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专题 01 二次根式（考题猜想，易错重难点 5 大题型 38 题）
题型一：利用二次根式的性质化简（易错）
1．（23-24八年级下·江西赣州·期末）若 ，化简 ，小杰的解答过程如下：
解：原式 第一步
第二步
第三步
(1)小杰的解答从第 步出现了错误，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(2)请你写出正确的解答过程．2．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末）观察下列等式，解答下面的问题：
① ，② ，③ ，……
(1)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(2)利用（1）的结论计算 ．
3．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）当 时，求 的值，如图是小亮和小芳的解答过
程：
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质： ；
(3)当 时，求 的值．
4．（23-24八年级下·河南信阳·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的
方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1： ，特例2： ，
特例3： ，
特例4： ，
特例5： ______（填写运算结果）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果 为正整数，用含 的式子表示上述的运算规律为：______
(3)证明你的猜想．
5．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）先化简再求值：当 时，求 的值 甲、乙两人
的解答如下：
甲：原式 ；
乙：原式 ．
(1)______ 的解答是错误的，错误的原因是______ ；
(2)若 ，计算 的值．
6．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）有这样一类题目：将 化简，如果你能找到两个数 ，
使 且 ，则将 变成 ，然后开方，从而化简 ．例如：化简 ．
解： ．
仿照上例化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
7．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）阅读下列解题过程
例：若代数式 的值是2，求 的取值范围
解：原式 ，
当 时，原式 ，解得 （舍去）；
当 时，原式 ，符合条件；
当 时，原式 ，解得 （舍去）．
∴ 的取值范围是 ．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
(1)当 时，化简： ______．
(2)解方程： ．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简： ．
解：隐含条件 ，
解得 ，
∴ ，
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 （结果保留 ）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
（3）已知a，b，c为 的三边长．化简：
题型二：二次根式的计算与最值（易错）
9．（24-25八年级上·北京顺义·期末）阅读下面材料：
我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如： ．类似的把
分子中的根号化去就是分子有理化，例如： ．分子有理化可以用
来比较某些二次根式的大小，例如：比较 和 的大小，可以先将它们分子有理化如下：
， ，因为 ，所以 ．
请根据上述材料，解决下列问题：(1)把下列各式分子有理化：
① ；② ；
(2)比较 和 的大小，并说明理由；
(3)将式子 分子有理化为__________，该式子的最大值为__________．
10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）阅读材料1：
在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有 ，当且
仅当 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
例如：在 的条件下， ，当且仅当 时，即 时等号成立，从而 有最小值
2．
阅读材料2：
我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如 ，当分式的分母次数小于分子
的次数时，也有类似的变换，如：
（1） ，
（2） ．
请根据阅读材料解答下列问题：
(1)若 为正数，则 的最小值为______，此时， ______；
(2)若 为正数，则 的最小值为______，此时， ______；
(3)求下列分式在给定的 的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的 的值．①
②
11．（23-24八年级下·贵州安顺·期末）阅读理解：若 ， ，由 ，得 ，
当且仅当 时取到等号．利用这个结论，我们可以求一些式子的最小值．
例如：已知 ，求式子 的最小值．
解：令 ， ，则由 ，得 ，
当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4．
请根据上面材料回答下列问题：
(1)当 时，当且仅当 ______时，式子 的最小值为______（直接写出答案）；
(2)如图，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆
周长指不靠墙的三边之和），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
12．（22-23八年级下·北京大兴·期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经
验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当 时， 与 的大小关系”．
下面是小单的深究过程：
①具体运算，发现规律：
当 时，特例1：若 ，则 ；
特例2：若 ，则 ；
特例3：若 ，则 ．
②观察、归纳，得出猜想：当 时， ．
③证明猜想：
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当且仅当 时， ．
请你利用小华发现的规律解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为
(2)当 时， 的最小值为 ；
(3)当 时，求 的最大值．
题型三：二次根式与规律探究（难点）
13．（22-23八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）观察下列各式：
① ；② ；
(1)根据你发现的规律填空： ______＝______；
(2)猜想 ______（ ， 为自然数），并通过计算证实你的猜想．
14．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）观察下列等式：
……
(1)请你根据上述规律填空： ______；
(2)①把你发现的规律用含有 的等式表示出来： ______；
②证明①中的等式是正确的，并注明 的取值范围．
15．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）观察下列等式：
① ，
② ，
③ ，
…
解答下列问题：(1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；
(2)用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
16．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________．
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
17．（22-23八年级下·湖北恩施·期末）（1）填空： ， ______， ______．
（2）观察上述计算，根据式子的规律写出 后面连续的两个等式；
（3）用含n的等式表示你所发现的规律，并证明你发现的规律是否正确．
18．（22-23八年级下·湖北随州·期末）观察下列等式及验证，解答后面的问题：第1个等式： ，验证： ；
第2个等式： ，验证： ；
第3个等式： ，验证： ．
(1)请写出第4个等式，并验证；
(2)按照以上各等式反映的规律，猜想第 个 为正整数，且 等式，并通过计算验证你的猜想．
