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6.1.1 平方根（六大类型提分练）
类型一、求一个数的平方根
1．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）3的平方根是（ ）
A．❑√3 B．−❑√3 C．±❑√3 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了求一个数的平方根，结合一个正数的平方根有两个，互为相反数，即可作答．
【详解】解：3的平方根是±❑√3，
故选：C．
2．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）❑√16的平方根是（ ）
A．4 B．−4 C．±4 D．±2
【答案】D
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足a2=b，那么a就
叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可．
【详解】解：❑√16=4，
∴❑√16的平方根是±2，
故选：D．
3．（22-23七年级下·全国·课后作业）求下列各数的平方根：
(1)49；
81
(2) ；
121
(3)(−16) 2；
(4)0.0064．
【答案】(1)±7
9
(2)±
11
(3)±16
(4)±0.08
【详解】因为(±7) 2=49，所以49的平方根是±7．
( 9 ) 2 81 81 9
（2）因为 ± = ，所以 的平方根是± ．
11 121 121 11
（3）因为(±16) 2=(−16) 2，所以(−16) 2的平方根是±16．（4）因为(±0.08) 2=0.0064，所以0.0064的平方根是±0.08
4．（23-24七年级下·福建·期末）下列式子中表示“16的平方根是±4”的是（ ）
A．❑√16=±4 B．±❑√16=±4 C．√316=±4 D．−√316=±4
【答案】B
【分析】本题主要考查平方根的定义及表示方法．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平
方根是0；负数没有平方根．即一个非负数a的平方根为±❑√a，据此即可判断．
【详解】解：±❑√16=±4表示16的平方根是±4，
故选：B．
5．（23-24八年级上·全国·课后作业）求下列各数的平方根，并用式子表示出来．
(1)|−225|；
| 4 )
(2) ；
121
(3)❑√0.0016；
(4)❑√(−0.2) 2
【答案】(1)±15
2
(2)±
11
(3)±0.2
(4)±❑√0.2
【分析】本题考查平方根和算术平方根，掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键
（1）先化简绝对值，再求求平根；
（2）先化简绝对值，再求求平根；
（3）先求算术平方根，再求平方根；
（4）先求算术平方根，再求平方根；
【详解】（1）|−225|=225，225的平方根是±15．用式子表示为±❑√|−225)=±15；
（2） | 4 ) = 4 ， 4 的平方根是± 2 ．用式子表示为±❑ √| 4 ) =± 2 ；
121 121 121 11 121 11
（3）❑√0.0016=0.04，0.04的平方根是±0.2，用式子表示为±❑√❑√0.0016=±0.2；
（4）❑√(−0.2) 2=0.2，0.2的平方根是±❑√0.2，用式子表示为±❑√❑√(−0.2) 2=±❑√0.2
类型二、平方根概念的理解
6．（22-23七年级下·全国·课后作业）“9的平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A．❑√9 B．±❑√9
C．❑√3 D．±❑√3
【答案】B【解析】略
7．（23-24七年级下·四川泸州·期末）若实数3m−6有平方根，则m的取值范围是（ ）
A．m≤2 B．m<2 C．m>2 D．m≥2
【答案】D
【分析】此题考查了平方根的性质，根据平方根的性质求解即可．
【详解】∵实数3m−6有平方根，
∴3m−6≥0
∴m≥2．
故选：D．
8．（18-19八年级上·河北唐山·期末）如果实数m没有平方根，那么m可以是（ ）
A．−32 B．|−3) C．(−3) 2 D．−(−3)
【答案】A
【分析】本题主要考查平方根的性质，正确化简各选项，熟练掌握只有非负数有平方根，负数没有平方根
是解题关键．利用乘方、绝对值的性质及去括号法则逐一化简各选项，根据只有非负数有平方根，负数没
有平方根即可得答案．
【详解】解：−32=−9<0，|−3)=3>0，(−3) 2=9>0，−(−3)=3>0，
∵实数m没有平方根，
∴m<0，
∴−9没有平方根，
故选：A．
9．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法：①(−5) 2的平方根是±5；②−a2一定没有平方根；③非负
数a的平方根是非负数；④因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负，其中错误说法的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了平方根的定义，由平方根的定义逐项分析即可得出答案，熟练掌握一个正数的平方根
