文档内容
27.2.2 相似三角形的性质 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册（以下统称“教材”）第二十七章“相
似”27.2.2 相似三角形的性质，内容包括：相似三角形的性质.
2.内容解析
判定和性质是研究几何图形的两个重要方面，我们已研究了相似三角形的判定，接下来就要对性质进
行研究，与全等三角形一样，相似三角形的性质主要研究相似三角形几何量之间的关系.由相似三角形的定
义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.三角形还有其他的几何量，如高、中线、角平分线的长
度，以及周长、面积等.教材先对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究，推广得到
对应线段的比等于相似比；以此作为基础，得到相似三角形面积的比与相似比的关系．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：探究相似三角形的性质．
二、目标和目标解析
1.目标
1）理解并掌握相似三角形的对应高、中线、角平分线的性质.
2）理解并掌握相似三角形的周长与面积的性质.
3）会用相似三角形的性质解决相关问题.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比.
达成目标2）的标志是：相似三角形的对应周长的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方.
达成目标3）的标志是：理解与掌握相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质进行计算.
三、教学问题诊断分析
通过探究活动探索与证明相似三角形的性质是本节课知识的一个难点.针对这一问题，在教学中应引导
学生通过认真观察图形，利用相似三角形的判定，从而得出相似三角形的性质，第二个难点是理解与掌握
相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质进行计算.
基于以上分析，本节课的教学难点是：理解与掌握相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质进
行计算.
四、教学过程设计
（一）复习巩固
【提问1】相似三角形的判定方法有哪几种呢？【提问2】根据相似三角形的定义，你知道它有哪些性质吗？
师生活动：教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题.
【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来探究相似三角形的性质打好基础．
（二）探究新知
【问题一】三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素？
师生活动：学生回答问题，教师补充三角形除了三个角，三条边外，还有高、中线、角平分线、周长、
面积这些要素.
【猜想】如果两个三角形相似，那么对应的这些要素有什么关系呢？你能证明吗？
师生活动：学生回答问题.
【设计意图】引导学生类比全等三角形中几何量的对应关系猜想相似三角形对应几何量间的关系，激
发学生探究热情.
【探究一】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的中线，
问AD、A'D'有什么关系呢？
师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视，针
对不能写出证明过程的学生，教师适当给出提示：通过上节课的学习可知，
利用已知条件证明△ABD∽△A'B'D'，从而得出相似三角形对应中线.
AD 、 A'D'的关系
具体证明过程如下：
解：∵ △ABC∽△A'B'C'
AB BC
∴∠B=∠B’， = =k
A'B' B'C'
而AD、A'D'分 别 是B、CB'C'边上的中线
BD BC AB BD
∴ = ∴ = 而∠B=∠B’
B'D' B'C' A'B' B'D'
∴ △ABD∽△A'B'D'
AB AD
∴ = =k
A'B' A'D'
【结论一】相似三角形对应中线的比等于相似比.
【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形对应中线的比等于相似比.
【探究二】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分别是∠A、∠A‘的角平分，线问
AD 、 A'D'有什么关系呢？师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程.
具体证明过程如下：
解：∵ △ABC∽△A'B'C' ∴∠B=∠B’，∠A=∠A’
而
AD、A'D'分别是∠A、∠A‘的角平分线
1 1
∴ ∠BAD= ∠BAC, ∠B' A'D'= ∠B'A'C’
2 2
∴ ∠BAD= ∠B'A'D'∴ △ABD∽△A'B'D'
AB AD
∴ = =k
A'B' A'D'
【结论二】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
【探究三】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的高，
问AD、A'D'有什么关系呢？
师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程.
具体证明过程如下：
解：∵ △ABC∽△A'B'C'
∴∠B=∠B’ 而∠ADB=∠A' D'B'=90°
∴ △ABD∽△A'B'D'
AB AD
∴ = = k
A'B' A'D'
【结论三】相似三角形对应高的比等于相似比.
【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三
角形对应高的比等于相似比.
师：尝试归纳相似三角形的性质吗？
师生活动：学生通过所学内容，归纳总结相似三角形的性质.
