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5.3 实际问题与一元一次方程
（第 1 课时 产品配套问题和工程问题） 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第五章“一元一次
方程”5.3实际问题与一元一次方程第1课时，内容包括利用一元一次方程分析与解决配套、工程等问题.
2.内容解析
配套问题、工程问题等是实际生活中的常见问题，也是可借助方程模型解决的典型问题之一，并具有
一定的代表性.这类问题的背景和表达都更贴近实际，其中的有些数量关系也比较隐蔽．对这些问题的探
究可以使学生进一步体验一元一次方程与实际的密切联系，体会数学建模思想，培养运用一元一次方程分
析和解决实际问题的能力.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：配套问题、工程问题的探究过程．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解配套问题、工程问题的背景，分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量
关系列方程解决问题.
（2）掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
2.目标解析
（1）理解问题相关的概念，能够找出解决问题所需的关键量，并利用一元一次方程将之求出．
（2）经历配套问题、工程问题的探究过程，掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程．
三、教学问题诊断分析
学生在小学阶段及前面学习对列方程解决实际问题虽然有所了解，但是本节教材所涉及的实际问题的
背景和表达都更加贴近实际，数量关系有的比较隐蔽，有的比较抽象，有的则更为复杂，需要学生结合自
己的生活经验理清、理解，经历探究用一元一次方程解决实际问题的基本过程，进而逐步提升他们分析问
题、解决问题的能力，有效积累探究、交流、反思等数学活动经验，体会转化化归和方程模型思想，增强
数学应用意识和能力．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：在探究过程中准确找到题目中隐含的相等关系．
四、教学过程设计（一）回顾旧知
小学我们学过工程问题，请回答下列问题：
1. 一项工作甲单独做需要5天完成，乙单独做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是 ，乙
每天的工作效率是 ，两人合作3天完成的工作量是 ，此时剩余的工作量是 .
； ； ； ．
2. 一项工作甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天
的工作效率是____，两人合作3天完成的工作量是_________，此时剩余的工作量是_________.
； ； ； ．
工作量、工作时间、工作效率的关系：
1. 工作量=___________ × ____________；工作时间；工作效率．
2. 工作时间=___________÷____________；工作量；工作效率．
3. 工作效率=___________÷____________. 工作量；工作时间．
（二）新课导入
从前面几节课的学习中已经可以看出，方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具. 从本节课开
始，我们将重点学习如何用一元一次方程解决实际问题.
生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺栓和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出
生活中配套问题的例子吗？
（三）典例分析
例1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1 200个螺栓或2 000个螺母. 1个螺栓需要配 2个螺母，
为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
解：设应安排 x 名工人生产螺栓，(22－x)名工人生产螺母.
依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x .
解方程，得 x＝10.
所以 22－x＝12.
答：应安排10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母.
师生活动：学生思考，教师适时引导：本题需要我们解决的问题是什么？题目中哪些信息能解决人员
安排的问题？螺母和螺栓的数量关系如何？学生确有困难，教师可提示学生列出表格．师生归纳：生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.
解决配套问题的思路：
1. 利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据；
2. 利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
【设计意图】使学生经历“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，有助于提高学生的分析问
题和解决问题的能力．
针对训练：
1.如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求
白皮，黑皮各多少块？
解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32－x)块，
五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32－x)条．
依题意，得 2×5x=6(32－x),
解得x=12，则32－x=20.
答：白皮20块，黑皮12块.
2. 一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部
件. 现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这
种仪器？共配成多少套？
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件.
根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240.
解得 x = 4.
则 6－x = 2.
共配成仪器：4×40=160 （套）.
例2：整理一批图书，由1人整理需要 40 h 完成. 现计划由一部分人先整理 4 h，然后增加 2人与
他们一起整理8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人进行整理？
解：设先安排 x人整理4 h，根据题意得等量关系：
前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1
可列方程 ，解方程，得
4x+8(x+2)＝40，
4x+8x＋16＝40，
12x＝24，
x＝2.
答：应先安排 2人进行整理.
师生活动：师生共同思考，教师适时点拨，帮助学生分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×
时间；工作总量=各部分工作量之和.
【设计意图】使学生经历“实际问题——数学问题——实际问题”的过程，有助于提高学生的分析问
题和解决问题的能力．
针对训练：
1. 加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任
务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？
解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12－x）天.
依题意，得
.
解得 x=8.
答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.