有两个，一正一负，负数没有平方根，是解此题的关键．
【详解】①(−5) 2=25的平方根是±5，故①正确；
②当−a2=0时有平方根，故②错误；
③非负数a的平方根互为相反数，故③错误；
④负数没有平方根，一个正数的平方根有两个，一正一负，故④错误．
综上所述，错误的有②③④，共3个，
故选C．
类型三、求代数式的平方根
10．（20-21八年级上·四川眉山·期中）若❑√x−2+|y+7|+(z−7) 2=0，则x−y+z的平方根为（ ）A．±2 B．4 C．2 D．±4
【答案】D
【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；
【详解】∵❑√x−2+|y+7|+(z−7) 2=0，
{x−2=0
)
∴ y+7=0 ，
z−7=0
{
x=2
)
解得 y=−7 ，
z=7
∴x−y+z=2−(−7)+7=16，
∴±❑√16=±4；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
11．（19-20七年级上·全国·课后作业）下列各数中，不一定有平方根的是( )
A．x2＋1 B．|x|＋2 C．❑√a+1 D．|a|－1
【答案】D
【分析】根据平方根的性质解答即可.
【详解】A、∵x2＋1>0，∴该数有平方根；
B、∵|x|＋2>0，∴该数有平方根；
C、❑√a+1>0，∴该数有平方根；
D、∵|a)≥0，∴|a|－1不一定大于0，故该数不一定有平方根；
故选：D.
【点睛】此题考查了平方根的性质：正数有两个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根，正确掌握
实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.
12．（18-19七年级下·湖北荆门·期中）如果自然数a的平方根是±m，那么a+1的平方根用m表示为
（ ）
A．±（m+1） B．（m2+1） C．±❑√m+1 D．±❑√m2+1
【答案】D
【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a，由此进一步表示出a+1，从而进一步即可得出答案．
【详解】由题意得：这个自然数a为：m2，
∴a+1=m2+1,
故a+1的平方根用m表示为：±❑√m2+1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知实数a，b，c满足：❑√a−5+|b+4)+(c−3) 2=0，求：
(1)a，b，c的值．
(2)a+b+c的平方根．
【答案】(1)a=5,b=−4,c=3
(2)a+b+c的平方根为±2
【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术
平方根的非负性是解题的关键；
（1）根据题意易得❑√a−5=0，|b+4)=0，(c−3) 2=0，然后进行求解即可；
（2）根据（1）可得a+b+c的值，然后根据平方根可进行求解．
【详解】（1）解：∵❑√a−5+|b+4)+(c−3) 2=0，且❑√a−5≥0，|b+4)≥0，(c−3) 2≥0，
∴❑√a−5=0，|b+4)=0，(c−3) 2=0，
解得：a=5，b=−4，c=3；
（2）解：由（1）得：a=5，b=−4，c=3，
∴a+b+c=5−4+3=4，
∴4的平方根为±2，
即a+b+c的平方根为±2．
类型四、已知一个数的平方根，求这个数
14．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）若某数的平方根为2a+3和a−15，则这个数是（ ）
2
A．−18 B．− C．121 D．以上结论都不是
3
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方根的性质，根据正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此即可得
到关于a的方程，求得a的值，进而求得这个数的值．
【详解】解：根据题意得：2a+3+(a−15)=0，
解得a=4，
则这个数是(2a+3) 2=121．
故选：C．
15．（24-25八年级上·河北邢台·期中）一个正数的两个不同的平方根是m+1和m−13，则这个正数是
（ ）
A．7 B．49 C．6 D．36
【答案】B
【分析】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键．
根据一个正数的两个不同的平方根互为相反数建立方程，解方程可得m的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得：m+1+m−13=0，
解得m=6，则这个正数是(m+1) 2=(6+1) 2=49．
故选：B．
16．（24-25八年级上·广东清远·期中）一个数的算术平方根为3x−2，平方根为±(x+2)，求这个数．
【答案】16
