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8.1 平方根（第2课时 算术平方根）（分层作业）
基础训练
1．下列说法正确的是（ ）
A．平方根等于它本身的数是0，1 B．倒数等于它本身的数只有1
C．算术平方根等于它本身的数是0，1 D． 的平方根为
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根和倒数的概念，熟练掌握平方根，算术平方
根和倒数相关概念是解题的关键．
根据平方根，算术平方根，和倒数的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．平方根等于它本身的数是0，故本选项不符合题意；
B．倒数等于它本身的数有 ，故本选项不符合题意；
C．算术平方根等于它本身的数是0，1，故本选项符合题意；
D． 的平方根为 ，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．16的算术平方根是（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根“一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么
正数 叫做 的算术平方根．规定：0的算术平方根是0”，熟练掌握算术平方根的定义是解
题关键．根据算术平方根的定义求解即可得．
【详解】解：∵ ，
∴16的算术平方根是4，
故选：C．
3． 的算术平方根是（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了算术平方根， 先算出 的算术平方根为8，再求8的算术平方根即可．
【详解】解： ，
∵
8的算术平方根是 ，
∴
故选：A．
4．式子 表示的意义是（ ）
A． 的平方根是2 B． 的算术平方根是2
C．2 的平方根是 D．2的算术平方根是
【答案】B
【分析】本题考算术查平方根定义，涉及算术平方根定义及性质 ，由算术平方根
定义及 即可得到 的意义，熟记算术平方根定义及性质 是解决
问题的关键．
【详解】解：根据算术平方根定义及 可知，式子 表示的意义是
的算术平方根是2，
故选：B．
5．求下列各数的算术平方根：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
8
【答案】(1)
9(2)0.14
(3)1.7
3
(4)
2
(5)2
(6)16
【分析】本题考查的是求解一个数的算术平方根，根据平方根的含义逐一求解即可．
8
【详解】（1）解： 的算术平方根是 ；
9
（2）解： 的算术平方根是0.14；
（3）解： 的算术平方根是1.7；
3
（4）解： 的算术平方根是 ；
2
（5）解：∵ ，
∴ 的算术平方根是2；
（6）解： 的算术平方根是16．
6．分求下列各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)(2)
(3)
(4)15
(5)
(6)
【分析】本题考查了利用算术平方根和平方根的定义化简，熟练掌握概念是解决此题的关
键．
根据算术平方根和平方根的定义进行化简即可．
（1）根据平方根的定义即可得；
（2）根据算术平方根的定义即可得；
（3）根据算术平方根的相反数定义即可得；
（4）根据算术平方根的定义求解；
（5）根据算术平方根，相反数的定义即可求解；
（6）根据平方根的定义求解；
【详解】（1）∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ．
（4）
（5）（6）
7．若 ，正数 的两个平方根分别是 和 ，求 的算术平方根．
【答案】3
【分析】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义，还要注意正数的两个平方根之间的
关系．
由于一个正数的两个平方根互为相反数，得： ．解方程即可求出c，然后
即可求b，根据算术平方根的定义可求a，再代入计算可求 平方根．
【详解】解：∵正数 的两个平方根分别是 和 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
由 ，得 ，
∴ ，
∵32=9，
∴ 的算术平方根是3．
8．已知 的平方根为 ， 的算术平方根为6．
(1)求a，b的值；
(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ，
(2)❑√26
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得
a、b的值是解答本题的关键．
（1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵ 的平方根为 ，
∴ ，解得： ，
∵ 的算术平方根为6，
∴ ，
∵ ，
∴ ．（2）∵ ， ，
∴ ，
则 的算术平方根为❑√26．
9．已知 的平方根是 ， 的算术平方根是4，求： 的值．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根与平方根的定义，熟练掌握平方根及算术平方根的性质和
定义是解决本题的关键．根据平方根的概念及算术平方根的概念求出a和b的值，然后再
代入 中求解即可．
【详解】解：∵ 的平方根是 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，将 代入，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
能力提升
1．如图是一个数值转换器，当输入的x的值为81时，输出的y的值是（ ）
A． B．9 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根，理解题意，按照数值转换器规定的运算计算是解题的关
键．根据数值转换器输入x的值，直到输出y的值不是有理数为止．
【详解】解：第一次输入 ，则 ，是有理数；
第二次输入 ，则 ，是有理数；第三次输入 ，则 不是有理数，所以输出 ，
故选：A．
2．若一个自然数的算术平方根是 ，则它的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根，先根据算术平方根的定义，得出这个自然数是 ，则它
的下一个自然数是 ，再根据算术平方根根的定义，即可解答．
【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是 ，
∴这个自然数是 ，
∴它的下一个自然数是 ，
∴它的下一个自然数的算术平方根是 ，
3．如图，每个小正方形的边长为 ，可通过“剪一剪”“拼一拼”，将五个小正方形拼成一个面
积一样的大正方形，侧这个大正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了算术平方根的实际运用，根据题意得到五个小正方形面积，进而可得
