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专题第 01 讲 与三角形的角有关的计算
1．（2022秋•海珠区校级期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，
∠C＝70°．
（1）∠AOB的度数为 ；
（2）若∠ABC＝60°，求∠DAE的度数．
2．（2023春•洛宁县期末）如图，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平分线，∠CBF＝30°，
∠AFB＝70°．
（1）∠BAD＝ °；
（2）求∠DAE的度数．
3．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝ °，∠P＝ °；
（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；
（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．
4．（2023春•乐山期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，BP平分∠MBC，延长AC到N，CP平
分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC＝ ，∠ACB＝ ，∠BPC＝ ，求证： ＝ ；
（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平
α β θ α
分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF＝ ，∠ACB＝ ，∠BPF＝ ，求证： ＝ ；
（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平
α β θ θ
分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF＝ ，∠ACB＝ ，∠BPF＝ ，探究并直接写出 ， ， 之间的等
量关系．
α β θ α β θ
5．（2022秋•黄石期末）如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB（含30°
和60°）的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；
（2）图中互余的角有 对；
（3）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF以每秒9°的速度绕点O顺时针旋
转，设运动时间为ts（0≤t≤40）．
①当t为何值时，直线EF平分∠AOB．
②当t＝ 时，直线EF平分∠BOD．
6．（2022秋•淮南期末）（1）如图1，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条
直角边 XY、XZ 分别经过点 B、C．△ABC 中，∠A＝30°，则∠ABC+∠ACB＝ ，
∠XBC+∠XCB＝ ．（2）如图2，△ABC的位置不变，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ
仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出
∠ABX+∠ACX的大小．
7．（2023春•栾城区校级期末）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB
上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上．
①直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系；
②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；
（2）当点F在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系．
8．（2023春•邗江区期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角 的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅
三角形”，其中 称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、100°、，这个三角形就
α
α是“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形
的三个内角中一定有一个内角 的度数是另一个内角度数的2倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为
α
．
（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端
点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度
数．
（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且
∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“优雅三角形”，求∠C的度数．9．（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过
程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC 与∠ACB的平分线相交于
点P．
（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝ °
（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的
度数．10．（2022秋•海丰县期末）综合与探究：
【情境引入】
（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+ ∠A的理由．
【深入探究】
（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量
关系是 ；
②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，
探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．11．（2023春•南阳期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是
∠EBC，∠FCB的平分线．
（1）若∠A＝30°，则∠D＝ °，∠P＝ °，∠D+∠P＝ °；
（2）当∠A变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．12．（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D．
特例研究：
（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度数；
操作发现：
如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别
为DM和DN，点G，F都在射线DA上；
（2）若∠B+∠C＝60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由；
（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为 （0°＜ ＜360°）．记旋转中的△DMF为△DM F ，
1 1
在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M 1 ，F 1 ， α 直线Mα1 F 1 ，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点
P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，请直接写出旋转角 的度数．
α13．（2023春•东方校级期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果∠A＝70°，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BPC的度数；
（2）如图1，如果∠A＝ ，用含 的代数式表示∠BPC；
（3）探索：如图2，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试写出∠Q、∠A之间的数量关
α α
系；
（4）拓展：如图3，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请
直接写出∠A的度数．14．（2023春•商水县期末）【基本模型】
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P＝ ∠A．
【变式应用】
（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交
点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发
生变化，请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任
意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直
接写出∠P的度数．15．（2023春•大荔县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图 1中，
△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据
三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
性质理解：
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，则∠AOB＝85°，则∠C+∠D＝ °．
性质应用：
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，
求∠BED的度数．
拓展提高：
（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设
∠A＝ ，请尝试求出∠P的度数（用含 的式了表示∠P）．
α α
16．（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：
【论证】如图1，延长BA至D，过点A作AE∥BC，就可以说明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的内角和为180°，请完成上述说理过程．
【应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ACB的角平分线交于点P，过点A作AE∥BC，M
在射线AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．
