文档内容
6.2.2 线段的比较与运算 导学案
学习目标
1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.
2. 理解线段等分点的意义. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
3. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用 .
重点难点突破
★知识点1：线段的基本性质
据生活经验，本性质易理解，其难点是灵活运用，在应用时先找到“两点”，再去连接这两点的线，从中
辨别，哪条是连接这两点的线段，最后依此性质判定它最短.如△ABC 中，若想说明 AB+AC＞BC，就把
B、C看作这样的两点.图形中连接B、C的方式有两个：折线BAC和线段BC，根据“两点之间，线段最
短”得出AB+AC＞BC.在证明线路最短问题时，常用到这个性质，注意运用.
★知识点2：线段的中点问题
首先明确线段的中点是线段上的一个特殊点，它将线段分成了相等的两部分.一条线段只有一个中点.其次，
对线段中点的表示方法可归纳为三种，即倍、分、等.如图，若M为AB的中点，则有：AB=2AM，AM=
AB，AM=BM，在推理计算时要恰当选择.反过来，若存在上述某一种关系也可判定M为AB中点.
★知识点3： 两点的距离
平面上任意两点间都有一定的距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的
两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形.线段的长度才是两点间的
距离.可以说画线段，但不能说画距离.
核心知识
1. 比较线段大小的方法有： 、 .
2. 画一条线段等于已知线段用 ，画一条线段等于已知线段还可以用 ，如画线段AB=a，①画 .②在射线AC上截取（用圆规） .③线段AB即为所求.
3. 线段上一点，到线段两端点距离相等的点叫做线段的 .
4. 两点之间， 最短.
5. 叫做两点间的距离.
思维导图
合作探究
（一）比较线段的大小
问题1：怎样比较两个同学的高矮？有什么方法来验证你的判断?
问题2：判断线段AB和CD的大小：图① 图② 图③
（1）如图①，线段AB和CD的大小关系是AB CD；
（2）如图②，线段AB和CD的大小关系是AB CD；
（3）如图③，线段AB和CD的大小关系是AB CD．
（二）作一条线段等于已知线段
问题3：（1）上节课我们学习了直线、射线和线段，下面请同学们在练习本上任意画一条线段（图 1），
并把它表示出来；（2）你还能再作出一条与它同样大小的线段来吗？想一想，然后说一说你的想法．
图 1
合作探究
（三）线段的性质
问题4：（1）如图6，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如
果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线．
图6
（2）你能举岀“两点之间，线段最短”在生活中的一些应用吗？什么叫做“两点的距离”？
针对训练一
1. 如图，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+AC BC （填“>”“<”或“=” ）.
其中蕴含的数学道理是 .2. 下列说法正确的是（ ）
A．连接两点的线段叫做两点间的距离
B．两点间的连线的长度，叫做两点间的距离
C．连结两点的直线的长度，叫做两点的距离
D．连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离
3. 如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何设计
线路？请在图中画出，并说明理由.
4. 把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长度有什么变化？
5. 在一条笔直的公路两侧，分别有 A，B 两个村庄，如图，现在要在公路 l 上建一个汽车站 C，使汽车
站到 A，B 两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.
（三）线段的运算
问题5：如图 2，线段AB和AC 的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图
中观察出其他线段之间的和、差关系吗？图2
问题6：（1）如图3，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和？a与b的差呢？
图3
（2）反思以上作图过程，总结作图方法．
典例分析
例1：如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b.
合作探究
问题7：（1）如图4，已知线段a，求作线段AB，使AB=2a．将线段AB折叠，你有什么发现？你能描述
线段中点的概念吗？
图4
（2）类似地，线段还有三等分点、四等分点……，你认为该怎样描述三等分点和四等分点的概念？它们
又包含了怎样的数量关系？
（3）怎样用折叠法得到线段的四等分点？如图5，点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点，其中的数量关系可
表示为：AM=BM= AB.
图5
典例分析
例2：若AB = 6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?