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，求出解即可．
【详解】根据题意，得|3x−2)=|±(x+2))，且3x−2≥0，
解得x=2，
∴3x−2=4，
∴这个数是:(3x−2) 2=16．
17．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是4−a与2a，求❑√a2的值．
【答案】4
【分析】本题主要考查了平方根的概念，一元一次方程，算术平方根等知识点，根据平方根的定义进行解
题即可，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．
【详解】解：由题可知，
4−a+2a=0，
解得a=−4，
∴❑√a2=❑√(−4) 2=4．
类型五、利用平方根解方程
18．（24-25九年级上·河北保定·期末）下列数中，能使方程x2−4=0成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．16
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用开平方法解一元二次方程即可求解．
【详解】解：x2−4=0，
x2=4，
∴x=±2
故选：B．
19．（22-23八年级上·江苏扬州·阶段练习）求下列各式中的x值：
(1)25x2−9=0；
(2)4(1+x) 2=49．
3 3
【答案】(1)x = ，x =−
1 5 2 5
5 9
(2)x = ，x =−
1 2 2 2
【分析】本题考查了利用平方根解方程，解题的关键是掌握平方根的定义．
（1）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可；（2）根据解方程的步骤和平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：25x2−9=0
25x2=9
9
x2=
25
3 3
x = ，x =−
1 5 2 5
（2）解：4(1+x) 2=49
49
(1+x) 2=
4
7
1+x=±
2
5 9
x = ，x =−
1 2 2 2
20．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值：
(1)25x2=16；
(2)(x−1) 2−15=0．
4
【答案】(1)x=± ；
5
(2)x=1±❑√15．
【分析】本题主要考查了利用平方根的性质求未知数的值．
（1）整理后，根据平方根的性质求解即可；
（2）整理后，根据平方根的性质求解即可．
16
【详解】（1）解：整理得x2=
，
25
4
解得x=± ；
5
（2）解：整理得(x−1) 2=15，
开方得x−1=±❑√15，
解得x=1±❑√15．
21．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）计算：
(1)(x−2) 2=25．
(2)3(x+2) 2=27
【答案】(1)x=7或x=−3
(2)x=1或x=−5
【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，熟练掌握知识点是解题的关键．（1）直接利用平方根的定义求解即可；
（2）先将(x+2) 2前的系数化1，再利用平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：(x−2) 2=25
x−2=5或x−2=−5，
解得：x=7或x=−3；
（2）解：3(x+2) 2=27
(x+2) 2=9
x+2=3或x+2=−3，
解得：x=1或x=−5．
类型六、平方根的应用
22．（2022九年级上·吉林长春·学业考试）已知正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
5
A． B．❑√5 C．−❑√5 D．±❑√5
4
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．
设正方形的边长为x ，根据题意可得x2=5，根据平方根的定义解出即可．
【详解】解：设正方形的边长为x ，根据题意得：
x2=5 ，解得：x=❑√5 或−❑√5 （不合题意，舍去）．
故选：B．
23．（24-25八年级上·山西晋城·期中）将9个棱长为4cm的正方体实心橡皮泥揉在一起，然后捏成2个高
为8cm，底面为正方形的实心长方体橡皮泥，则长方体的底面边长为（ ）
A．3cm B．6cm C．8cm D．36cm
【答案】B
【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程的应用．设长方体的底面边长为xcm，根据橡皮泥的体积不
变列方程，再根据平方根的意义解方程即可．
【详解】解：设长方体的底面边长为xcm，
则2×8x2=9×43，
∴x2=36，
∴x=6或x=−6（不合题意，舍去），
即长方体的底面边长为6cm，
故选：B
24．（24-25八年级上·内蒙古包头·阶段练习）小明家要买一批正方形地板砖铺地板，已知小明家的住房面
积为144m2，计划用400块．求每块地板砖的边长．
【答案】0.6m【分析】此题主要考查了平方根的应用，正确表示出总面积是解题关键．根据正方形的性质结合总面积为