（三）典例分析与针对训练
例1 已知ΔABC∽ΔDEF，且相似比为4:9，则ΔABC与ΔDEF的对应高之比为（ ）
A．2:3 B．3:2 C．4:9 D．9:4
【针对训练】
1．如图，AD经过△ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作EG//BC交AD于点G，若BC=16，
则线段GE的长为（ ）A．6 B．4 C．5 D．3
2.如图,AD是△ABC的高， AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。1)当
1 1
SR= BC时，求DE长.2)当SR= BC时，求DE长.
2 3
（四）探究新知
【探究四】如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的周长有什么关系？
A
A'
B C B' C'
师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程.
具体证明过程如下：
∵ △ABC∽△A'B'C'
AB AC BC
∴ = = =k
A'B' A'C' B'C'
AB+BC++AC
由等比性质，得 =k
A'B'+B'C'+A'C'
【结论四】相似三角形对应周长比的比等于相似比.
【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形对应周长的比等于相似比.
【探究五】如图，△AB∽△A'B'C'，相似比为k，其 中A、DA'D'分 别 是B、CB'C'边上的高，
它们对应面积的比是多少？师生活动：先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程.
具体证明过程如下：
解：∵ △ABC∽△A'B'C'
BC AD
∴ = =k ∴BC=kB’C’，AD=kA’D’
B'C' A'D'
1 1
•BC•AD •kB’C’•kA’D’
S 2 2
则 ΔABC = = =k2
S 1 1
ΔA'B'C' •B'C'•A'D' •B'C'•A'D'
2 2
【结论五】相似三角形对应面积比的比等于相似比的平方.
【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形对应面积比的比等于相似比的
平方.
【问题二】简述相似三角形的性质？
师生活动：先由学生回答，再由教师引导与归纳，得出：
【设计意图】让学生理解与掌握相似三角形的性质.
（五）典例分析与针对训练
例2 相似三角形对应边的比为1∶4,那么相似比为_________,
对应角平分线的比为______，对应高的比为_________，对应中线的比为______，
对应周长的比为__________，对应面积的比为_________.
【针对训练】
1 把一个三角形变成和它相似的三角形，
1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
3）如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的__________。2 若ΔABC与ΔA B C 相似且对应中线之比为3:5，则周长之比和面积比分别是_________、
1 1 1
____________.
3．已知两相似三角形的对应中线的比是2：3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面
积是______．
4．如图，在平行四边形 ABCD 中，AE：EB=1：2，△CDF 的面积是 6cm2，则△ADF 的面积是
___________cm2
5．如图，在ΔABC中，AC=2，BC=4，D为BC边上的一点，且∠CAD=∠B．若ΔADC的面积为
a，则ΔABD的面积为（ ）
5 7
A．2a B． a C．3a D． a
2 2
AB BC AC 4
6．已知，△ABC和△DEF中， = = = ，△ABC的周长为80厘米，求△DEF的周长．
ED EF DF 3
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．正方形EFCD的三个顶点D、E、F分别在边AC、AB和BC上，
当AD＝2，BF＝3时，正方形CDEF的面积是_______．
8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，对角线AC与BD相交于点 O，把△ABO、
△BCO、△COD、△DOA的面积分别记作S 、S 、S 、S ，那么下列结论中，不正确的选项是
1 2 3 4
（ ）
A．S ＝2S B．S ＝S C．S ＝2S D．S ＝2S
2 1 1 3 2 4 3 4（六）能力提升
AD
1. 如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则 = .
AB
2. 如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为
（ ）
A．8S B．9S C．10S D．11S
（七）直击中考
1．（2023 重庆市中考）若两个相似三角形周长的比为1:4，则这两个三角形对应边的比是
（ ）
A．1:2 B．1:4 C．1:8 D．1:16
2．（2023泰州市中考）两个相似图形的周长比为3:2，则面积比为 ．
3．（2023南通市中考）如图，在△ABC中点D、E分别为AB、AC的中点，则S ADE：S ABC＝
△ △
．4．（2023眉山市中考）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点
F．若AE 2，则S ．
= △ADF =
EB 3 S
△AEF
（八）归纳小结
1.通过本节课的学习,你学会了哪些知识？
2. 简述相似三角形的性质？
（九）布置作业
P39：练习
五、教学反思