例3：如图， B、C是线段AD上两点， 且AB：BC：CD=3：2：5， E、F分别是AB、CD的中点，且
EF=24，求线段AB、BC、CD的长．
例4：A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（ ）
A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对
变式训练：
已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的
长为（ ）
A．21cm或4cm B．20.5cm
C．4.5cm D．20.5cm或4.5cm针对训练二
1. 如图，点C 是线段AB 的中点，
（1）若 AB = 6 cm，则 AC = cm.
（2）若 AC = 6 cm，则 AB = cm.
2. 如图，下列说法，不能判断点C 是线段AB 的中点的是 ( )
A. AC = CB B. AB = 2 AC
C. AC + CB = AB D. CB = AB
3. 判断正误：
（1）若P是线段AB的中点，则AP＝BP． （ ）
（2）若AP＝BP，则P是线段AB的中点． （ ）
4. 给你一根绳，不量取，你能找到它的中点吗？
5. 已知，如图AC=CD=DE=EF=FB
①点C是 的中点，是 的一个三等分点，又是 的一个四等分点，也是
的一个五等分点；
② CF= + + ； AC=AE－ ；
③ AD＝ AC，AE＝ AC，AC＝ AF，AC＝ AB；
④ AD＝ AE，AE＝ AB.
6. 如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求线段
DE 的长.当堂巩固
1. 下列说法正确的是 （ ）
A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段
B. 两点之间的距离是指两点之间的直线
C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度
D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度
2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为 .
3. 已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为
.
4. 点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是－3，1，若BC=5，则AC= ．
能力提升
1. 如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线段 AC 的中点．求线段 OB 的长度．
2. 已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．感受中考
（2024•吉林）如图，从长春站去往胜利公园，与其它道路相比，走人民大街路程最近，其蕴含的数学道
理是 ．
课堂小结
回顾本节课的学习，你掌握了哪些知识？
1. 比较线段的大小；
2. 画一条线段等于已知线段；
3. 线段的和差、等分点；
4. 两点之间，线段最短；
5. 两点的距离．
【参考答案】核心知识
1. 叠合比较法；长度比较法；
2. 度量长度的办法；截取法（尺规作图）；射线AC；AB=a；
3. 中点；
4. 线段；
5. 连接两点的线段的长度.
针对训练一
1. >；>；>；两点之间线段最短．
2. D；
3. 解：图略；两点之间线段最短．
4. A，B 两地间的河道长度变短.
5. 解：画出汽车站的位置如图：
典例分析
例1：解：如图，在直线上作线段AB=a，再在线段AB 的延长线上作线段BC=a，则线段AC=2a.在线段
AC 上作线段AD=b，则线段 DC=2a－b.
例2：解：因为C是线段AB的中点，
所以AC=CB= AB= ×6=3（cm）.
因为D是线段CB的中点，所以CD = CB = ×3=1.5（cm）.
所以AD =AC+CD=3+1.5= 4.5（cm）.
例3：解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以 ， ，
所以EF=BE+BC+CF= ．
因为EF=24，所以6x=24，解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
例4：解：分以下两种情况进行讨论：
①当点C在AB之间上，故AC=AB－BC=1cm；
②当点C在AB的延长线上时，AC=AB+BC=9cm．
变式训练：
D.
针对训练二
1. （1） 3；（2）12；
2. C；
3. （1）√；（2）×；
4. 对折即可；
5. ①AD；AE；AF；AB；
②CD；DE；EF；CE；
③2；3； ； ；
④ ； .
6. DE 的长为 5 cm.
当堂巩固
1. C；2. AD＝BC；
3. 15 cm；
4. 11或1.
能力提升
1. 解：因为AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)，
点O为线段 AC 的中点，
所以OC = AC= ×7 = 3.5（cm），
所以OB = OC－BC = 3.5－3 = 0.5（cm）．
2. 解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x，
所以AD=AB+BC+CD=10x.
因为M是AD的中点，
所以AM=MD=5x，所以BM=AM－AB=3x.
因为BM=6，即3x=6，所以x=2.
故CM=MD－CD=2x=4，
AD=10x=20．
感受中考
【解答】解：其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
