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专题 01 一元二次方程的解法
目录
A题型建模・专项突破
题型一、一元二次方程配方问题..............................................................................................................................1
题型二、解一元二次方程..........................................................................................................................................1
题型三、解一元二次方程中错解复原问题..............................................................................................................2
题型四、十字相乘法解一元二次方程....................................................................................................................10
题型五、换元法解一元二次方程............................................................................................................................14
题型六、一元二次方程中的新定义型问题............................................................................................................17
B综合攻坚・能力跃升
题型一、一元二次方程配方问题
1．（24-25八年级下·浙江·期中）用配方法解一元二次方程 时，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·广东中山·阶段练习）用配方法解一元二次方程 ，配方后的方程可能是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·陕西延安·期末）一元二次方程 用配方法解可变形为（）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程 ，可化为
B．方程 ，可化为
C．方程 ，可化为
D．方程 ，可化为
题型二、解一元二次方程
5．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)(3)
(4)
6．（24-25八年级下·吉林·阶段练习）用适当的方法解下列方程.
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
7．（24-25九年级下·全国·假期作业）用适当的方法解下列方程
(1)
(2)
(3)
(4)
8．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
题型三、解一元二次方程中错解复原问题
9．数学课上，老师展示了班级某位同学解方程 的过程，其过程如下：
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
(1)第三步的依据是_______，
(2)该同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________．
(3)请直接写出该方程的正确解．
10．解方程 时，小明同学解答过程如下：
第①步∵ ， ，
第②步∴第③步∴
第④步∴ ， ．
小华同学发现解题过程中存在错误，请你指出错误的是第_______步；并写出正确的解题过程．
11．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程
过程如下：
①
②
③
④
⑤
(1)小明解方程过程中，从 步开始出现错误；（填序号）
(2)请利用配方法正确解方程 ．
12．如图是小明解一元二次方程 的过程．
解：二次项系数化为1，得 ，……第一步
移项，得 ，……第二步
配方，得 ，即 ，……第三步
由此可得 ，……第四步
所以 ， .……第五步
(1)在小明的解题过程中，从第______步开始出现错误，出现错误的原因：______；
(2)请写出正确的解答过程．
题型四、十字相乘法解一元二次方程
13．阅读下列材料：
(1)将 分解因式，我们可以按下面方法解答：
解：步骤：①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，验中项： ．
③横向写出两因式： ．
注：我们将这种用十字交叉相乘分解的因式方法叫做十字相乘法．(2)根据乘法原理：若 ，则 或 ．
① ；
② ．
14．（1）将 进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：
解：①坚分二次项与常数项： ．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：
③横向写出两因式： ．
我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）根据乘法原理：若 ，则 或 ．
试用上述方法和原理解下列方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
15．阅读与理解：
（1）将 进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项： ， ．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式： ．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字乘法．
（2）例：解方程 ．
解： ， ，或 ， ， ．
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解： __________， __________．
②解方程： ．
③直接写出方程 的解．16．（24-25九年级上·湖南郴州·期中）阅读与理解：
（1）将 进行因式分解，我们可以按下面的方法解答
解：①竖分二次项与常数项： ， ．
②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）；
③横向写出两因式： ．
我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法．
（2）例：解方程 ．
解： ，
或 ，
， ；
请用上述方法解答下列问题．
（3）①因式分解： ______；
②解方程： ；
③已知 ，求 的值．
题型五、换元法解一元二次方程
17．【例】解方程 ．
解：设 ，
则原方程可化为 ，
解得 ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
综上所述，原方程的解为 ．
上述解法称为“整体换元法”．
请运用“整体换元法”解方程：
(1) ．
(2) ．
18．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
材料：为解方程 ，可将方程变形为 ，
然后设 ，则 ，原方程化为 ，解得 ， ，
当 时， 无意义，舍去；
当 时， ，解得 ；
所以原方程的解为 或 ．
问题：
(1)已知方程 ，若设 ，则原方程化为一般式为 ；
(2)利用以上学习到的方法解下面方程：
19．【阅读材料】
方程 是一个一元四次方程，我们可以把 看成一个整体，设 ，则原方
程可化为 ①，
解方程①可得 ， ；
当 时， ，即 ， ；
当 时， ，即 ， ；
原方程的解为 ， ， ， ．
【解决问题】
(1)在由原方程得到方程①的过程中，是利用换元法达到_______的目的（选填“降次”或“消元”），体
现了数学的转化思想；
(2)已知 ，求 的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程： ．
20．阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则
，原方程化为 .
解得 ，
当 时， ，∴ .∴ ；
当 时， ，∴ .∴ .
∴原方程的解为 ， ， ， ；
请利用以上知识解决下列问题：
如果 ，求 的值.
题型六、一元二次方程中的新定义型问题
21．用适当的方法解下列方程，(1)①
②
(2)定义新运算“ ”如下：当 时， ；当 时， ，若 ，求
的值．
22．对于任意实数 规定一种新运算： ．例如： 13．请根据
上述定义解决以下问题：
(1)计算： ．
(2)若 的值为1，求 的值．
23．对于实数 定义运算“ ”为 ，如 ．请根据
这个规定解答下列问题：
(1)求 的值；
(2)解方程： ．
24．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：
和 有且只有一个相同的实数根 ，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程 与 是否属于“同伴方程”；
(2)关于x的一元二次方程 与 为“同伴方程”，求m的值．
一、单选题
1．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C． ， D． ，
2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程 时，配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）若 可以表示某个一元二次方程的根，则这个一
元二次方程为（ ）
A． B．C． D．
4．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）对于实数a，b，c，d，定义运算 ，我们把它叫做二阶
行列式，例如： ．若 ，则x的值为（ ）
A． 或4 B．2或 C．2或4 D． 或
二、填空题
5．对于方程 ，用换元法解，可设 ，则原方程为 ．
6．在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规则，那么方程 的
解是 ．
7．（23-24九年级上·四川南充·期中）如果 满足 ， ，且 ，则 的
值为 ．
8．（24-25九年级上·重庆忠县·期中）已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程
的一个实数根，则该三角形的周长是 ．
三、解答题
9．（24-25九年级上·青海西宁·期中）用适当的方法解方程
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
10．（24-25八年级下·山东烟台·期中）用指定的方法解方程：
(1) （配方法）
(2) （公式法）
(3) （因式分解法）
(4) （用适当的方法）
11．（24-25八年级下·北京·期中）用适当的方法解下列关于 的方程：
(1)
(2)
(3)
(4) ；
12．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．解一元二次方程：
解：原方程可以化为： 第一步
两边同时除以 得： 第二步
系数化为1，得： 第三步
任务：
(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；
(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．
13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义新运算：对于任意实数a、b，都有 等
式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： ．
(1)若 ，求x的值；
(2)若m、n均为实数，且3⊕m的值小于10，判断关于x的方程 的根的情况．
14．【阅读材料】请阅读下面解方程 的过程．
解：设 ，则原方程可变形为 ．
解得 ， ．
当 时， ， ．当 时， ， ，此方程无实数根．
原方程的根为 ， ．
我们将上述解方程的方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请用上述方法解下列方程：
(1)
(2)
