文档内容
7.3 定义、命题、定理 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册（以下统称“教材”）第七章“相交线与平
行线”7.3定义、命题、定理，内容包括：通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义；结合具体实
例，会区分命题的题设和结论；知道证明的意义和证明的必要性；会用综合法的证明格式；了解反例的
作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
2.内容解析
本节课从以往的学习内容出发，指出了数学对象的定义和命题的概念，包括命题的结构和命题的真假；
再从真命题出发，指出了定理和证明的概念，并以“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的
一条，那么它也垂直于另一条”为例，呈现了一个完整的用符号语言表述的证明过程，来说明什么是证明．
并结合一个反例，说明“相等的角是对顶角”是假命题，让学生理解通过反例判断假命题的方法．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：对命题结构的认识和理解证明要步步有据.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）通过具体实例，了解定义、命题、定理的意义；结合具体实例，会区分命题的题设和结论.
（2）知道证明的意义和证明的必要性；知道数学思维要合乎逻辑；会用综合法的证明格式；了解反
例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
（3）经历几何命题的证明过程，增强推理能力，会用数学的思维思考现实世界；经历确立几何命题
的过程，体会数学命题中条件和结论的表述，感悟数学表达的准确性和严谨性，会用数学的语言表达现实
世界．
2.目标解析
（1）从学生以往的学习内容出发，引导学生观察、分析，归纳出定义和命题的特征，通过对不同命
题的分析，让学生准确指出题设和结论，加深对命题结构的理解，为后续学习命题的真假判断和证明奠定
基础.
（2）以简单的几何命题证明为例，详细讲解综合法的证明格式，从题设出发，一步步推导出结论，
使学生理解证明的逻辑过程和书写规范.同时，通过给出一些假命题，让学生寻找反例，明白反例在判断命
题真假中的作用，培养学生严谨的思维习惯.
（3）通过巩固练习让学生经历完整的证明过程，从已知条件出发，运用已学的定理、定义进行推理，
逐步提升学生的逻辑推理能力.在命题的提出和证明过程中，引导学生用准确、精炼的数学语言进行表述，强化学生数学语言表达能力，体会数学与现实世界的联系，学会用数学思维解决实际问题.
三、教学问题诊断分析
1.证明思路的构建：在证明过程中，学生往往难以从已知条件出发，找到合适的定理和方法来推导结
论，缺乏逻辑推理的方向感.尤其是对于较为复杂的几何图形，学生可能无法准确识别图形中的隐含条件和
等量关系，导致证明过程中断.
2.反例的构造：对于假命题，学生可能不知道如何快速、有效地构造反例，缺乏对反例本质的理解，
即找到满足题设但不满足结论的具体情况.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：掌握综合法证明的逻辑顺序和方法，能够清晰、严谨地进
行书面证明表达.
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题 根据以往学过的内容填空.
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴；
（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值叫作方程的解；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线叫作这个角的平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
这样的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象的本质特征.
追问 你能再举出一些学过的定义的例子吗？
（1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值.
（2）求几个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂.
（3）由数或字母的积组成的代数式，叫作单项式.
（4）含有未知数的等式叫作方程.
（5）有公共端点的两条射线组成的图形叫作角.
（6）两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线.
设计意图：让学生举出一些学过的定义的例子，能促使学生进一步理解定义所揭示的数学对象的本质
属性，强化对定义概念的认识.同时，举例的过程是对已学知识的一次回顾和巩固.学生所举的例子也是教
师了解学生对定义掌握程度的一个重要依据.
（二）合作探究
探究1 判断下列语句是否正确.
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；（√）
（2）对顶角相等；（√）（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（√）
（4）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；（√）
（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.（×）
像这样可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫作命题.
被判断为正确(或真)的命题叫作真命题，被判断为错误(或假)的命题叫作假命题.
追问1 判断下列语句是不是命题，如果是，请判断它们的真假.
