文档内容
专题 01 一元二次方程重难点题型汇编
【题型01 ：一元二次方程的概念】
【题型02 ：一元二次方程的解】
【题型03：解一元二次方程】
【题型04：一元二次方程根的判别式】
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】
【题型05：有关一元二次方程传播问题】
【题型06：有关一元二次方程面积问题】
【题型07：有关一元二次方程面积问题】
【题型08：有关一元二次方程增长率问题】
【题型09：有关一元二次方程利润问题】
【题型10：有关一元二次方程动点问题】
【题型01 ：一元二次方程的概念】
1．（23-24八年级下·陕西西安·期末）下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．x2=0 B．x2−2y+1=0
1
C．ax❑ 2+bx+c=0 D． −5x+6=0
x
2．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）若关于 的方程 是一元
x (m+1)xm2+1+4x−5=0
二次方程，则m的值是（ ）
A．0 B．−1 C．1 D．±1
3．（2024八年级下·安徽·专题练习）关于 的方程 是一元二次方程，
x (m−2)x|m|+mx+2=3
则m值为（ ）
A．2或−2 B．2 C．−2 D．m≥0且m≠24．（23-24八年级下·山东烟台·期中）一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数、一次
项系数、常数项分别是（ ）
A．3，−4，−1 B．3，4，1 C．3，4，−1 D．3，−1，−4
5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）将一元二次方程2x−6=x2+x−1化成一般形式
为 ．
【题型02 ：一元二次方程的解】
6．（23-24八年级下·北京昌平·期末）若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为
（ ）
A．2 B．−2 C．0 D．4
7．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）若a是关于x的方程3x2−x+1=0的一个根，则
2024−6a2+2a的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
8．（2024·广东东莞·二模）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0的一个解是x=1，则
代数式2024−a−b的值为（ ）
A．−2023 B．2023 C．2024 D．2025
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若a+b+c=0，则一元二次方程
必有一个根是（ ）
ax2−bx+c=0(a≠0)
A．0 B．1 C．−1 D．a
10．（23-24八年级下·江苏淮安·阶段练习）已知m是方程x2−x−2=0的一个根，则
2024−m2+m的值为 ．
【题型03：解一元二次方程】
11．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）解方程：
(1)x2+4=4x；
(2)x(x+1)=x+1．
12．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）用指定的方法解一元二次方程：
(1)x2−4x−12=0；（配方法）
(2)2x2+2x=3．（公式法）13．（23-24八年级下·福建福州·期末）解下列方程：
(1)x2+4x−2=0；
(2)3x(x−1)=x−1．
14．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）解方程：2x2−7x−4=0（配方法解）．
15．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)2x2−4x+1=0；
(2)3x(x+4)=2(x+4)．
16．（23-24八年级下·山东烟台·期中）解方程
(1)x(x−4)=4x−16； (2)2x2−8x+3=0
【题型04：一元二次方程根的判别式】
17．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x−7=0的根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个实根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
18．（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于 的一元二次方程 的根情
x x2+mx−2(m+3)=0
况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定
19．（23-24八年级下·山东泰安·期中）关于x的一元二次方程x2−2ax+a2+1=0的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．实数根的个数与实数a的取值有关
20．（23-24九年级下·山东淄博·期中）关于 的一元二次方程 有
x x2+(2m+1)x+m2−2=0
两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
21．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程
x2+(n+2)x+2n=0．
(1)求证：该方程总有实数根；
(2)若 x=−3是该方程的一个解，求n的值．
【题型05：一元二次方程根与系数的关系】
22．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）若a，b是方程x2−8x+7=0的两个根，则
a2b+ab2=（ ）
A．−1 B．1 C．−56 D．56
23．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x 、x ，且
1 2
1 1
+ =3，则p的值为（ ）
x x
1 2
2 2
A．− B． C．−6 D．6
3 3
24．（2024·湖南益阳·三模）已知方程x2−2x−3=0的两个实数根分别为x ，x ，则式子
1 2
的值等于（ ）
(x +1)(x +1)
1 2
A．−4 B．0 C．2 D．6
25．（2024·天津和平·三模）若 ， 是方程 的两个根，则 的值是
x x 2x+4=x2 (x +1)(x +1)
1 2 1 2
（ ）A．−1 B．0 C．1 D．2
【题型06：有关一元二次方程传播问题】
26．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，
感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲
流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人
感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ）
A．x+x(x+1)=256 B．x2+x=256
C． D．
1+x+x(x+1)=256 (x+1)+(x+1) 2=256
27．（23-24八年级下·福建福州·期末）学校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现
某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主
干、支干和小分支的总数是31个，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
x2=31 (1+x) 2 =31
C． D．
1+x+x2=31 1+x+(1+x) 2 =31
28．（2024·重庆·一模）某人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感．设每一轮传
染中平均每人传染了x个人，则可得到方程 ．
29．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，
有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人？
(2)若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？
【题型07：有关一元二次方程面积问题】
30．（23-24八年级下·四川广安·期末）如图所示，某小区规划在一个长为40m、宽为26m
的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，
其余部分种草．若使所有草坪的面积和为864m2，求甬路的宽度．若设甬路的宽度为xm，
则x满足的方程为 ．31．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）已知如图所示，学校准备在教学楼后面搭建两个连