144m2得出方程求解即可．
【详解】解：设需要的地板砖的边长是xm，根据题意可得：
400x2=144，
解得：x=0.6或x=−0.6（不合题意，舍去），
答：需要的地板砖的边长是0.6m．
25．（24-25八年级上·河南周口·期中）小美制作了一张边长为14cm的正方形贺卡想寄给朋友，现有一个
长方形信封如图所示，长、宽之比为3：2，面积为330cm2．
(1)求此长方形信封的长和宽；
(2)小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)长为3❑√55cm，宽为2❑√55cm；
(2)能，理由见解析．
【分析】本题考查算术平方根的应用，以及无理数的估算，解题的关键是掌握由算术平方根的定义求出正
方形贺卡的边长．
（1）设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm，根据面积为330cm2列方程求解即可；
（2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可．
【详解】（1）解：∵信封的长，宽之比为3：2，
∴设长方形信封的长为3xcm，宽为2xcm，
由题意得3x⋅2x=330，
∴x=❑√55（负值已舍去），
∴长方形信封的长为3❑√55cm，宽为2❑√55cm；
（2）能，理由：∵55>49，
∴❑√55>7，
∴2❑√55>14．
∵正方形贺卡的边长是14cm，
∴信封的宽大于正方形贺卡的边长，
∴小美能将这张贺卡不折叠就放入此信封．1．（2024秋•英德市期中）下列说法不正确的是（ ）
A．16的平方根是±4
B．正数、零和负数都有立方根
C．﹣6是36的平方根
D．﹣27的立方根是3
【答案】D
【分析】如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么x叫做a的平方根；如果一个数y的立方等于b，
即y3＝b，那么y叫做b的立方根；有平方根的数一定是非负数，正数的平方根有两个且互为相反数，
而任意数都有唯一的立方根．据此解答即可．
【详解】解：A．16的平方根是±4，原说法正确，不符合题意；
B．正数、零和负数都有立方根，原说法正确，不符合题意；
C．﹣6是36的平方根，原说法正确，不符合题意；
D．﹣27的立方根是﹣3，原说法不正确，符合题意．
故选：D．
2．（2024秋•廊坊期中）下列数中能使（x﹣2）2＝0成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】利用开平方法求出方程的解即可判断求解．
【详解】解：由条件可知x﹣2＝0，
解得x＝2．
故选：B．
3．（2024秋•清苑区期中）若2m﹣4和﹣3m为同一个正数的不同平方根，则m的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【答案】B
【分析】正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
【详解】解：由条件可知2m﹣4﹣3m＝0，
∴m＝﹣4．
故选：B．
4．（2024春•乌鲁木齐月考）下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，
（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）负数没有立方根
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】运用算术平方根、平方根和立方根的定义判定即可．【详解】解：（1）因为负数没有平方根，所以原说法不正确；
（2）一个数的算术平方根不一定是正数，0的算术平方根是0，所以原说法不正确；
（3）负数有立方根，所以原说法不正确；
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．正确．
不正确的有3个，
故选：D．
a
5．（2023春•东至县期末）已知|b﹣4|+（a﹣1）2＝0，则 的平方根是（ ）
b
1 1 1 1
A．± B． C． D．±
2 2 4 4
【答案】A
a
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再代入代数式求出 ，然后根据平方根的定义解答即
b
可．
【详解】解：根据题意得，b﹣4＝0，a﹣1＝0，
解得a＝1，b＝4，
a 1
所以， = ，
b 4
1 1
∵（± ）2= ，
2 4
a 1
∴ 的平方根是± ．
b 2
故选：A．
6．（2024秋•小店区校级月考）若a是（﹣5）2的平方根，b的一个平方根是3，则代数式a﹣b的值为（
）
A．﹣14或﹣4 B．﹣14 C．﹣4 D．4或﹣14
【答案】A
【分析】先依据平方根的定义和性质求得a、b的值，然后依据有理数的减法法则求解即可．
【详解】解：∵a是（﹣5）2的平方根，
∴a＝±5，
∵b的一个平方根是3，
∴b＝9，
∴当a＝5，b＝9时，a﹣b＝﹣4；
当a＝﹣5，b＝9时，a﹣b＝﹣14．
故选：A．
7．（2024秋•南明区校级月考）已知（x+5）2＝49，则x＝ 2 或﹣ 1 2 ．