到大正方形的边长，即可解题，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：分割图形如下：
故这个正方形的边长是： ，
故选： ．4．若 ， 为两个有理数，且 ，则 的平方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，关键是熟练掌握算术平方根的
性质．根据题意得到 ， ，求出 ，代入 求出 ，
然后代入 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
故答案为： ．
5．已知一个正数的两个平方根分别为 和 ，则这个数的算术平方根是 ．
【答案】8
【分析】本题考查了平方根，算术平方根的定义，注意：一个正数有两个平方根，它们互
为相反数．由题意得 ，求出 ，继而得到这个数，继而可求算术平方根．
【详解】解： 一个正数的两个平方根分别为 和 ，
，
解得： ，
，
这个数是
∴这个数算术平方根为8，
故答案为：8．
6．若 ，则 的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根，熟知几个非负数的和为 时，则每一项都等于 是解题的关键．先根据非负数的性质求出 ， 的值，再代入 根据算术平
方根求解．
【详解】解： ，
， ，
解得： ， ，
，
的算术平方根是 ，
故答案为： ．
7．一个数的算术平方根为 ，平方根为 ，求这个数．
【答案】16
【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，先根据题意可得关于a的方程，
求出解即可．
【详解】根据题意，得 ，且 ，
解得 ，
∴ ，
∴这个数是: ．
8．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始
在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地
满足如下的关系式： .其中d代表苔藓的直径（单位：厘米）；t代表
冰川消失后经过的时间（单位：年）.
(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；
(2)如果测得一些苔藓的直径是28厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【答案】(1)冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米
(2)冰川约是在28年前消失的
【分析】
本题考查了无理数的应用，已知字母的值求代数式的值，求一个数的算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，得 ，进行计算，即可作答．
（2）理解题意，得 ，进行计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意， ，
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米．
（2）解：依题意， ，
解得： ，
答：冰川约是在28年前消失的．
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拔高拓展
，未
1．探究发散：
(1)完成下列填空
① 3 ，② 0.5 ，③ ______，
④ 0 ，⑤ ，⑥ ______．
(2)根据上述计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语
言描述出来：______．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
化简：
【答案】(1)6；
(2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
(3)
【分析】本题考查了算术平方根、数轴、相反数和绝对值，整式的加减运算等知识，熟练
掌握相关性质和运算法则是解题关键．．
（1）先计算平方，再计算算术平方根即可；（2）结合（1）中计算可知， 不一定等于a，并发现其中规律即可；
（3）由a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，进而判断式子正负，再结
合（2）所得规律化简算术平方根，同时去绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解： ， ，
故答案为：6； ；
（2）解： 不一定等于a，
规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数
（3）解：由a、b、c在数轴上的位置可知， ， ，
， ，
．
2．喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个互不相等的正整数，若其中任意
两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“友好数”，其结果中最小的整数称为
“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如：1，4，9这三个数，
， ， ，其结果2，3，6都是整数，所以1，4，9这三个数称
为“友好数”，其中“最小算术平方根”是2，“最大算术平方根”是6．
(1)2，8，50这三个数是“友好数”吗？若是，请求出任意两个数乘积的“最小算术平方根”与
“最大算术平方根”；
(2)已知16， ，36，这三个数是“友好数”，且任意两个数乘积的算术平方根中，“最大算术
平方根”是“最小算术平方根”的2倍，求 的值．
【答案】(1)是，最小算术平方根是4，最大算术平方根是20
(2)9或64
【分析】（1）根据“友好数”的定义和算术平方根的定义即可求解．
（2）根据“友好数”的定义，最大算术平方根是最小算术平方根的2倍建立方程，利用算术
平方根的性质求解即可．【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴2，8，50这三个数是“友好数”，其中最小算术平方根是4，最大算术平方根是20．
（2）解：∵16，a，36,这三个数是“友好数”，
∴a是正整数， ， ，且 ， 都是整数，
∵ ， ，
∴分两种情况：
①当 ，即 时，则最大算术平方根是24，最小算术平方根是 ，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，
∴ ，
解得： ，符合题设，且符合“友好数”的定义；
②当 ，即 时，则最大算术平方根是 ，最小算术平方根是24，
∵最大算术平方根是最小算术平方根的2倍，
∴ ，
解得： ，符合题设，且符合“友好数”的定义，
综上所述：a的值为9或64．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，正确理解“友好数”的意义是解题的关键．