在一起的简易矩形的自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的增长为28m
），另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，开有两个长为1米的木质门．
(1)求线段AB的取值范围；
(2)若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽．
(3)能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明
理由．
32．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）致富新村要修建一个长方形的养猪场，猪场的
一面靠墙（墙长25米），另外三边用长40米的木栏围成．
(1)设AB长为x米，则BC的长为______米；
(2)AB长为多少时，养猪场的面积为150平方米？
(3)养猪场的面积能否为240平方米？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由．
【题型08：有关一元二次方程增长率问题】
33．（23-24八年级下·广东广州·期末）某地2020年人均可支配收入为2.36万元，2022年达到2.7万元，若2020年至2022年间每年人均可支配收入的增长率都为x，则下面所列方
程正确的是（ ）
A． B．
2.36(1+x) 2 =2.7 2.36(1+2x)=2.7
C． D．
2.7(1−x) 2 =2.36 2.36(1+x2)=2.7
34．（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现
了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．
据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累
计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ）
A． B．
5+5x+52=20 5(1+x) 2 =20
C． D．
5(1+x) 3 =20 5+5(1+x)+5(1+x) 2 =20
35．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守
“一盔一带”的规定． 某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头
盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？
36．（2024·辽宁大连·三模）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校
图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆
608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
(1)求进馆人次的月平均增长率；
(2)因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不
变的条件下，校图书馆能否接纳．【题型09：有关一元二次方程利润问题】
37．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为
180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，
宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
(1)当定价为200元时，会空______间房，每天的利润是______元．
(2)如果每间房当天的定价比房间住满时的房价增加x元时，宾馆______间房有游客居住
（用含x的代数式表示）；
(3)若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
38．（2024·陕西西安·模拟预测）陕西是面食之乡，其中以“臊子面”最为有名，它柔软光
滑、易于消化，与北京炸酱面、河南烩面、武汉热干面、四川担担面被誉为我团五大面食．
西安“面霸”餐馆一份臊子面成本价为7元，若每份卖12元，平均每天销售160份，若价
格每提高1元，平均每天少销售10份，每份臊子面价格是多少元时，“面新”餐馆能实现
每天1080元的利润？
39．（23-24八年级下·浙江绍兴·期中）某商店销售一款工艺品，平均每天可销售20件，每
件盈利40元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，在一定范
围内，每件工艺品的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件．如果商店通过销售这种工艺品每天想盈利1050元，那么每件工艺品单价应降多少元？
40．（2024八年级下·浙江·专题练习）据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，
3月份的销售额是2250万元．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少；
(2)市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价
每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少
库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降
低多少元？
41．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为
36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，
位列江南六大古镇之首．
(1)求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率；
(2)某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每
件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减
少2件．
①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润；
②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价
应定为每件多少元？42．（23-24九年级下·黑龙江大庆·期中）商场销售某商品，2月份销售150台，4月份销售
216台，若从2月份到4月份销售量的月增长率相同．
(1)求该商品销售量的月增长率；
(2)该商品的进价为48元/台，售价为58元/台，5月份可卖400台，已知该商品每涨5元，
销售量就减少40件，若要每月获得6048元利润且让利顾客，则售价应定为多少元？
【题型10：有关一元二次方程动点问题】
43．（23-24九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=5cm，BC=6cm，
点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边
BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C
时，两点停止运动．设运动时间为ts．
(1)填空：BQ=_____cm，PB=_____cm；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
(3)是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若
不存在，请说明理由．44．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=4
cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P
由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．
(1)求四边形PBCQ的面积；
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？
45．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形ABCD中，AB=16cm，
AD=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B运动，一直
到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D运动，设运动时间为ts．
(1)当t为何值时，四边形PBCQ的面积为33cm2？
(2)当t为何值时，线段PQ的长为10cm？