【答案】2或﹣12．【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：（x+5）2＝49．
x+5＝±7．
解得x＝2或﹣12．
故答案为：2或﹣12．
8．（2024•船山区校级开学）若3﹣m有平方根，则m的取值范围为 m ≤ 3 ．
【答案】m≤3．
【分析】根据平方根的性质即可求得答案．
【详解】解：若实数3﹣m有平方根，
则3﹣m≥0，
解得：m≤3，
故答案为：m≤3．
9．（2024春•双城区期末）若一个数的平方根是2a+1和4﹣a，则这个数是 8 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】2a+1和4﹣a是一个数的平方根，则这两个式子互为相反数，据此即可列出方程求得 a的值，
进而根据平方根的定义求得这个数．
【详解】解：根据题意得：（2a+1）+（4﹣a）＝0，解得：a＝﹣5，
则（2a+1）2＝（﹣10+1）2＝81．
故答案为：81．
10．（2024春•安州区期末）若m、n是一个正数的平方根，则3m+3n﹣5＝ ﹣ 5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数求出m+n的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：m+n＝0，
则原式＝3（m+n）﹣5＝﹣5，
故答案为：﹣5
11．（2024秋•宜阳县期中）若我们把平方根为整数的数叫做完全平方数，则在0到100的101个数中是完
全平方数的数共有 1 1 个．
【答案】11．
【分析】根据平方根和完全平方数的定义解答即可．
【详解】解：0的平方根为0，1的平方根为±1，4的平方根为±2，9的平方根为±3，16的平方根为±4，
25的平方根为±5，36的平方根为±6，49的平方根为±7，64的平方根为±8，81的平方根为±9，100的平
方根为±10，所以在0到100的101个数中是完全平方数的数共有11个．
故答案为：11．
12．（2024春•高要区期中）根据下面表格中的数据求得2.3104的平方根是 ±1.5 2 ．
x … 15 15.1 15.2 15.3 …
x2 … 225 228.01 231.04 234.09 …【答案】±1.52．
【分析】根据被开方数的小数点与其平方根的小数点之间的变化规律解答即可．
【详解】解：∵±❑√231.04=±15.2，
∴±❑√2.3104=±1.52，
故答案为：±1.52．
13．（2024•福田区校级开学）已知y=❑√x−3−❑√6−2x+12，则xy的平方根等于 ± 6 ．
【答案】±6．
【分析】首先根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数求得x的值，然后求得y的值，然后求解．
【详解】解：根据题意得x﹣3＝0，
解得：x＝3，
则y＝12．
则xy的平方根等于±6，
故答案为：±6．
14．（2024秋•扬州校级期末）求下列各式中的x的值：
（1）8x2＝50；
（2）（x﹣2）3+27＝0．
5
【答案】（1）x=± ；
2
（2）x＝﹣1．
【分析】（1）根据平方根的定义解方程即可；
（2）根据立方根的定义解方程即可．
【详解】解：（1）8x2＝50，
25
x2=
，
4
5
x=± ；
2
（2）（x﹣2）3+27＝0，
（x﹣2）3＝﹣27，
x﹣2＝﹣3，
x＝﹣1．
15．（2024秋•钢城区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求这个正数m；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【答案】（1）49；
（2）x＝±4．
【分析】（1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答；（2）将a＝1代入ax2﹣16＝0中得x2﹣16＝0，根据平方根的定义解方程即可．
【详解】解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，
解得a＝1，
∴m＝（1+6）2＝49；
（2）当a＝1时，x2﹣16＝0，
x2＝16，
x＝±4．
16．（2024秋•兰溪市期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【答案】（1）a＝﹣1，x＝9；
（2）±5．
【分析】（1）根据正数的平方根有两个，他们互为相反数可得出2a﹣1+（﹣a+2）＝0即可求出a的值，
然后求出x的值即可；
（2）将（1）中的x，a的值代入3x+2a中求出平方根即可．
【详解】解：（1）∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得：a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝9；
（2）将x＝9，a＝﹣1代入3x+2a中得，
3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∵25的平方根为±5，
∴3x+2a的平方根为±5．
