文档内容
6.3.2 角的比较与运算 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教2024版《义务教育教科书•数学》七年级上册（以下统称“教材”）第六章“几何图形
初步”6.3角第2课时，内容包括角的比较，角的和与差，角的平分线．
2.内容解析
角的比较、角的和与差、角的平分线是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的知识基
础．角的大小比较方法有两种：度量法和叠合法．其中，叠合法是重要的方法，叠合时使两个角的顶点及
一边重合，另一边落在第一条边的同旁，保证了可比性；度量法中量角器起到了一个移角的作用，其实质
是将两个角移动后叠合在一起，比较两角的大小是本节知识产生、发展的起点，不论是图形还是数量，除
角的大小外，自然会产生角的和与角的差的问题，再将角的和与差问题特殊化，自然又会产生等分问题．
与线段的比较、线段和与差、线段中点一样，对于角的比较、角的和与差、角平分线，也是从数和形
两方面来研究．研究方法有两个方面：一是数与形结合，把几何意义与度数的数量关系结合起来．二是类
比学习，按知识内容，线段的比较、线段和与差、线段中点与角的比较、角的和与差、角平分线是类比性
知识；按叙述方式，都采用图形语言、文字语言和符号语言综合描述所研究的对象；按学习过程，都注意
从具体到抽象（模型→图形→文字→符号），同时也重视反向的训练．
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点为：角的大小、角的和与差、角平分线的意义及数量关系；
感受类比的思想．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解角的大小、角的和与差、角平分线的意义及数量关系，并会用文字语言、图形语言、符号
语言进行描述．
（2）类比线段的大小、和与差、中点，学习角的比较、角的和与差、角平分线，体会类比思想．
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两
个角的大小；能从几何图形和数量关系两方面认识角的和与差及角平分线，知道两个角的和、差仍然是一
个角，知道角的和、差或等分的度数的计算；能结合角的大小、和与差、角平分线的直观图形，用文字语
言和符号语言描述它们，反之，能将它们用符号语言或文字语言所表述的图形及关系，用图形直观表示出
来．达成目标（2）的标志是：在学习过程中，能在回忆线段的大小、和与差、中点内容的同时，想象本
节课所要学习的内容，能对学习进程心中有数；能将对线段的大小、和与差、中点的研究方法和基本套路
迁移到角的相关问题研究中，不断地提出问题、分析问题、解决问题．
三、教学问题诊断分析
角的比较大小、角的和与差、角平分线研究与研究线段的大小比较、和与差、中点的内容和方法很相
似，教学时把两者作对比，学生在学习方法和学习内容的理解上，不会有困难．困难在于正确地完成图形
语言、文字语言、符号语言之间的转化．究其原因，一方面，语言是思维的产物，图形是实物和模型第一
次抽象，是对研究对象的直观反映，文字语言是对图形的描述、理解和讨论，符号语言则是对文字语言的
简化和再次抽象．它们的综合运用，要求学生必须对研究对象从数和形上有着深刻的理解，并具有读图和
画图的能力；二是缺乏培养和训练，对于图形、文字、符号语言的综合运用，虽然在学习线段知识时已有
接触，但要达到融会贯通的程度还需要经过一段时间的学习和训练．
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：用图形语言、文字语言、符号语言综合描述角的大小、角
的和与差的关系及角的平分线．
四、教学过程设计
（一）温故知新，引入课题
上节课我们学了角的有关概念，你能回忆一下学了哪些内容吗？从研究线段得到启发，接下来将研究
什么？
师生活动：学生回忆，回答问题.
问题1：请同学们回忆一下，前面我们学习了线段的哪些内容？
师生活动：学生回顾在线段中所学内容，教师归纳．
教师关注学生对所学线段内容的整体认识以及“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程．
【设计意图】通过回忆与本节课内容密切相关的引导性材料，使学生对学习进程心中有数，帮助学生
掌握研究问题的方法.
