文档内容
【冲刺985、211名校之2023届新高考题型模拟训练】
专题25 数学新文化综合问题（单选+多选+填空）
（新高考通用）
一、单选题
1．（2022春·湖北·高三宜城市第一中学校联考阶段练习）南宋数学家杨辉所著的《详
解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最
上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设“三角垛”
从第一层到第n层的各层的球数构成一个数列 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如皋中学统考阶段练习）1883年，德国数学家康托
提出了三分康托集，亦称康托尔集.下图是其构造过程的图示，其详细构造过程可用文
字描述为：第一步，把闭区间 平均分成三段，去掉中间的一段，剩下两个闭区间
和 ；第二步，将剩下的两个闭区间分别平均分为三段，各自去掉中间的一
段，剩下四段闭区间： ， ， ， ；如此不断的构造下去，最后剩
下的各个区间段就构成了三分康托集.若经历 步构造后， 不属于剩下的闭区间，
则 的最小值是（ ）．
A．7 B．8 C．9 D．103．（2022·江苏·江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会，
将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运
用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现
出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部
分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、
赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且
强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的
大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两
排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为 ，若双曲线C以
为焦点、以直线 为一条渐近线，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东济南·济南市历城第二中学校考模拟预测）由伦敦著名建筑事务所Steyn
Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术
品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 （ ，
）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为 ，下焦点到下顶点的距离为
1，则该双曲线的方程为（ ）A． B． C． D．
5．（2022秋·山东青岛·高三统考开学考试）据史书记载，古代的算筹是由一根根同样
长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之
法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示
多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如
表示62， 表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余且个
位不为0），则这个两位数大于30的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020秋·山东威海·高三校考期中）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方
数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现
证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，
且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无
字证明为（ ）
A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．
C． （a＞0，b＞0） D． （a＞0，b＞0）
7．（2022秋·江苏淮安·高三校考阶段练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有
十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支
即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支
由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，
以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，
之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，2022年是壬寅年，请问：
在100年后的2122年为（ ）
A．壬午年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
8．（2022·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）如图为陕西博物馆收藏的国宝
——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作
的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是离心率为 的双曲线
的右支与 轴及平行于 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕 轴旋转一周得到
的几何体，若P为C右支上的一点，F为C的左焦点，则 与P到C的一条渐近线
的距离之和的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2022·湖南湘西·高三统考竞赛）数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉首大学
的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图，若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚
度）近似看成抛物线 的一部分，且点 在该抛物线上，则该抛
物线的焦点坐标是（ ）A． B． C． D．
10．（2022秋·江苏南通·高三开学考试）黄金分割〔 〕是一种数学上的
比例关系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用
时一般取 ，就像圆周率在应用时取 一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了
黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的
处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的 处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形
的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边 倍.黄
金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能
找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达 芬奇的《维特鲁威人》符合
黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用
了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金
分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，
等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为 其实有关“黄金分割”，
我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在矩形
中， ， 相交于点 ， ， ， ， ，
，则 （ ）
A． B．
C． D．11．（2022秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）欧拉公式
（其中 ， 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，
该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被
誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A． 的实部为 B． 在复平面内对应的点在第一象限
C． D． 的共轭复数为
12．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）刍(chú)甍(méng)是中国古代算数中的
一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平
行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．
已知一个刍甍底边长为 ，底边宽为 ，上棱长为 ，高为 ，则它的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图甲所示，古代中国的太极
八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头
部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，
相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律. 其平面图形记为图乙中的正八边形
