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专题 01 二次函数的图象和性质
目录
A题型建模・专项突破
题型一、根据二次函数的定义求参数......................................................................................................................1
题型二、二次函数的图象和性质..............................................................................................................................2
题型三、利用二次函数的增减性比较大小..............................................................................................................4
题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴......................................................................................................6
题型五、求二次函数在某区域的最值问题..............................................................................................................7
题型六、画二次函数的图象......................................................................................................................................9
题型七、二次函数的图象和性质综合问题............................................................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、根据二次函数的定义求参数
1．若函数 为二次函数，则实数 ．
2．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是 ．
3．若 是关于 的二次函数，则 的值为 ．
4．当 时， 是二次函数．
题型二、二次函数的图象和性质
5．关于二次函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．其图象的对称轴是直线
B．当 时，y随x的增大而减小
C．若点 是抛物线上的点，则点 也是抛物线上的点
D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点
6．对于二次函数 的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．当 时， 随 的增大而减小 D．函数的最大值为4
7．已知二次函数 ，那么下列关于该函数的判断正确的是（ ）
A．该函数图像有最低点 B．该函数图像对称轴为直线
C．该函数图像在 轴的下方 D．该函数图像在对称轴左侧是下降的
8．关于抛物线 的图像与性质，下列结论错误的是（ ）
A．形状与抛物线 相同 B．对称轴是直线C．当 时， 随 的增大而减小 D．该抛物线与 轴没有交点
题型三、利用二次函数的增减性比较大小
9．抛物线 经过点 和 ，则它的对称轴为 ．
10．已知二次函数 图象上有两个不同点 ，则 ．
11．已知抛物线 经过 ， 两点，则 的值为 ．
12．已知抛物线 经过 和 两点，则a值为 ．
题型四、已知二次函数上对称的两点求对称轴
13．若点 、 、 在二次函数 的图像上，则 、 、 的大小
关系为 ．（用“ ”符号连接）
14．若二次函数 的图象经过 ， ， 三点，则关于 ， ， 的大小
关系是 ．
15．已知二次函数 、且有 、则 、 按从大到小的
顺序排列为 ．
16．已知点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ， ， 之间的大
小关系是 （用“ ”连接）．
题型五、求二次函数在某区域的最值问题
17．已知函数 ，当 时，该函数的最大值是 ．
18．已知二次函数 ，当 时，y的最大值为9，则k的值为 ．
19．已知函数 ，当 时， 有最大值 ，最小值 ，则 的值为 ．
20．已知抛物线 ．当 时，函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，则 的取
值范围是 ．
题型六、画二次函数的图象
21．已知：二次函数 中的 和 满足如表：
… 0 1 2 3 4 5 …
… 3 0 0 8 …(1)可求得 的值为 ；
(2)求出这个二次函数的解析式；
(3)画出函数图象，并根据图像写出当 时 的取值范围．
22．已知二次函数 ，解决以下问题：
(1)将其化成 的形式：______；
(2)用“五点法”画函数图象，先填表再画图；
0 1 2 3
6
(3)增减性：当 ______时， 随 增大而增大；当 ______时， 随 增大而减小．
0 1 2 3
6 3 2 3 6
23．已知二次函数 的图象过点 ， ， ．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)补全表格，画出二次函数的图象；
x … …
y … …
(3)关于该二次函数，下列说法正确的有______．①图象开口朝下，顶点为 ；
②当 时，y随x增大而减小；
③当 时，y的取值范围为 ；
④图象与两坐标轴的交点所形成的三角形面积为6．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
24．已知二次函数 ．
(1)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
①函数 时， 的取值范围是____________；
②方程 的根是_______________；
③试写出此函数的一条性质；
④已知点 ， ， 都在此二次函数的图象上，则 的大小关系是_________（用“＜”连接）．
0 1 2 3 4
题型七、二次函数的图象和性质综合问题
25．二次函数 的图象经过点 ，且对称轴为直线 ．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若 是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求 的最大值与最小值的差．
26．已知二次函数 ，记 的最大值为 ，最小值为 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 时，求 的值；
(3)若 总成立，则写出 的取值范围为_______．
27．在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为 ，其中 ．
(1)若此函数图象过点 ，求这个二次函数的表达式；
(2)若 为此二次函数图象上不同的两个点，当 时， ，求m的值；
(3)若点 在此二次函数图象上，当 时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
28．已知二次函数 （ 的实数）
(1)二次函数图象的对称轴是______．
(2)当 时，
①若将平面内一点 向右平移 个单位，则与抛物线上的点 重合；向左平移 个单位，则与抛物
线上的点 重合，求 的值．
②如果点 在抛物线上，且到 轴的距离小于等于 ，那么我们称点 是 轴的“亲密点”，求所有
“亲密点”的 的取值范围．
(3)对于二次函数图象上的两点 ， ，当 ， 时，均满足 ，直
接写出 的取值范围．一、单选题
1．抛物线 的对称轴为（ ）．
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．抛物线 的对称轴是 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
3．已知二次函数 的图象经过点 ，若 ,则m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．对于二次函数 的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为 D．当 时，y随x增大而减小
二、填空题
5．二次函数 的图象上有两点 ， ，则此抛物线的对称轴是直线 ．
6．点 是二次函数 图象上的两个点，则 （填“ ”，“
”或“ ”）
7．若 是y关于x的二次函数，则 ．
8．当 时，二次函数 的最小值为0，则 ．
三、解答题
9．已知二次函数 ．
(1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
(2)观察图象，若点 ， ， 是这条抛物线上的三个点，请用“ ”连接 ， ， 的大
小关系______；0 1 2 3
0 3 4 3 0
10．已知二次函数 （ ， 为常数， ），其图象与 轴交于点 ， （ 在 的左
侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，且图象的对称轴为直线 ．
(1)求二次函数解析式及顶点 的坐标；
(2)请在给出的平面直角坐标系中，画出三次函数 的图象；
(3)连接 ， ，根据图象直接回答问题：
面积为______；
关于 的方程 的解为______；
若该二次函数图象上有两点 和 ，则 ______ （从符号 ， ， ， ， 中选择
一个填空）；
当 时，则 的取值范围是______．11．已知，点 在抛物线 上．
(1)若 ，且抛物线经过点 ，求抛物线的表达式．
(2)若点 也在该抛物线上．
①当函数的最小值为0时，求 的值；
②若在 时，y随x的增大而增大，直接写出m的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，已知抛物线 ．
(1)若该抛物线的对称轴为直线 ，求其顶点坐标；
(2)已知该抛物线的对称轴位于 轴右侧．
①当 时， 的最小值为 ，求 的值；
②若 都是该抛物线上的点，且 ，求 的取值范围．