（二）观察思考，探究新知
问题2：类比线段大小的比较，你认为该如何比较两个角的大小？在练习本上画两个角，比较它们的
大小，并说明你是怎么比较的．
师生活动：学生讨论解决问题的方法，学生代表展示交流．
学生展示交流后提问：比较角的大小的方法有几种？每种方法中应注意的问题是什么？
教师在学生展示交流的基础上，利用课件动画演示用量角器量角、用叠合法比较角的大小过程，归纳操作要点：
量角器量角要注意：对中，重合，读数；
叠合两角时要注意：（1）重合（两角的顶点及一边重合）．（2）同旁（另一边落在第一条边的同
旁）．
追问：两个角的大小关系有几种？你能用图形和符号表示吗？
师生活动：学生画出图形，并用符号表示（图1），指出两个角的大小关系有且仅有三种情况．
图1
教师关注学生运用度量法、叠合法比较角的大小操作的规范性；学生是否能体会两个角的大小关系有
且仅有三种情况．
【设计意图】采用类比的方法，按照“几何模型——图形——文字——符号”的学习程序，学生动手
操作，自主探究．建立线段比较长短与角比较大小之间知识与方法的联系，在对比中加深理解．指出对于
两个角的大小关系和两个实数的大小关系一样，有且仅有三种情况：∠A＞∠B，∠A＝∠B，∠A＜∠B，
为以后分类研究一些有关角的问题奠定基础．
问题3：如图2，图中共有几个角？它们之间有什么关系？
图2
师生活动：学生确定角的个数，明确角之间的和差关系．
教师关注学生是否能发现角的和差关系，若学生仅说出它们的大小关系，教师可引导学生进一步观察
图形，类比线段的和与差，发现角的和差关系．
学生完成上述问题后提问：
你能用符号表示这些角之间的和差关系吗？
教师关注学生能否理解角的和与差的意义．
【设计意图】以角的比较大小的图形（图2）为背景，提出角的和差问题，将知识由角的大小过渡到
角的和与差，衔接自然流畅．同时，针对同一图形变换审视角度提出问题，可以提高学生的读图能力．用
符号表示角的和差关系，仍遵循“几何模型——图形——文字——符号”的学习过程，在图形与等式之间建立一种关系．从角的大小数量上研究角的和与差，突出反映角的和与差的意义与度数的数量间的关系，
加深对角的和与差概念的理解．
问题4：利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角？这些角有什么规律？
师生活动：学生动手操作，小组合作探究，师生归纳．
师生归纳：一副三角尺上的角都是常用的角，它们是 30°，45°，60°，90°的角，利用这些角可以很方
便地画出与这些角相关的一些特殊角，如 15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°等．
【设计意图】用一副三角尺画出一些特殊角，除让学生巩固角的和与差概念外，也使学生对这些特殊
角的大小有直观的认识，培养对角的大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的认识．
（三）典例分析
例1：如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
解：∵∠AOB 是平角，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC.
∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′.
针对训练：
1. 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则∠AOB＝ 75 °．
2. 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则∠AOC＝ 20 °．
3. 若∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，则∠BOC＝ 9 0 或 30 °．
（四）合作探究
问题5：类比线段的中点，在图3中，射线OB有没有一种特殊位置，若有，此时三个角之间又存在怎
样的关系？图3
图4 图5
师生活动：画出图形，如图4，明确角的平分线的概念．
提出问题：
（1）你能用符号表示图4中角之间的关系吗？
（2）类似角的平分线，还有角的三等分线（图5），一个角的三等分线有几条？四等分线呢？
【设计意图】从角的和差问题中，将射线OB的位置特殊化，并类比线段的中点，引出角的平分线的
概念，不仅知识的产生、发展自然连续，也体现了由一般到特殊，由特殊到一般的研究方法．同时，也能
建立知识间的联系，完善认知结构．
问题6：你能得到一个角的平分线吗？
师生活动：画图展示交流，归纳方法（用量角器、折纸）；教师结合学生的展示交流或利用课件动画
演示折叠过程中的翻折过程．教师关注学生操作是否规范．
【设计意图】进一步明晰角平分线的概念，为后续学习轴对称和研究有关图形的翻折问题打下基础．
（五）典例分析
例2：如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线.
（1）如果∠AOC=80°，那么∠BOC是多少度？
（2）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
（3）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？解：（1）因为OB平分∠AOC，∠AOC=80°，
所以∠BOC= ∠AOC= ×80°=40°.
（2）因为OB平分∠AOC，
所以∠BOC=∠AOB = 40°.
因为OD平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
（3）因为∠COD=30°，OD平分∠COE，
所以∠COE=2∠COD=60°，
所以∠AOC=∠AOE－∠COE=140°－60°= 80°.
又因为OB平分∠AOC，
所以∠AOB= ∠AOC= ×80°= 40°.
例3：如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分
线所成的角的度数．
解：分以下两种情况：
①如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，
∴∠AOC=2x=2×8°=16°.
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOD－∠AOC=20°－16°=4°．
②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，
∵∠AOB=40°，
∴3x－2x=40°，得x=40°，
∴∠AOC=2x=2×40°=80°，
∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
例4：把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角（精确到分）？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
针对训练：
计算：1. 120°－38°41′；
解：原式 = 119°60′－38°41′= 81°19′ .
2. 67°31′+48°49′.
解：原式 = (67+48)°+(31+49)′
= 115°97′
= 116°37′ .
