线
40．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知平面 的一个法向量为 ，平面
的一个法向量为 ，直线 的方向向量为 ，直线 的方向向量为 ，则
（ ）
A．
B．
C． 与 为相交直线或异面直线
D． 在 向量上的投影向量为
第三部分 能力提升模拟题
41．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）正四棱柱 ，底面边长为 ，侧棱
长为2，则下列结论正确的（ ）
A．点 到平面 的距离是 ．
B．四棱锥 内切球的表面积为 ．
C．平面 与平面 垂直．D．点 为线段 上的两点，且 ，点 为面 内的点，若 ，
则点 的轨迹长为 ．
42．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）圆柱 高为1，下底面圆 的直径 长为2， 是圆柱 的一
条母线，点 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A．若 ，则 点的轨迹为圆
B．若直线 与直线 成 ，则 的轨迹是抛物线的一部分
C．存在唯一的一组点 ，使得
D． 的取值范围是
43．（2023·重庆巴南·统考一模）如图，平行六面体 中， ， ， 与
交于点O，则下列说法正确的有（ ）
A．平面 平面
B．若 ，则平行六面体的体积
C．
D．若 ，则
44．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知正方形 的边长为2， 是平面 外一点，设直线与平面 所成角为 ，三棱锥 的体积为 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若平面 平面 ，则 B．若平面 平面 ，则
C．若 ，则 的最大值是 D．若 ，则 的最大值是
45．（2023·广东·校联考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别是
的中点， 为线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 与 异面
B．不存在点 ，使得
C．直线 与平面 所成角的正切值的最小值为
D．过 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
46．（2023·河北·校联考三模）在棱长为1的正方体 的侧面 内（包含边界）有一点
，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 到直线 与到直线 距离之比为 ，则点 的轨迹为双曲线的一部分
B．若点 到直线 与到直线 距离之比为 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分
C．过点 三点作正方体 的截面，则截面图形是平行四边形
D．三棱锥 体积的最大值为47．（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图所示，该几何体由一个直三棱柱 和一个四棱锥
组成， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若平面 与平面 的交线为 ，则AC//l
C．三棱柱 的外接球的表面积为
D．当该几何体有外接球时，点 到平面 的最大距离为
48．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）已知正方体 的棱长为1， 为棱 （包含端
点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A．
B．二面角 的大小为
C．点 到平面 距离的取值范围是
D．若 平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
49．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中， ， 分别为棱 ， 的中点， 为线段 上一个动点，则（ ）
A．存在点 ，使直线 平面
B．平面 截正方体所得截面的最大面积为
C．三棱锥 的体积为定值
D．存在点 ，使平面 平面
50．（2023·浙江·校联考模拟预测）在三棱锥 中，对棱 所成角为 ，平面 和平面
的夹角为 ，直线 与平面 所成角为 ，点 为平面 和平面 外一定点，则下列结
论正确的是（ ）
A．过点 且与直线 所成角都是 的直线有2条
B．过点 且与平面 和平面 所成角都是 的直线有3条
C．过点 且与平面 和平面 所成角都是 的直线有3条
D．过点 与平面 所成角为 ，且与直线 成 的直线有2条
51．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考三模）如图， 是圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的点，直线
平面 ， ， 分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为 ，直线 与圆 的另
一个交点为 ，且点 满足 .记直线 与平面 所成的角为 ，异面直线 与 所成的角
为 ，二面角 的大小为 ，则下列说法不一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
52．（2023·山东济宁·统考二模）已知正方体 的棱长为 为空间中任一点，则下列结论
中正确的是（ ）
A．若 为线段 上任一点，则 与 所成角的范围为
B．若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为
C．若 在正方形 内部，且 ，则点 轨迹的长度为
D．若三棱锥 的体积为 恒成立，点 轨迹的为椭圆的一部分
53．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）在三棱锥P-ABC中， ， ，
，O为 的外心，则（ ）
A．当 时，PA⊥BC
B．当AC=1时，平面PAB⊥平面ABC
C．PA与平面ABC所成角的正弦值为
D．三棱锥A-PBC的高的最大值为
54．（2023·安徽黄山·统考二模）如图，圆柱 的底面半径和母线长均为 是底面直径，点 在圆上且 ，点 在母线 ，点 是上底面的一个动点，则（ ）
A．存在唯一的点 ，使得
B．若 ，则点 的轨迹长为4
C．若 ，则四面体 的外接球的表面积为
D．若 ，则点 的轨迹长为
55．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，
， 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则（ ）
A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体CDEF的体积的取值范围为
C．平面DEF截得球的截面面积最小值为
D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
56．（2023·全国·模拟预测）如图，半圆面 平面 ，四边形 是矩形，且 ， ，分别是 ，线段 上的动点（不含端点），且 ，则下列说法正确的有（ ）
A．平面 平面
B．存在 使得
C． 的轨迹长度为
D．直线 与平面 所成角的最大值的正弦值为
57．（2023·广东江门·统考一模）勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的
创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒
洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，
因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个
球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体 的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
B．勒洛四面体被平面 截得的截面面积是
C．勒洛四面体表面上交线 的长度为
D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于258．（2023·广东揭阳·校考二模）如图，已知正方体 棱长为2，点M为 的中点，点P
为底面 上的动点，则（ ）
A．满足 平面 的点P的轨迹长度为
B．满足 的点P的轨迹长度为
C．存在点P满足
D．以点B为球心， 为半径的球面与面 的交线长为
59．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）如图1，在 中， ， ，
，DE是 的中位线，沿DE将 进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥 （如图
2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为
B．四棱锥 的体积的最大值为C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为
D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为 ，则A、C两点间的距离为
60．已知三棱柱 的体积为 ，底面 满足 ， ， ，若 在底面
上的投影 恰好在直线 上，则下列说法中，正确的有（ ）
A．恒有
B． 与底面 所成角的最大值为
C．恒有
D．三棱锥 外接球表面积的最小值为