，其中 ，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．C．
D． 在 方向上的投影向量为
14．（2022秋·广东肇庆·高三统考阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，
书中记载：我国早在商代时期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时
期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”（以弦为边长得到的正方形 是由4
个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形结合法给出了勾股定
理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若
， ，G，F两点间的距离为 ，则“勾股圆方图”中小正方形的
面积为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．8
15．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有
突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两
个截面的面积总是相等，则这两个立体的体积相等.如图，两个半径均为 的圆柱体垂
直相交，则其重叠部分体积为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
16．（2022秋·广东·高三统考阶段练习）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一
个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，
要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健
步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．
则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
17．（2022·山东·潍坊一中校考模拟预测）阿基米德（公元前287年——公元前212
年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还
享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A、B处的切线交于点P，称 为
“阿基米德三角形”．已知抛物线C： 的焦点为F，过A、B两点的直线的方程
为 ，关于“阿基米德三角形” ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．点P的坐标为 D．
18．（2022秋·湖北恩施·高三期末）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一
项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为 的水车，一
个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时6秒.经过
秒后，水斗旋转到 点，设点 的坐标为 ，其纵坐标满足
，则下列结论正确的是（ ）A．
B．当 时，函数 单调递增
C．当 时，点 的纵坐标越来越小
D．当 时，
19．（2022·湖北荆州·荆州中学校联考模拟预测）对于正整数 是小于或等于
的正整数中与 互质的数的数目.函数 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，
例如 ，则（ ）
A．
B．数列 为等比数列
C．数列 不单调
D．数列 的前 项和恒小于4
20．（2022·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）将 个数排成 行 列的一个
数阵.如图：该数阵第一列的 个数从上到下构成以 为公差的等差数列，每一行的
个数从左到右构成以 为公比的等比数列（其中 ）.已知 ，记这
个数的和为 .下列结论正确的有（ ）A． B．
C． D．
21．（2021秋·山东淄博·高三统考阶段练习）1202年意大利数学家斐波那契出版了他
的《算盘全书》，著作中收录了一个关于兔子繁殖的有趣问题：如果一对兔子每月能
生1对小兔（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔
子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔
子？这便是“不死神兔的繁衍生息——神奇的斐波那契数列”，其定义是递推方式给
出的，即满足： ， 的数列 .针对数列 ，下列说
法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2022·山东济南·统考一模）平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西
尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直
角坐标系 中， ， ，动点P满足 ，其轨迹为一条连续
的封闭曲线C.则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C与y轴的交点为 ， B．曲线C关于x轴对称
C． 面积的最大值为2 D． 的取值范围是
23．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是
我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意
思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的
体积相等.如图将底面直径皆为 ，高皆为 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 上，用平行于平面 且与 距离为 的平面截两个几何体得到 及
两截面，可以证明 总成立，若椭半球的短轴 ，长半轴 ，则下
列结论正确的是（ ）
A．椭半球体的体积为30π
B．椭半球体的体积为15π
C．如果 ，以 为球心的球在该椭半球内，那么当球 体积最大时，该椭半
球体挖去球 后，体积为
D．如果 ，以 为球心的球在该半球内，那么当球 体积最大时，该椭半球
体挖去球 后，体积为
24．（2022·广东惠州·统考一模）近年来，纳米晶的多项技术和方法在水软化领域均有
重要应用.纳米晶体结构众多，下图是一种纳米晶的结构示意图，其是由正四面体沿棱
的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为n的几何体，则下列说法正确的有
（ ）
A．该结构的纳米晶个体的表面积为
B．该结构的纳米晶个体的体积为
C．该结构的纳米晶个体外接球的表面积为D．二面角A−AA−B 的余弦值为
1 2 3 3
25．（2022·广东汕头·统考三模）意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现
了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都是它前两
项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列
说法正确的是（ ）
A． B． 是奇数
C． D．
26．（2022·广东广州·统考二模）我们常用的数是十进制数，如
，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，
4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二
进制的数 ，等于十进制的数13．把m位n进制中的
最大数记为 ，其中m， ， 为十进制的数，则下列结论中
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
27．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.
数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是 与 两点间的直线距离，即 .切比雪夫距离是 与 两
点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即
.已知 是直线 上的动点，当 与 （ 为
坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________.
28．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）著名数学家棣莫佛（De
moivre，1667~1754）出生于法国香槟，他在概率论和三角学方面，发表了许多重要论
文.1707年棣莫佛提出了公式： ，其中 ，
.已知 ，根据这个公式可知 ______.
29．（2022·广东茂名·统考二模）某校有一社团专门研究密码问题，社团活动室用的也
是一把密码锁，且定期更换密码，都是以当日值班社员的姓氏为依据编码的，密码均
为 的小数点后前6位数字，编码方式如下：
①x为某社员的首拼声母对应的英文字母在26个英文字母中的位置；
②若x为偶数，则在正偶数数列中依次插入数值为 的项得到新数列 ，即2，
3，4，6，8， ，10，12，14，…；若x为奇数，则在正奇数数列中依次插入数值为
的项得到新数列{an}，即1，2，3， ，5，7， ，9，11，13，…；
③N为数列{an}的前x项和．如当值社员姓康，则K在26个英文字母中排第11位，所
以x＝11，前11项中有 ，所以有8个奇数， ，
所以密码为282051，若今天当值社员姓徐，则当日密码为_____．
四、双空题
30．（2022秋·江苏·高三校联考开学考试） 祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家，他
于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平
面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线 与双曲线
及其渐近线围成的平面图形 如图所示.若将图形 被直线 所截得的两
条线段绕 轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 ______；若将图形 绕 轴旋转一
周，则形成的旋转体的体积 ______.
