文档内容
7.1.2 两直线垂直（八大类型提分练）
类型一、垂直的有关定义及理解
1．（2024七年级上·全国·专题练习）同一个平面内，经过一点能作几条直线与已知直线垂直（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．（2024七年级上·全国·专题练习）P为直线l上的一点，Q为l外一点，下列说法不正确的是（ ）
A．过P可画直线垂直于l B．过Q可画直线l的垂线
C．连结PQ使PQ⊥l D．过Q只能画1条直线与l垂直
3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知ON⊥a，OM⊥a，所以OM与ON在同一条直线上的理
由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．过一点只能作一条垂线
D．垂线段最短
4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．两个角的和为180°，那个这两个角互为邻补角
C．过直线外一点作已知直线的垂线段，就是点到直线的距离
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
类型二、利用垂直求角度
5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，若∠DOB=43°，则∠COE的度数是（ ）
A．43° B．137° C．57° D．47°
6．（23-24七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，直线a、b相交于点O，射线c⊥a，垂足为点O，若
∠1=40°，则∠2的度数为（ ）
A．50° B．120° C．130° D．140°
7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分
∠AOC，ON⊥OM．若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
8．（24-25七年级上·广东清远·期末）如图，直线 CD、EF 相交于点O，OA⊥OB，若∠BOD=40°，
∠COF=98°，求∠AOE的度数．类型三、垂线段最短
9．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、
N．小强从道口A到公路BN，他选择的路线为公路AN，其理由为（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
10．（24-25七年级上·河南·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“两点之间，
线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条
11．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为PA=2.13米，
PH=1.96米，PB=2.23米，则黎明的跳远成绩应该为 米．
类型四、点到直线的距离
12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且
PB⊥a，垂足为点B，PA⊥PC，则下列正确的语句是（ ）
A．线段PC的长是点P到直线a的距离 B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离D．线段AC的长是点C到直线PA的距离
13．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，
若MA=5cm, MB=4cm, MC=2cm, MD=3cm，则点M到直线l的距离是（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
14．（2024七年级上·全国·专题练习）A为直线l外一点，B为直线l上一点，点A到直线l的距离为3cm，则
AB 3cm（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ．
15．（21-22七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=4cm，
AC=3cm，AB=5cm．
(1)点B到AC的距离是________cm；点A到BC的距离是_________cm．
(2)画出表示点C到AB的距离的线段，并求这个距离．
类型五、垂线的有关问题
16．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为1，A、B、
C都在格点上．
(1)利用网格作图：过点C画直线AB的垂线CE，垂足为点E；
(2)线段CE的长度是点______到直线_______的距离；
(3)比较大小：CE______CB（填＞、＜或＝），理由：______．
17．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正
方形的顶点都叫格点，请利用网格特征，解答下列问题(1)过点C画AB的垂线，并标出垂线所经过的格点E；
(2)连接AC，BC，则△ABC的面积为______．
18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据下列要求画图：
(1)连接AB，画直线OA，画射线OB；
(2)在直线OA上找到一点C，使线段BC是点B与直线OA上各点的所有线段中长度最短的线段．
类型六、有关垂直的有关计算问题
19．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．
(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；
(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．
20．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC．(1)当∠COE=27°时，求∠AOD的度数；
(2)若OF⊥OE，∠DOF=2∠BOC，求∠AOC的度数．
类型七、利用角度关系证明两直线垂直
21．（22-23七年级上·河南开封·期末）如图，直线AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE
的平分线．
(1)写出∠DOE的补角；
(2)若∠DOE=30°，求∠BOC和∠EOF的度数；
(3)试问射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系？为什么？
类型八、分类讨论思想在垂直求角中的应用
22．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知OA⊥OC，∠AOB:∠AOC等于4:5，则∠BOC的度数为
．
23．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线AB与CD交于O，OE⊥CD,OF⊥AB,∠DOF=65°，则
∠BOE的度数 ．
24．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，
则∠A= ．
一、单选题
1．（21-22七年级下·河南洛阳·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，
∠AOD=125°．则∠EOC的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点C(F)叠放在一起，其中
∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°，三角板ABC不动，三角板DEF可绕点C旋转，则下列结论：
①∠BCE+∠ACD随∠ACD的变化而变化；②当∠BCE=3∠ACD时，DE一定垂直于AC．其中正确的结论是（ ）
A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，
②错误
3．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，射线OD平分
∠EOB，射线OM平分∠BOD，则∠AOM等于（ ）
A．135° B．157.5° C．155° D．145.5°
4．（18-19七年级下·广西钦州·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于点
O．若∠EOF=α，下列说法：①∠AOC=α-90°；②∠EOB=180°-α；③∠AOF=360°-2α．其
中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．（2024·江苏常州·中考真题）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推
力F 、F ，则F 的力臂OA大于F 的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
1 2 1 2A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．（18-19七年级上·天津河北·期末）如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，OD⊥OF，OB平分
∠DOG．给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
①当∠AOF=60°时，∠DOG=60°； ②OD平分∠EOG；
③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG=∠AOB-2∠EOF．
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使OC⊥OD，
当∠AOC=38°时，∠BOD的度数是 ．
8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠BOC，
∠1:∠2=2:1，则∠COF的度数为 ．9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是
∠2的2倍少30度，则∠1的度数为 °．
10．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线AB和CD交于O点，OD平分∠BOF，OE⊥CD于
点O，∠AOC=30°，则∠EOF= ．
11．（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，
若∠AOE+∠BOF=66°，则∠BOC= °．
12．（23-24七年级下·重庆荣昌·期末）如图，直线AB，CD交于点M，MF⊥AB，MG⊥CD，MB平
分∠DME，下列结论中：①当∠AMG=60°时，∠DME=60°；②MD平分∠EMF；③与∠BMD相
等的角有3个；④∠CME=∠AMB-2∠FMG；⑤∠FMG+∠DME=90°．正确的结论序号是
．三、解答题
13．（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．
(1)如果∠COB=130°，那么根据________，可得∠AOD=________°；
(2)如果∠EOB=2∠AOC，求∠AOD的度数．
14．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．
(1)若∠1=∠2，求证：ON⊥CD；
1
(2)若∠1= ∠BOC，求∠AOC的度数．
4
15．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂
足，OF平分∠AOC．
(1)若∠AOF=64°，求∠COE的度数；
(2)若∠AOF:∠COE=3:2，求∠EOF的度数．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线AB和CD相交于O点，∠COE=90°，OF平分∠AOE，
∠BOD=26°．(1)求∠AOC的度数；
(2)求∠COF的度数．
17．（22-23七年级下·广西钦州·期中）如图，直线AB,CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥CD
(1)若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；
(2)若∠BOD:∠BOE=1:2，求∠AOF的度数．
18．（23-24七年级下·河南南阳·开学考试）已知O为直线MN上一点，OA⊥MN，∠COE=90°．
(1)如图1，下面是判断∠AOE与∠CON的数量关系的部分说理过程，请完成填空：
因为∠AOE+∠EON=__________°，∠CON+∠EON=__________°；（第一步）
所以∠AOE=__________；（第二步）
在上面（第一步）到（第二步）的推理过程中，理由依据是：__________．
(2)若将∠COE绕点O旋转至图②的位置．
①直接写出图2中所有相等的角（直角除外）__________．
②作∠COM的平分线OF，若∠AOF=α，则∠CON=__________（用含α的代数式表示）．
