文档内容
8.1 平方根【9 个必考点】
【人教版2024】
【考点1 平方根的定义】..........................................................................................................................................1
【考点2 运用开平方解方程】..................................................................................................................................2
【考点3 平方根性质的运用】..................................................................................................................................3
【考点4 算术平方根的理解】..................................................................................................................................3
【考点5 算术平方根的双重非负性】.....................................................................................................................4
【考点6 算术平方根小数点移动规律】.................................................................................................................4
【考点7 算术平方根的估算】..................................................................................................................................5
【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】.................................................................................................6
【考点9 算术平方根的实际应用】..........................................................................................................................6
【考点1 平方根的定义】
【平方根的概念及性质】
1.定义：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根.
2.性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
3.开平方的定义
(1)求一个数的平方根的运算，叫作开平方.
(2)平方与开平方互为逆运算，可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确.
4.被开方数
正数a的正的平方根记为“❑√a”，读作“根号a”，a叫作被开方数.
【必刷题】
9 3
1．（2024秋•左权县期中）“ 的平方根是± ”用数学式子表示为（ ）
64 8
√ 9 3 √ 9 3 √ 9 3 √ 9 3
A．❑ =± B．❑ = C．±❑ =± D．−❑ =−
64 8 64 8 64 8 64 8
2．（2024秋•兴宁市校级月考）（﹣2024）2的平方根是（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．±2024 D．±❑√2024
3．（2024秋•海州区校级期中）下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3 B．﹣9的平方根是﹣3C．（﹣2）2没有平方根 D．2是4的一个平方根
4．（2023秋•雨湖区期末）下列说法中正确的个数是（ ）
①（﹣3）2的平方根是+3；
②﹣m2没有平方根；
③非负数a的平方根是非负数；
④负数没有平方根；
⑤0和1的平方根等于本身．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024春•福山区期中）已知❑√m−4❑√m+13❑√m=28.36，则m的平方根为（ ）
A．0.2836 B．2.836 C．±0.2836 D．±2.836
【考点2 运用开平方解方程】
【必刷题】
1．求下列各式中的x：
（1）x2﹣143＝1；
（2）4（x+1）2＝81．
2．计算：
（1）（x﹣2）2＝25；
（2）3（x+2）2＝27．
3．求式子中x的值．
（1）25x2﹣1＝0．
（2）（1﹣2x）2＝289．
4．求下列各式中的x．
1
① x2﹣18＝0
2
②（1﹣x）2＝25
③2（x+1）2﹣8＝0．
5．求下列各式中的x：
1
（1）x2− =0；
36
（2）25x2＝256；
（3）（2x﹣1）2＝169；（4）4（3x+1）2＝1．
【考点3 平方根性质的运用】
【必刷题】
1．（2024春•礼县校级月考）（1）如果一个正数的平方根为2x﹣3和5﹣x，求这个正数．
（2）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根．
2．（2024秋•凤翔区期末）若一个正数a的两个平方根分别是3b﹣5和﹣2b+2．
（1）求a和b的值；
（2）求a+3b的平方根．
3．（2024秋•兰溪市期中）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
4．（2024秋•观山湖区校级月考）一个正数b的两个平方根分别是2a﹣3与5﹣a，
（1）求a和b的值．
（2）求5a+b﹣3平方根．
5．（2024秋•苏州期中）已知：2x﹣1和4x+3是m的两个不同的平方根
（1）求x，m的值．
（2）求1﹣9x的平方根．
【考点4 算术平方根的理解】
【算术平方根的概念及性质】
1.定义：正数a有两个平方根，其中正的平方根❑√a叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用❑√a来表示.
2.性质：(1)一个正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根，0的算术平方根是0
(2)算术平方根❑√a的双重非负性：①被开方数一定是非负数，即 a≥0；②非负数a的算术平方根为非负
数，即❑√a≥0.