（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.（真命题）
（2）取线段AB的中点C.（不是命题）
（3）如果两个角互补，那么它们是邻补角.（假命题）
（4）两点确定一条直线.（真命题）
（5）当直线a，b不相交时，我们说直线a与b互相平行.（假命题）
（6）过直线外一点作已知直线的垂线.（不是命题）
（7）对顶角相等吗？（不是命题）
追问2 你能再举出一些学过的真命题的例子吗？
（1）互为相反数的两个数相加得0.
（2）两点之间，线段最短.
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（4）同位角相等，两直线平行.
（5）两直线平行，内错角相等.
......
探究2 请同学们观察下列命题，并思考命题是由几部分组成的.与同伴交流.
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除；
（3）两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（4）同位角相等，两直线平行.
（5）如果两个角互补，那么它们是邻补角.
数学中的命题常可以写成“如果......那么......”的形式.命题由题设和结论两部分组成.
“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
探究2 你能将下列命题写成“如果+题设，那么+结论”的形式吗？
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等；
（2）对顶角相等；
（3）互为相反数的两个数的绝对值相等；（4）绝对值相等的两个数互为相反数；
（5）两直线平行，内错角相等.
改写后：
（1）如果在一个等式的两边加上同一个数，那么所得的结果仍相等；（真命题）
（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（真命题）
（3）如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等；（真命题）
（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数；（假命题）
（5）如果两条直线平行，那么内错角相等.（真命题）
追问 从题设和结论的角度，如何理解真命题和假命题？
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是真命题.
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是假命题.
巩固练习：指出下列命题的题设和结论.
（1）若a=b，则5a=5b.
（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°.
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3.
（4）两直线平行，同位角相等.
探究3 下列真命题，它们的正确性是经过推理证实的吗？
（1）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；（关于平行线的基本事实）
（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（经过推理证实）
（3）同位角相等，两直线平行；（判定两条直线平行的基本事实）
（4）内错角相等，两直线平行.（经过推理证实）
(1)(3)的正确性是经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的，这样的真命题叫作基本事实.基
本事实是推理的原始依据.
(2)(4)的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理.定理也可以作为继续推理的依据.
追问 你能再举出一些学过的基本事实和定理的例子吗？
基本事实：
（1）等式两边可以交换.
（2）相等关系可以传递.
（3）两点确定一条直线.
（4）两点之间线段最短.
（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知 直线垂直.
......定理：
（1）同角(等角)的余角相等.
（2）同角(等角)的补角相等.
（3）对顶角相等.
（4）同旁内角互补，两直线平行.
（5）两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
......
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明.
设计意图：理解命题的结构有助于学生搭建起推理证明的逻辑框架.题设为学生提供了推理的出发点
和依据，结论则明确了推理的方向和终点，使学生在进行推理证明时能够有条不紊地组织思路，避免盲目
猜测和无目的的尝试，从而更高效地完成证明过程.
（三）典例分析
例1 证明命题：“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一
条”.
转化 自然语言→符号语言
如图，已知直线a⊥b，b∥c.求证a⊥c.
证明：∵a⊥b（已知），
b c A
∴∠1=90°（垂直的定义），
∵b∥c（已知），
1 C
O 2
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
1 2
a
∴∠2=90°（等式的基本事实）.
B
∴a⊥c（垂直的定义）. 例1图 例2图
证明的每一步推理都要有依据，不能想当然. 依据是已知条件、定义、基本事实、定理等.
例2 判断命题“相等的角是对顶角”的真假，并说明理由.
解：“相等的角是对顶角”是假命题.
反例：如图，OC是∠AOB的平分线，
∠1=∠2，但它们不是对顶角.
判断一个命题是错误的，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
设计意图：推理证明的过程需要学生依据已知条件、定理、定义等，按照一定的逻辑顺序进行推导，
得出结论.在这个过程中，学生的思维会变得更加严谨、有条理，并学会从复杂的问题中梳理出清晰的思
路，分析问题和解决问题的能力也会得到提升.（四）巩固练习
1. 在下面的括号内填上推理的依据.
A D
如图，∠A+∠B=180°，求证∠C+∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
B C
∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
2. 命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由，如果不是，请举出反例.