3. 20°30′×8；
解：原式 = 20°×8+30′×8
= 160°240′
= 164°
4. 106°6′÷5.
解：原式= (106÷5)°+(6÷5)′
= 21°+1°÷5+(6÷5)′= 21°+(66÷5)′
=21°+13′+1′÷5
=21°+13′+60″÷5
=21°13′12″
（六）当堂巩固
1. 如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 （ A
）
2. （1）如下图，填空：
∠AOB＋∠BOC＝ ；∠AOC
∠AOC＋∠COD＝ ；∠AOD
∠BOD－∠COD＝ ；∠BOC
∠AOD－ ＝∠AOB. ∠BOD
（2）如上图 ：已知∠AOB = ∠BOC =∠COD，
则OB 是 的平分线；∠AOC
∠AOC= ；∠BOC = = = .
∠BOD；∠AOB；∠DOC； ∠AOD.
3. 填空：
∵AD是∠BAC的平分线∴∠ =∠ .BAD；CAD；
（ 角平分线的意义 ）
∵∠ABC=2∠ABE
∴ 平分∠ .BE；ABC.
（ 角平分线的意义 ）
4. 如图，∠AOB=∠COD=90，∠AOD=146°，则∠BOC=____.34°
5. 已知∠AOB=38°，∠BOC=25°，那么∠AOC 的度数是 .13°或63°
6. 计算：
（1）12°36′56″+45°24′35″；
（2）79°45′+61°48′49″；
（3）62°24′17″×4；
（4） 102°43′÷3.
答案：（1）58°；（2）141°33′49″；（3）249°37′8″；（4）34°14′20″.
7. 如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°，求∠AOD的度数.
答案：∠AOD=122°.
8. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
答案：∠COD=10°.
【设计意图】培养学生估计角的大小的能力．用适当方法验证，则可进一步巩固比较角大小的方法．
巩固角平分线性质和角的和与差概念，能使学生加深对角的平分线概念的认识，将形与数建立起联系，培
养学生数形结合的思想意识．通过观察图形，得出角之间的和差关系，提高学生对角的和差意义的认识，从而培养学生的识图能力．
（七）能力提升
1. 如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
解：设∠COD=x，
∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，
∴∠AOD=60°－x，
∴∠AOB=90°+60°－x=150°－x，
∵∠AOB是∠DOC的3倍，
∴150°－x=3x，解得x=37.5°，
∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
2. 如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
（1）求∠EOD的度数；
解：（1）∵∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠EOD＝∠DOC＋∠EOC
＝ (∠BOC＋∠AOC )
＝ ∠AOB＝ ×120°＝60°.
（2）若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
解：∵∠AOB＝120°，∠BOC＝90°，
∴∠AOC＝120°－90°＝30°.
∵OE平分∠AOC，∴∠AOE＝ ∠AOC＝ ×30°＝15°.
（八）感受中考
（2023•乐山）如图，点O在直线AB上，OD是∠BOC的平分线，若∠AOC＝140°，则∠BOD的度数
为 ．
【解答】解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝180°－140°＝40°，
∵OD是∠BOC的平分线，
∴ ，
故答案为：20°．
【设计意图】通过对最近几年的中考真题的训练，使学生提前感受中考考什么，进一步了解考点．
（九）课堂小结
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，构建知识与方法框图：
（十）布置作业
P178：习题6.3：第3、7、8题.
P179：习题6.3：第10题.
五、教学反思
本节内容是在学生掌握了直线、射线、线段的基本知识，以及对角有初步认识的基础上学习的．本章
是初中阶段“图形与几何”领域的第一章，如何从现实的、具体的物体中抽象、归纳出几何研究对象，对学生的学习具有奠基性意义，对学生数学素养的养成影响深远．通过本节内容的学习讨论，能让学生继续
体会到几何图形的抽象性特点．同时，本节渗透的数形结合、分类讨论、方程等数学思想方法，以及图形
语言、文字语言、符号语言的表述与转化也是后续学习的重要基础．
几何图形是“图形与几何”的研究对象，正确掌握几何语言是学好本节几何知识的必备条件．本节教
学要在学生先前初步了解和感知教材编写特点的基础上，让学生继续有意识的按“模型→图形→文字→符
号”和“符号→文字→图形”的程序来学习、来认知，把几何语言的使用和训练落到实处．
发展学生的空间观念、培养学生的空间想象力是本节教学的另一个重要目标，应重视让学生从事动手操
作、观察、思考、想象、交流等活动，为学生提供一些现实的、有意义的、有一定挑战性的学习任务，鼓
励学生勤思考、多动手、善交流，在活动中获得几何概念和性质，以及读图、表达、推理等技能，从而丰
富学生的空间想象能力．
