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第九章专项训练 平面直角坐标系中的规律问题
一．选择题
1．如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，
4，6，8，…，顶点依次用A ，A ，A ，A ，…表示，则顶点A 的坐标是（ ）
1 2 3 4 55
A．（13，13） B．（﹣13，﹣13） C．（14，14） D．（﹣14，﹣14）
2．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表
示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：
如图，点O（0，0）按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O （1，0），再将
1
O （1，0）绕原点顺时针旋转90°得到O （0，﹣1），再将O （0，﹣1）绕原点顺时针旋转90°得到
1 2 2
O （﹣1，0）…依次类推．点（0，1）经过“011011011”变换后得到点的坐标为（ ）
3
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，0） C．（1，0） D．（1，1）
3．我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为
半径作90°圆弧 ， ， ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接 P P ，P P ，P P ，…
^P P ^P P ^P P 1 2 2 3 3 4
1 2 2 3 3 4
得到螺旋折线（如图），已知点P （0，1），P （﹣1，0），P （0，﹣1），则该折线上的点P 的坐
1 2 3 9
标为（ ）
A．（﹣6，24） B．（﹣6，25） C．（﹣5，24） D．（﹣5，25）
第1题图 第2题图 第3题图
4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，
0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）．根据这个规律探索可得，第100个点的
坐标为（ ）
A．（14，8） B．（13，0） C．（100，99） D．（15，14）
5．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中所示方向运动，第一次从原点O运动到点P （1，1），第二
1次运动到点P （2，1），第三次运动到点P （3，0），第四次运动到点P （4，﹣2），第五次运动到
2 3 4
点P （5，0），第六次运动到点P （6，2），按这样的运动规律，点P 的纵坐标是（ ）
5 6 2023
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
第4题图 第5题图
二．填空题
6．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1次从原点运动到点（1，1），第2
次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2024次运
动后，动点P的坐标是 ．
7．如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C，D的坐标分别为（1，1），（3，1），（3，3），（1，
3）．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA→AB→⋯⋯的路线运动．
当运动2025秒时，点P的坐标为 ．
第6题图 第7题图
8．（2022•毕节）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个
单位，得到点A （1，1）；把点A 向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A （﹣1，3）；
1 1 2
把点A 向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A （﹣4，0）；把点A 向下平移4个单位，
2 3 3
再向右平移 4 个单位，得到点 A （0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点 A 的坐标为
4 10
．
9．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣2，0），A （0，2），点A ，A ，……在直线l上，点B ，B ，
1 2 3 1 2
B ，……在x轴的正半轴上，若△A OB ，△A B B ，△A B B ，……，依次均为等腰直角三角形，直
3 1 1 2 1 2 3 2 3角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形A n B n﹣1 B n 顶点B n 的横坐标为 ．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，
顶点A，B依次放在点（1，0），（2，0）的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点C落在点（3，0）
的位置，第2次滚动使点D落在点（4，0）的位置…，按此规律滚动下去，则第2024次滚动后，顶点
A的坐标是 ．
第8题图 第9题图 第10题图
三．解答题
11．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点 O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每
次移动1个单位．其行走路线如图所示．
（1）填写下列各点的坐标：
A （ ， ），A （ ， ），A （ ， ）；
1 3 12
（2）写出点A 的坐标（n是正整数）；
4n
（3）指出蚂蚁从点A 到A 的移动方向．
100 101
12．如图：在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA B ，第二次将三角形变换成△OA B ，第三次
1 1 2 2
将△OA B ，变换成△OA B ，已知A（1，3），A （3，3），A （5，3），A （7，3）；B（2，0），
2 2 3 3 1 2 3
B （4，0），B （8，0），B （16，0）．
1 2 3
（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA B 变换成△OA B ，
3 3 4 4
则A 的坐标是 ，B 的坐标是 ．
4 4（2）若按（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OA B ，比较每次变换中三角形顶点有
n n
何变化，找出规律，推测A 的坐标是 ，B 的坐标是 ．
n n
第12题图 第13题图
13．如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点出发，按图中顺序运动，即P（1，2）→P （2，0）→P
2 3
（3，﹣4）→P （4，0）→P （5，2）→P （6，0）→..按这样的运动规律，完成下列任务：
4 5 6
（1）点P 的坐标为 ，点P 的坐标为 ；点P 的坐标为 ；
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（2）在动点P的上述运动过程中，若有连续四点（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），（x ，y ），
1 1 2 2 3 3 4 4
请直接写出x ，x ，x ，x 之间满足的数量关系为 ，y ，y ，y ，y 之间
1 2 3 4 1 2 3 4
满足的数量关系为 ．
14．综合与实践：
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，0），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个
点，并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P ，P
1 2 1 2
．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的
1 1 2 2
中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H
（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，
求点H的坐标．