2. 有一批零件加工任务，甲单独做需要40h完成，乙单独做需要30h完成. 甲做了几小时后，因另有
紧急任务离开，剩下的任务由乙单独完成，乙比甲多做了2h. 求甲做了几小时？
解：设甲做了x h.
依题意，得 .
解方程，得 x＝16.
答：甲做了16小时.
【设计意图】在教师引领完成例题之后，依次给出练习，使学生获得的解题经验得以巩固，并通过应
用练习转化为能力．
（四）总结归纳
师生活动：教师引导学生共同归纳：用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：这一过程一般包括审、找、设、列、解、检、答等步骤，正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
【设计意图】让学生对列方程解决实际问题有一个整体的感知，形成知识体系．
（五）当堂巩固
1. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要 12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程
队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：
.
解方程，得 x = 8.
答：要8天可以铺好这条管线.
2. 收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割 后，改用新式农机，工作效率提
高到原来的 倍，因此比预计时间提早1小时完成. 求这块水稻田的面积．
解：设这块水稻田的面积为x亩.
依题意，得 .
解方程，得 x＝36.
答：这块水稻田的面积为36亩.
【设计意图】考查学生对建立方程模型解决这些问题的一般方法的掌握．
（六）能力提升
1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30天制 作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为 .
2×50x = 20(30－x)
2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完
成，那么所列方程为 .
3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎
样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？（一张方桌有1
个桌面，4条桌腿）
解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿.
根据题意，得 4×50x = 300(10－x)，
解得 x =6，所以 10－x = 4，
可做方桌为50×6=300（张）.
答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.
4. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分
由甲、乙合作. 剩下的部分需要几小时完成？
解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得：
.
解得x = 6.
答：剩下的部分需要6小时完成.
5. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因
甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得：
.
解得 x = 13.
答：乙队还需13天才能完成．
【设计意图】进一步考查学生对建立方程模型解决此类问题的一般方法的掌握．（七）感受中考
（2024•陕西）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除. 根据这次大扫除的任务量，
若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h. 当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，
接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小峰和爸爸这次一共打扫了3h，求这次小峰打扫了多长时间.
【解答】解：设这次小峰打扫了x h，则爸爸打扫了(3－x) h，
根据题意得： .
解得：x=2.
答：这次小峰打扫了2 h.
【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．
（八）课堂小结
1. 本节课学习的主要内容是什么？
2. 分析实际问题中的数量关系，常用的方法是什么？需要注意哪些问题？
3. 通过本节课的学习，尝试用自己的语言描述，如何建立方程模型来解决实际问题？
【设计意图】通过问题引领学生梳理探究过程，归纳用一元一次方程解决实际问题的方法．
（九）布置作业
P140：习题5.3：第2、3、4、5题.
五、教学反思
本节内容是学生进入中学后代数知识学习的又一次重要跨越．在前面，学生已经学习了有理数、整式
的加减和一元一次方程的解法，对数的认识已经由非负数有理数扩展到有理数，知道了用字母可以表示具
有一般意义的数量关系，掌握了解一元一次方程的一般步骤和基本方法，学生对代数知识的学习正逐步深
入，他们的代数变形能力正逐步提高．本节是第三章一元一次方程的最后一节，是对前面所学内容的综合
运用，也是七上教材“数与代数”领域的压轴内容．
列方程解决实际问题是本节教学的重点，也是难点，更是贯穿本章前后的一条主线．在前面讨论一元
一次方程解法时，也是先给出实际问题，然后通过设未知数列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般
步骤的．本节是直接运用解一元一次方程的一般步骤与方法解决实际问题．这样设计教材，既揭示了学习
解一元一次方程的必要性，体现了一元一次方程在实际生活中广泛的应用价值，也有利于学生带着问题
（如何解一元一次方程）来学习和探究，使得他们的学习方向更明确，阶段目标更具体，也利于分散难点，便于学生有层次、有梯度地学习．
列方程就是通过读题审题理清和寻找题目中相等的数量关系，通过设未知数将这些相等的数量关系表
示出来．解一元一次方程就是，通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤，将方程向ax=b（a≠0）
的方向转化，其中体现了化归和程序化思想．解方程得到的未知数的值，是否符合具体问题的实际意义，
是我们学习列方程解应用题需要关注的．这既是实际问题与数学问题相互转化过程中需要注意的问题，也
有利于培养学生良好的思维习惯和品质，让他们能够从中进一步体会方程的应用价值．
