文档内容
8.1 平方根（第 1 课时 平方根）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根，内容
包括：第1课时 平方根.
2.内容解析
本节课是在学生学习了有理数以及有理数乘方的基础上来学习平方根，之前的有理数
乘方的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础，更利于学生找出一个正数的两个平方根.
它不仅是对前面所学知识的巩固,也为后面算术平方根的学习奠定了基础.教材通过求具体
数字的平方根引入，顺势给出平方根的定义，结合具体例子便于学生理解与掌握平方根的
概念，并运用概念，会求一个数的平方根.
基于以上分析，本节课的教学重点是: 掌握平方根的概念并会求一个数的平方根.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）正确理解平方根的概念，会求一个数的平方根
（2）知道平方根的表示方法
（3）学生经历由特殊到一般，培养学生观察，归纳，类比的能力..
2.目标解析
（1）教材由具体数字引入，并引导学生利用有理数乘方公式反推出一个数的平方根，
顺势引出平方根的概念过渡自然水到渠成.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问
题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.
（2）学生能根据平方根的定义求一个数的平方根.
（3）在实际问题中能运用平方根解决问题，并会表示一个数的平方根.
三、教学问题诊断分析
本节课平方根学习是建立有理数乘方学习的基础上.由具体数字引入，让学生更加清晰
深刻地理解平方根的定义.本节课学生学习的困难之处在能表示一个数的平方根，理解平方
根，正的平方根，负的平方根表示的区别，能在具体题目中理解“±❑√❑”“❑√❑”“
−❑√❑”这三种所代表的不一样的意义，一题一解让学生对解题技巧和解题步骤有清楚的
认知，最后通过拓展训练培养学生综合解题的能力.
基于以上分析，本节课的教学难点为: 认识和会表示一个数的平方根.四、教学过程设计
（一）复习引入
观看表格信息思考问题
有什么运算与乘方互为逆运算的吗？
【设计意图】通过复习引入，让学生明白运算与运算之间的关系，并提出问题，激发
学生思考和学习的兴趣.
（二）新知讲解
①任何数的平方都是一个非负数
②互为相反数的两个数的平方相等
2 4
我们把0，±1，±0.4，± 分别叫作0，1，0.16， 的平方根
5 25
归纳：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根或二次方根．这就是
说，如果x2=a，那么x叫作a的平方根．
1.判断下列说法是否正确。
①6是36的平方根. （ √ ）
②−6是36的平方根. （ √ ）
③±6是36的平方根. （ √ ）
④36的平方根是−6. （ × ）
⑤0.64是0.8的一个平方根. （ × ）
⑥－9的平方根是－3; （ × ）
⑦一个数的一个平方根是8，另一个平方根一定是−8（ √ ）【设计意图】通过正反例讲解让学生深刻理解平方根的概念，对比乘方的运算和求平
方根的运算，让学生掌握平方和开方互为逆运算.
（三）典例讲解
例1 求下列各数的平方根：
9 1
(1)64 (2) (3)0.01 (4)2
100 4
1
(5)0 (6)(−4) 2 (7)−42 (8)
104
解(1)∵ ,∴ 的平方根是
(±8) 2=64 64 ±8
3 2 9 9 3
(2)∵(± ) = ,∴ 的平方根是±
10 100 100 10
(3)∵ ,∴ 的平方根是
(±0.1) 2=0.01 0.01 ±0.1
3 2 9 1 1 3
(4)∵(± ) = =2 ,∴2 的平方根是±
2 4 4 4 2
(5)∵02=0,∴0的平方根是0
(6)∵ ,∴ 的平方根是
(±4) 2=(−4) 2 (−4) 2 ±4
(7)∵任何数的平方都是非负数,∴−42没有平方根
(8)∵ 1 2 1 ,∴ 1 的平方根是 1
(± ) = ±
102 104 104 102
归纳总结：
正数的平方根有两个，它们互为相反数；
0的平方根就是0 ；
负数没有平方根．
25
例2.解下列方程(1)−x2+ =0 (2)9x2−25=0
64
(3) (4)
4(2x−1) 2=36 (2x−3) 2=(−7) 2
解(1)原式可变形为：
25
x2=
645 2 25
∵(± ) =
8 64
5 5
∴x= 或x=−
8 8
解(2)原式可变形为：
25
x2=
9
5 2 25
∵(± ) =
3 9
5 5
∴x= 或x=−
3 3
解(3)原式可变形为：
(2x−1) 2=9
∵
(±3) 2=9
∴2x−1=3或2x−1=−3
解得：x=2或x=−1
解(4)∵
(±7) 2=(−7)2
∴2x−3=7或2x−3=−7
解得x=5或x=−2
点拨：a(mx+b) 2=c变形为(mx+b) 2=
c
开方mx+b=±❑
√c
解方程得x的值
a a
【设计意图】通过练习让学生熟练运用平方根的定义，求一个数的平方根，并归纳出
正数，负数，0的平方根的情况.
