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大连市第二十四中学 2022-2023 学年度高考适应性测试（一）
高 三 数 学
考生注意：
1.本试卷共150分,考试时间120分钟。分四大题，22小题，共6页
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容
一、单选题（每题只有一个选项是正确答案，每题5分，共40分）
1．已知集 合， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足 ，则 （ ）．
A． B． C．2 D．
3．设双曲线C： 的左､右焦点分别为 ， ，以 为圆心的圆恰好与双曲线C的两渐近线
相切，且该圆恰好经过线段 的中点，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
4．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、
历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学
生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正
确的是（ ）
A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.
5．已知 是定义域为 的函数，且 是奇函数， 是偶函数，满足 ，若对任意的 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知三棱锥 为正三棱锥，且 ， ，点 、 是线段 、 的中点，平面 与平面
没有公共点，且 平面 ，若 是平面 与平面 的交线，则直线 与直线 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 图像上一点 向右平移 个单位，得到的点 也在 图像
上，线段 与函数 的图像有5个交点，且满足 ， ，若 ，
与 有两个交点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列 的前n项和为 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题至少有一个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，
且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配
图：
根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）
A．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同
B．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍
C．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍
D．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同
10．若(1－2x)5＝a＋ax＋ax2＋ax3＋ax4＋ax5，则下列结论中正确的是（ ）
0 1 2 3 4 5A．a＝1 B．a＋a＋a＋a＋a＝2
0 1 2 3 4 5
C．a－a＋a－a＋a－a＝35 D．a－|a|＋a－|a|＋a－|a|＝－1
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5
11．《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合
体”（图2）.在棱长为2的正方体 中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中
心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转 ，得到的三个正方体
， ，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图
7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（ ）
A．设点 的坐标为 ， ，2，3，则
B．设 ，则
C．点 到平面 的距离为
D．若G为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角最小为
12．已知函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．函数 在 时，取得极小值-1
B．对于 ， 恒成立
C．若 ，则
D．若 ，对于 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为1三、填空题（每题5分，共20分）
13．若函数 则 ________．
14．如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形 的斜边
，直角边 、 ，点 在以 为直径的半圆上．已知以直角边 、 为直径的两个半圆的面积之比为
3， ，则 ______．
15．某汽车销售公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位：千元）对年销售量 （单
位：百辆）的影响，对近8年的年宣传费 和年销售量 数据作了初步处理，得到年销售量 与年宣
传费具有近似关系： 以及一些统计量的值如下： 372.8， 4504， 54.4，
76.2 ．
已经求得近似关系中的系数 ，请你根据相关回归分析方法预测当年宣传费 （千元）时，年销售量
__________（百辆）．
16．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三
角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每
个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当 的三个内角均小于 时，则使得
的点 即为费马点．已知点 为 的费马点，且 ，若
，则实数 的最小值为_________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．设数列 的前 项和为 ， ， ，数列 中， ， ， ，…， ，…是首
项、公差均为2的等差数列.
(1)求数列 、 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
18．已知 的内角 所对边分别为 ，且
(1)证明： ；
(2)求 的最大值.19．中国职业篮球联赛（CBA联赛）分为常规赛和季后赛.由于新冠疫情关系，今年联赛采用赛会制：所有球队集
中在同一个地方比赛，分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场比赛和客场比赛，积分排名前8的球队进
入季后赛.季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成
为本赛季的总冠军）.下表是 队在常规赛60场比赛中的比赛结果记录表.
比赛场
阶段 主场场数 获胜场数 主场获胜场数
数
第一阶段 30 15 20 10
第二阶段 30 15 25 15
(1)根据表中信息，依据 的独立性检验，能否认为比赛的“主客场”与“胜负”之间有关联？
(2)已知 队与 队在季后赛的总决赛中相遇，假设每场比赛结果相互独立， 队除第五场比赛获胜的概率为 外，
其他场次比赛获胜的概率等于 队常规赛60场比赛获胜的频率.记 为 队在总决赛中获胜的场数.求 的分布列.
附： ，其中 .
临界值表：
（
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
）
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．如图，在四棱锥 中，平面 平面PAD， ， ， ，
， ，E是PD的中点．
(1)求证： ；
(2)若点M在线段PC上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为 ，求面MAB与面PCD夹角的余弦值．21．已知双曲线E： （ ， ）一个顶点为 ，直线l过点 交双曲线右支于M，N两
点，记 ， ， 的面积分别为S， ， .当l与x轴垂直时， 的值为 .
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)若l交y轴于点P， ， ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，若 ，当 时，求实数m的取值范围.
22．对于函数 , ,设区间 是 上的一个子集,对于区间 上任意的 , , ,当 时,如果总有
,则称函数 是区间 上的 函数.
(1)判断下列函数是否是定义域上的 函数:① ,② ;
(2)已知定义域上的严格增函数 也是定义域上的 函数,试问: 是否是定义域上的 函数?若是,请
给出证明;若不是,请说明理由;
(3)若函数 为区间 上的 函数,证明:对于任意的 , 和任意的 ,总有