19．（22-23八年级下·云南红河·期末）阅读下列内容，解答问题：
如图，在 中， ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
……
(1)根据以上规律信息，请直接写出a与b以及a与c之间的数量关系．
(2)已知 ，求满足（1）中条件的 的值．20．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
……
按照以上规律，解决以下问题：
(1)写出第5个等式；
(2)试用含n(n为自然数，且 )的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性．
21．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）观察下列等式，解决下列问题：
第一个等式： ，
第二个等式： ，
第三个等式： ……
(1)第四个等式为： ；
(2)请用正整数 来表示含有上述规律的第n个等式，并证明．
22．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程：
等式①： ；等式②： ；
等式③： ；等式④：______________；……
(1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳猜想】若 为正整数，用含 的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立；
(3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式 （ 均为正整数），若该等式符合上述规律，则
的值为______．
23．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题：
； ； ……
(1)计算： ；
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）．
24．（23-24八年级下·山东泰安·期末） ；
；
；(1)写出 _________；
(2)猜想： _________；
(3)由以上规律，计算 的值．
题型四：分母有理化（重点）
25．（22-23八年级下·安徽铜陵·期末）观察下列各式：
，
，
，
依据以上呈现的规律，计算：
26．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将 与 称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”
来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，
所以 ．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知： ，则 ______；
(2)化简： ______；
(3)计算： ．
27．（22-23八年级下·云南昆明·期末）阅读材料：像 ， …这种两个
含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算
时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： ； ．
解答下列问题：
(1) 的有理化因式是_______， 的有理化因式是______．
(2)观察下面的变形规律，请你猜想： _______．
， ， …
(3)利用上面的方法，请化简：
．
28．（22-23八年级下·安徽池州·期末）观察下列运算：
①由 ，得 ；
②由 ，得 ；
③由 ，得(1)由上述规律，直接化简： ______；
(2)用含n（ 且为整数）的式子表示 ______；
(3)利用你发现的规律计算
题型五：二次根式的应用（重难点）
29．（22-23八年级下·山东烟台·期末）某居民小区有块形状为长方形绿地 ，长 为 米，宽
为 米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方
形花坛的长为 米，宽为 米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺
上造价为30元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
30．（22-23八年级下·全国·期末）高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头
顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常来不及避让，据研究，
高空抛物下落的时间t（秒）和高度h（米）近似满足公式 （其中g≈9.8米/秒2）．(1)当 米时，求下落的时间t；（结果保留根号）
(2)伤害无防护人体只需要65焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质
量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？
请说明理由．
31．（22-23八年级下·山东威海·期末）古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的
三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为 、 、 ，设 ，则三角
形的面积 ．我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的
“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为 、 、 ，则三角形的面积
．依据上述公式解决下列问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是 ，3， ，求这个三角形的面积．32．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙 的长为 ，宽 为 ，
中间要镶一个长为 ，宽为 的矩形大理石图案（图中阴影部分）
(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元 ，大理石造价为200元 ，则整个电
视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
33．（23-24八年级下·山东青岛·期末）有一块矩形木板，木工采用如图所示的方式在木板上截出 ， 两
个面积分别为 和 的正方形木板．
(1)截出的 ， 两个正方形的边长分别为__________ ，__________ （用最简二次根式表示）
(2)求剩余木板（阴影部分）的面积．
34．（22-23八年级下·江苏南京·期末）已知：三角形的三边长分别为a，b，c（ ）．求证：．
(1)如下的框图表示推导该结论的一种思路，结合题意，请填写其中的空格．
(2)为探讨该结论的其他证明方法，老师提供了以下几种思路，请选择其中一种思路进行证明．
思路①利用 ， ， ，再配
方，……
思路②利用 ，使用平方差公式，……
思路③利用 ，……
35．（22-23八年级下·四川广安·期末）如图，木工师傅在一块矩形木料上截出两块面积分别为 和
的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为________dm，大正方形木板的边长为________dm；
（填最简二次根式）
(2)求原矩形木料的面积；(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长________为2dm．（填
“能”或“不能”）
36．（23-24八年级下·北京海淀·期末）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织
学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观
度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
(1)圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
37．（23-24八年级下·北京东城·期末）据研究，高空抛物下落的时间 （单位： ）和高度 （单位： ）
近似满足公式 （不考虑风速的影响）．
(1)求从 高空抛物到落地时间；
(2)已知高空坠物动能 （单位： ） 物体质量（单位： ） 高度（单位： ），某质量为 的
玩具被抛出后经过 后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由（注：伤害无
防护人体只需要 的动能）．38．（23-24八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，将两个正方形并列放置（不重叠）在一矩形中，且两个正
方形的面积分别为 ， ，求阴影部分的面积．