解：“同位角相等”是错误的.
反例：如图，∠ABC和∠DEF是同位角，
但它们不相等.
3. 完成下面的证明.
（1）如图（1），AB∥CD，BC∥ED.求证∠B+∠D=180°.
证明：∵AB∥CD，
∴∠B= ∠ C (两直线平行，内错角相等)，
A B E
∵BC∥ED，
∴∠C+∠D=180°(两直线平行，同旁内角互补).
C D
∴∠B+∠D=180°.
（2）如图（2），∠ABC=∠A’B’C’，BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线. 求证∠1=∠2.
证明：∵BD，B’D’分别是∠ABC，∠A’B’C’的平分线，
1 1
∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ A ’ B ’ C ’(角平分线的定义). A A'
2 2
又 ∠ABC=∠A’B’C’， D D'
1 1
∴ ∠ABC= ∠A’B’C’， 1 2
2 2 B C B' C'
∴∠1=∠2(等式的基本事实).
4. 完成下面的证明．
如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥DE．
证明：∵∠D＝∠E(已知)；
∴CD∥EF(内错角相等，两直线平行)；
∵AB∥EF(已知)；
∴AB∥CD(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)；
∴∠B＝ ∠ C (两直线平行，内错角相等)；∵∠B+∠D＝180°(已知)；
∴ ∠ C +∠D＝180°(等式的基本事实)；
∴BC∥DE(同旁内角互补，两直线平行)．
设计意图：以填空的形式引导学生书写几何证明题的过程，相比直接让学生写出完整的证明过程，具
有降低难度，增强信心，引导思路，规范逻辑，及时反馈，突出重点，加深理解等优势.
（五）归纳总结
定义、命题、定理
对数学对象的清晰、明确的描述称为数学对象的定义.它揭示了数学对象
定义
的本质特征.
可以判断为正确(或真)或错误(或假)的陈述语句叫做命题.
被判断为正确(或真)的命题叫做真命题，
命题
被判断为错误(或假)的命题叫做假命题.
命题由题设和结论两部分组成.
基本事实 经过长期实践和验证，被公认为正确且无需证明的真命题叫作基本事实.
定理 经过推理证实的真命题叫做定理.
一个命题的正确性通常需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫做
证明
证明.
符合命题的题设，但不满足结论的例子叫作反例.它可以用来判断一个命
反例
题是错误的.
（六）感受中考
1.(2022•梧州、盘锦、绥化)下列命题中，假命题是①⑤.
①﹣2的绝对值是﹣2；
②对顶角相等；
③如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b；
④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
⑤如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等.
2. (2021•金华)某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（C）
如图，已知直线l ，l ，l ，l ．若∠1＝∠2，则∠3＝∠4． l
1 2 3 4 3
3
请完成下面的说理过程．
l
1 1
解：已知∠1＝∠2，
根据（内错角相等，两直线平行），得l 1 ∥l 2 ． 2 4 l 2
再根据（※），得∠3＝∠4． l 4
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补
3. （2019•常州）判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可
以为（A）
A．﹣2 B．﹣1/2 C．0 D．1/2
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
数学语句
定义 命题
无需证明 基本事实
本质特征 成立 真命题
题设 ＋ 结论 证明 定理
不成立 假命题 反例
设计意图：本节课知识点较多，在小结阶段加入思维导图，可以简洁明了地将本节课繁多的知识点进
行整合，清晰地展示出各个知识点之间的层次关系、逻辑关系和内在联系，帮助学生将碎片化的知识构建
成一个完整的知识体系，使他们对本节课的知识结构有更全面、更深入的理解.
另外，思维导图的可视化特点更符合大脑的记忆规律，能够给学生留下更深刻的视觉印象，便于学
生更好的记忆和回顾知识.通过图形和线条的连接，学生可以更直观地看到知识的脉络，从而更容易在脑海
中形成长期记忆.
（八）布置作业
1.必做题：习题7.3 第1题，第2题.
2.探究性作业：习题7.3 第4题.
五、教学反思