【必刷题】
1．（2024春•林州市期末）“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A．❑√4 B．±❑√4 C．❑√2 D．±❑√2
2．（2024秋•信都区期中）式子 表示的意义是（ ）
❑√(−2) 2=2
A．（﹣2）2的平方根是2
B．（﹣2）2的算术平方根是2
C．2 的平方根是（﹣2）2D．2的算术平方根是（﹣2）2
3．（2024秋•道外区期末）下列正确的是（ ）
A．6是36的算术平方根，即❑√36=±6
B．6是（﹣6）2的算术平方根，即
❑√(−6) 2=6
C．±7是49的平方根，即±❑√49=7
D．±2是4的平方根，即❑√4=±2
4．（2024秋•东明县校级月考）若某个正整数的算术平方根是 x，则下一个正整数（比前一个正整数大
1）的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．x2+1
❑√x+1 ❑√x2+1 ❑√x+1
5．（2024秋•城关区期末）若x是❑√81的算术平方根，则x＝ ．
【考点5 算术平方根的双重非负性】
【必刷题】
1．已知❑√3x−1+❑√3 y+3=0，则❑√12x−5 y的平方根为 ．
2．已知y=❑√x−4+❑√4−x+7，求❑√x+y的平方根．
1 1
3．已知x、y、z满足：|4x﹣4y+1|+（z− ）2=− ❑√2y+z，求（y+z）•x2的值．
2 3
4．已知 ，且 ，求x+y+z的算术平方根．
❑√x=2 ❑√y−2z+1+(z−3) 2=0
5．设a、b、c都是实数，且满足（2﹣a）2 |c+8|＝0，ax2+bx+c＝0，求式子x2+2x的算术平方
+❑√a2+b+c+
根．
【考点6 算术平方根小数点移动规律】
【必刷题】
1．（2024春•黄石港区期末）已知：若❑√3.65≈1.910，❑√36.5≈6.042，则❑√365000≈ ．
2．（2024秋•农安县期中）已知❑√10.2=3.19，❑√102=10.10，则❑√1020= ．
3．（2024春•汉阳区期末）观察表格
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
❑√a … 0.01 0.1 1 10 100 …
按表中规律若已知❑√m=8.973，❑√n=897.3，用含m的式子表示n，则n＝ ．
4．（2024春•合江县校级月考）（1）观察发现：表格中x＝ ，y＝ ；（2）归纳总结：被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动
位．
a（a＞0） … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
❑√a … 0.01 x 1 y 100 …
（3）规律运用：
①已知❑√5≈2.24，则❑√500≈ ；
②已知❑√m≈7.07，❑√5000≈70.7，则m＝ ．
5．（2024春•大兴区期中）根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）316.84的平方根是 ；
（2）❑√299.3≈ ；
（3）❑√29241= ．
（4）若❑√n介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 个；
（5）观察表格中的数据，请写出一条你发现的结论．
【考点7 算术平方根的估算】
【必刷题】
1．（2024秋•大渡口区期末）估计❑√28−2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
2．（2024春•南宫市期中）已知整数n满足：n＜❑√2024＜n+1，参考如表数据，判断n的值为（ ）
m 43 44 45 46
m2 1849 1936 2025 2116
A．43 B．44 C．45 D．46
3．（2024春•花山区校级期中）估计5−❑√13的值在（ ）
A．0到1之间 B．1到2之间 C．2到3之间 D．3至4之间
4．（2023秋•鄄城县期末）我们知道，❑√2是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即
❑√2的整数部分是1，小数部分是❑√2−1，请回答以下问题：
（1）❑√10的小数部分是 ；
（2）若a是❑√90的整数部分，b是❑√3的小数部分，求a+b−❑√3+1的平方根．
5．（2024春•下陆区期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道❑√2是无理数，而无理数是无限不循环
小数，因此❑√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用❑√2−1来表示❑√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，∵❑√2的整数部分是1，将这个数减去其整
数部分，差就是小数部分．又例如：❑√4＜❑√7＜❑√9，即2＜❑√7＜3，∴❑√7的整数部分为2，小数部
分为❑√7−2．
（1）如果❑√5的小数部分为a，❑√13的整数部分为b，则a＝ ，b＝ ．
（2）已知5+❑√11的小数部分为a，5−❑√11的小数部分为b．求a+b的值；
（3）已知a是❑√10的整数部分，b是它的小数部分，求2a+（b+3）2的平方根．
【考点8 平方根与算术平方根性质的综合运用】
【必刷题】
1．已知正数a的两个不同的平方根分别是3x﹣2和5x+10，a+b﹣4的算术平方根是3．
（1）求a、b的值；
（2）求a﹣2b的平方根．
2．已知正数x的两个不同的平方根分别是﹣4m﹣4和12+2m．
（1）求m，x的值；
（2）x﹣8y的算术平方根是16，求x﹣y2﹣12的平方根．
3．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是❑√0.09的10倍，求3a+5b﹣c的平方根．
4．已知实数❑√7−2x与❑√2x−7互为相反数，y的算术平方根是14，z的绝对值为❑√2，且m和n互为倒
数，求2mn+x❑√y−z2的平方根．
5．已知A=a−√b a+b+36是a+b+36的算术平方根，B＝a﹣2b是9的算术平方根，求A+B的平方根．
【考点9 算术平方根的实际应用】
【必刷题】
1．某小区准备修建一个面积为75m2的花坛，甲、乙两个工程队给出如下两个施工方案．
甲：花坛为长方形，且长与宽的比为3：1．
乙：花坛为正方形．
（1）求长方形花坛的宽．
（2）嘉淇说：“正方形花坛的边长肯定比长方形花坛的宽长 3m．”请你判断嘉淇的说法是否正确，并
通过计算说明．2．在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为400cm2的正方形区域修改为面积为300cm2的长
方形区域，且长、宽之比为5：3．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
3．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极
高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张长方形绣布，长、宽之比为4：3，绣布面积为588cm2．
（1）求绣布的周长；
（2）刺绣师傅想利用这张绣布裁出一张面积为375cm2的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？
请说明理由．（ 取3）
4．如图，分别把两π个面积为450cm2的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，再将这4个小三角形拼
成一个大正方形．
（1）大正方形的边长是 cm．
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形的长宽之比为 3：2，且面积为
600cm2？
5．【动手实践】如图1，现有1个边长为2的正方形纸片和5个边长为1的小正方形纸片，图2是小正方
形边长为1的网格．
利用现有的小正方形纸片能否拼接成一个大正方形（无缝隙、不重叠），若可以，在如图2中画出拼接
后的大正方形，并直接写出大正方形的边长；若不能，说明理由；
【解决问题】某小区有一块长方形草坪．为了防止踩踏，物业准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来．已知
该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900m2，求所需篱笆的总长度．