（四）新知讲解
a的平方根表示为±❑√a，读作：正负根号a
❑√a表示a的正的平方根
−❑√a表示a的负的平方根
±❑√a表示a的平方根
x2=a即得x=±❑√a
1.判断下列各式计算是否正确，并说明理由．
(1)❑√4=±2 ( × )
(2)±❑√4=±2 ( √ )(3)−❑√4=±2 ( × )
(4)±❑√−4=±2 ( × )
(5) 的平方根是±2 （ √ ）
±❑√(−2) 2
2.下列各式是否有意义？为什么？
(1) (2) (3) (4) (5)
❑√3 ❑√−3 −❑√3 ❑√(−3) 2 ±❑√−32
解(1)有意义
(2)无意义，负数没有平方根，也就没有负的平方根
(3)有意义
(4)有意义
(5)无意义，负数没有平方根
归纳总结
因为负数没有平方根
所以只有当a≥0时，❑√a有意义，而当a<0时，❑√a没有意义
【设计意图】通过正反例辨别让学生掌握正的平方根，负的平方根，平方根三者表示
之间的联系与区别.
（五）典例分析
例3 说出下列各式的意义，并求它们的值
√64 √ 7
(1)±❑√196 (2)±❑ (3)±❑2 (4)±❑√32
81 9
(5) (6) (7) (8)√| 49 |
❑√169 −❑√0.0049 −❑√(−3) 2 ❑ −
144
解(1)196的平方根； ±❑√196=±14
64 √64 8
(2) 的平方根； ±❑ =±
81 81 9
7 √ 7 5
(3)2 的平方根； ±❑2 =±
9 9 3
(4) 的平方根；
32 ±❑√32=±3
(5)169的正的平方根； ❑√169=13
(6)0.0049的负的平方根； −❑√0.0049=−0.07(7) 的负的平方根；
(−3) 2 −❑√(−3) 2=−3
(8)| 49 |的正的平方根； √| 49 | 7
− ❑ − =
144 144 12
【设计意图】通过此题练习让学生更加熟练辨别正的平方根，负的平方根和平方根三
者表示之间异同，准确理解式子的含义.
（六）变式训练
1.计算下列各式
√ 7 √ 21
(1)❑1 =__________ (2)−❑4 =__________
9 25
(3)√ 2 2 ________ (4) √ 23 _______
❑(± ) = ±❑4−2 =
3 36
2.若±❑√2x−5=±4,则x的值为_______
3.若❑√x=7，则x的值为_______
4.256的平方根是________
5.❑√256的平方根是__________
6.若❑√x的平方根是±❑√2,则x=________
4 11 2 7
解1.(1) (2) − (3) (4) ±
3 5 3 6
21
2.
2
3.49
4.±16
5.±4
6.4
点拨：❑√A的平方根：表示的意义为A的正的平方根，即应先算出❑√A的值，再求其平方根
12
7.已知−❑√x2=− ,且x是正数，求2❑√5x+13的值
5
12
解：由−❑√x2=−
5
144
∴x2=
2512
即得x=±
5
∵x是正数
12
∴x=
5
√ 12
∴2❑√5x+13=2❑5× +13=10
5
【设计意图】通过练习让学生更加熟练运用平方根解决问题，利用(4)(5)对比两者的
区别，这也是学生一个高频错误点，针对这个错误提出了解决方法.
（七）拓展探究
1.已知2a−1的平方根是±3，3a+b−26的平方根是它本身，求a+b的平方根
解：由题意可得2a−1=9，3a+b−26=0
解得：a=5,b=11
∴±❑√a+b=±❑√16=±4
2.已知m的两个平方根是a+3与2a−15，求m的值.
解：由题意可得
a+3+2a−15=0
解得：a=4
∴m的两个平方根分别7和−7
∴
m=(±7) 2=49
3.若a+3与2a−15是数m的平方根，求这个数 .
解：由题意可得当a+3+2a−15=0时，
解得：a=4
∴m的两个平方根分别7和−7
∴
m=(±7) 2=49
当a+3=2a−15时
解得：a=18
∴21是m的平方根
∴
m=(21) 2=441
综上所述：这个数是49或441点拨：
①若M的平方根为a和b：a+b=0
②若a和b是M的平方根： a+b=0或a=b
4.对
a,b
定义运算“*”如下:a∗b=
{a2b(a≥b)
，已知
3∗m=30,
则求数
m
的值
ab2 (a