①求∠DCP的度数；
②设∠B＝ ，请用 的代数式表示∠D．
【拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，过点A作EF∥BC，直线MN与EF相交于
α α
A点右侧的点P，∠APN＝75°．△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时MN绕点P以每
秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC旋转一
周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN与△ABC的一边平
行？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
17．（2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，现将△ABC绕点A顺
时针旋转 角度得到△ADE．
α（1）若 ＝28°时，则∠DAC＝ °；若0°＜ ＜90°时， 与∠CAE的关系是 ；
（2）∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由；
α α α
（3）在旋转过程中，若0°＜ ＜180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若
存在，请求出 的所有可能取值．
α
α
18．（2023春•荣成市期末）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光
线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光
线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1＝∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线
n与光线m平行，且∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ；
（2）图2中，当被b反射出的光线n与光线m平行时，不论∠1如何变化，∠2与∠1总具有一定的数
量关系，请猜想∠2和∠1的数量关系，并说明理由；
（3）图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线
m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角∠3的度数；
（4）如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线
n与光线m垂直，求出此时∠O的度数？（友情提示：三角形内角和等于180°）
19．（2023春•定兴县期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线 a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∠BAC＝30°．操作发现：
（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；
（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说
明理由．
（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2＝4∠1，求∠1的度数．
20．（2023春•盐都区期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第 42页第20题，是一道研究
双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．在△ABC中，∠A＝n°．
（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；
（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，求∠BO′C的度数；
（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？
【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：
如图1，在△ABC中，∠A＝n°．
（1）∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为 ；
（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，则∠BO′C的度数为 ；
（3）∠BOC与∠BO'C的数量关系是 ．
（4）【问题深入】：
如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得点A与点O重合，
请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式；
（5）如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O′，作直线PQ交AD于点P，交AE
于点Q．当∠APQ＝∠AQP时，∠CO′Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接写出结果．
21．（2023春•郯城县期中）已知AB∥CD，直线MN交AB、CD交于点M、N．（1）如图1所示，点E在线段MN上，设∠MBE＝15°，∠MND＝70°，则∠MEB＝ ．
（2）如图2所示，点E在线段MN上，∠1＝∠2，DF平分∠EDC，交BE的延长线于点F，试找出
∠AEN、∠1、∠3之间的数量关系，并证明；（提示：不能使用“三角形内角和是180°”）．
（3）如图3所示，点B、C、D在同一条直线上，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点P，请直接写出
∠A与∠P的数量关系： ．
22．（2023春•单县期末）如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝ ，∠C＝ （ ＜
），请用 、 的代数式表示∠DFE．
α β α
β α β
23．（2023春•秀英区校级月考）如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．
（1）若∠A＝70°，求∠P＝ 度；
（2）求∠PBQ及∠PCQ的度数；
（3）若∠A＝ ，求∠P及∠Q的度数．（用含 的代数式表示）
α α
24．（2023•东兴区校级二模）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A
的度数．
25．（2023春•桂林期末）实验与探究
小芳同学在用数学图形软件探究平行线的性质时，进行如下实验与探究：在直线CD上取一定点N，作一任意三角形MNP，过点M作直线AB∥CD，并标记∠BMP为∠1，∠DNP为∠2，请用平行线的相关
知识解决下列问题．
（1）如图1，小芳发现，当点P落在直线AB与CD之间时，总有∠1+∠2＝∠P的结论，请你帮小芳说
明理由；
（2）将三角形MNP绕点N旋转，当点P落在直线AB与CD之外时（如图2），小芳发现∠1，∠2，
∠P之间依然满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点P落在直线AB与CD之间时，小芳用数学软件作出∠AMP与∠CNP的角平分线MQ
和NQ，交点为点Q，发现∠P与∠MQN之间也满足某种数量关系，请你写出这个数量关系，并说明理
由．
26．（2023春•徐州期末）已知：在△ABC中，∠BAC＝ ．过AC边上的点D作DE⊥BC，垂足为点E．
BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．
α（1）如图1，若 ＝90°，点G在边BC上且不与点B重合．
①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
α
②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若0°＜ ＜90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含 的代数式表示
∠H，并说明理由；
α α
（3）如图3，若0°＜ ＜90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含 的代数式表示∠BMD，则
∠BMD＝ ．
α α
27．（2023春•江都区期末）如图，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
（1）若∠B＝64°，∠C＝42°，则∠DAE＝ °；
（2）∠B、∠C与∠DAE有何数量关系？证明你的结论；（3）点G是线段CE上任一点（不与C、E重合），作GH⊥CE，交AE的延长线于点H，点F在BA的
延长线上．若∠FAC＝ ，∠GHE＝ ，求∠B、∠C（用含 、 代数式表示）．
α β α β
28．（2023春•增城区期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平
分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME．
（1）直线AB与直线CD是否平行，说明你的理由；（2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H
作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝ ，∠EGF＝ ．
①当点G在点F的右侧时，若 ＝60°，求 的度数；
α β
②当点G在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
β α
α β
29．（2023春•信都区期末）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与
点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．
（1）如图，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠A的度数是 ；∠EFB的度数是 ，
②探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；
（2）若点E在线段DC上运动时，请直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．
30．（2023春•曹县期末）如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD 的平分线
CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）在图1中，当∠CDO＝50°时，求∠F的度数；
（2）如图2，当C、D两点分别在射线OA、OB上移动时（不与点O重合），其他条件不变，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，试求出∠F的度数．
