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7.7平行线中常见的作辅助线（九大类型提分练，重难点培优）
类型一、辅助线：连接两点
1．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间，
且满足∠MAC+∠ACB+∠SBC =360°．
（1）证明：MN//ST；
（2）如图2，若∠ACB=60°，AD//CB，点E在线段BC上，连接AE，且∠DAE=2∠CBT，试判断
∠CAE与∠CAN的数量关系，并说明理由；
类型二、辅助线：延长线段
2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间，连接AE，CE．
【感知】如图①，若∠BAE=40°，∠ECD=50°，则∠AEC=__________°；
【探究】如图②，猜想∠BAE、∠ECD和∠AEC之间有什么样的数量关系，并说明理由；
【应用】如图③，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG（CE∥FG），若∠AEC=80°，
FH平分∠DFG，则∠AHF=__________°．
类型三、“猪蹄”型作平行线
3．（2021九年级·全国·专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：
∠BFE=∠FEC
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（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF= ∠EAB，∠ECF= ∠ECD，求证：∠AFC= ∠AEC
4 4 4类型四、“子弹头”型作平行线
4．（22-23七年级下·河北邯郸·期中）（1）如图①，AB∥DE，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数
量关系吗？请说明理由．
（2）如图①，在AB∥DE的条件下，∠B=135°，∠D=145°．求∠BCD的度数．
（3）如图②，AB∥EF，根据（1）中的结论进一步猜想，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
类型五、“拐点”型图作平行线
5．（21-22七年级下·河南焦作·期末）（1）如图，AB ∥ CD，若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的
度数．
（2）如图，AB ∥ CD，探究∠B，∠C，∠BEC三者之间有怎样的数量关系？试说明理由．
类型六、“羊角”型图作平行线
6．（2023九年级·全国·专题练习）如图，AB∥DE，则∠BCD,∠B,∠D有何关系？为什么？
类型七、“牛角”型图作平行线
7．（2023九年级·全国·专题练习）如图，已知AB∥DE，∠BCD=30°，∠CDE=138°，求∠ABC的
度数．类型八、“多拐点”型图作平行线
8．（21-22七年级下·山东烟台·期中）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想
亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最
重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，
AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE=60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度
数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数．
类型九、“复合拐点”型图作平行线
9．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F．
(1)如图1，若∠E=100°，求∠BFD的度数；
(2)如图2，若BM，DM分别平分∠ABF与∠CDF，写出∠M与∠BED之间的数量关系，并说明理由；
(3)若∠ABF=n∠ABM，∠CDF=n∠CDM，设∠E=m，直接写出用含m，n的代数式表示∠M=
________．
一、解答题
1．如图所示，直线 ， ， ，求 的度数.2．如图所示， ， 与 的角平分线相较于点 ， ，求 的度数.
3．如图， ，点 在直线 ， 之间，连接 ， ．
(1)写出 ， ， 之间的数量关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的度数；
4．（1）已知：如图（a），直线 ．求证： ；
（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么
新的猜想？
5．（1）如图1， ， ， ，直接写出 的度数．
（2）如图2， ，点 为直线 间的一点， 平分 ， 平分 ，写出 与
之间的关系并说明理由．
（3）如图3， 与 相交于点 ，点 为 内一点， 平分 ， 平分 ，若
， ，直接写出 的度数．6．（1）如图1， ， ， ，则 ；
（2）如图2， ，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时， ，
，求 与 、 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直
接写出 与 、 之间的数量关系．
7．综合探究：已知 ，点 、 分别是 、 上两点，点 在 、 之间，连接 、
．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，若点 是 下方一点， 平分 ， 平分 ，已知 ，求
的度数．
8．已知直线 ， A是l 上的一点，B是l 上的一点，直线l 和直线l，l 交于C和D，直线 上有一
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点P．
(1)如果P点在C，D之间运动时，问 有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索 之间的关系
又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）
9．如图，已知直线 ， 和 分别交于点A、B、C、D，点P 在直线 或 上且不与点
A、B、C、D重合，记 ．
(1)若点P在图（1）位置时，求证： ；
(2)若点P在图（2）位置时，写出 之间的关系并给予证明．
10．已知直线 ，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF
的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如图 ，当点 在线段 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；
(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．
①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；
②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．
11．已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数
量关系，并说明理由．
12．问题情境：如图①，直线 ，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若 ， ，试猜想 ______°；
(2)探究：在图①中探究 ， ， 之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展：将图①变为图②，若 ， ，求 的度数．
13．如图， ，点E在直线AB，CD内部，且 ．
（1）如图1，连接AC，若AE平分 ，求证： 平分 ；
（2）如图2，点M在线段AE上，
①若 ，当直角顶点E移动时， 与 是否存在确定的数量关系?并说明理由；
②若 （ 为正整数），当直角顶点E移动时， 与 是否存在确定的数量关系?
并说明理由．
14．如图， ，定点 ， 分别在直线 ， 上，在平行线 ， 之间有一个动点 ，满足
．
（1）试问： ， ， 满足怎样的数量关系？
解：由于点 是平行线 ， 之间一动点，因此需对点 的位置进行分类讨论．如图1，当点 在 的
左侧时，易得 ， ， 满足的数量关系为 ；如图2，当点 在
的右侧时，写出 ， ， 满足的数量关系_________．
（2）如图3， ， 分别平分 和 ，且点 在 左侧．
①若 ，则 的度数为______；
②猜想 与 的数量关系，并说明理由；
③如图4，若 与 的角平分线交于点 ， 与 的角平分线交于点 ， 与
的角平分线交于点 ，以此类推，则 与 满足怎样的数量关系？（直接写出结果）15．直线AB∥CD，M为AB上一定点，N为CD上一定点，E为直线AB和直线CD之间的一点．
（1）当点E在MN上时，如图1所示，请直接写出∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系；
（2）当点E在MN左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明；
（3）当点E在MN右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN，∠CNE，∠AME之间的数量关系，并证明．
