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专题第 01 讲 全等三角形的判定与性质
1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．
2．（2022秋•黔江区期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O．
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
3．（2022秋•鼓楼区期末）如图，点A、C、D在同一直线上，BC⊥AD，垂足为C，BC＝CD，点E在BC上，AC＝EC，连接AB，DE．
（1）求证：△ABC≌△EDC；
（2）写出AB与DE的位置关系，并说明理由．
4．（2023•黄石模拟）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD
＝CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
5．（2023春•嘉定区期末）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，点 E为对角线 BD上一点，∠A＝
∠BEC，且AD＝BE．（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）如果∠BDC＝75°，求∠ADB的度数．
6．（2023•营口）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，
∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求证：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的长．
7．（2023•朔城区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，在BD上取两点E，F，使DF＝BE，连接
AE，CF．
（1）若AE∥CF，试说明△ABE≌△CDF；（2）在（1）的条件下，连接AF，CE，试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由．
8．（2023春•岑溪市期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BE＝DF；AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分
别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO＝CO．
9．（2023春•梅州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，点D在线段BC上运动（点D不与
点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝42°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝118°时，∠EDC＝ °，∠AED＝ °；
（2）若DC＝3，试说明△ABD≌△DCE；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是以AE为腰的等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度
数；若不可以，请说明理由．
10．（2023春•甘州区校级期末）已知△ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点
E．
（1）若BD⊥AC，CF⊥AB，如图1所示，∠A+∠BEC＝ 度；
（2）若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，如图2所示，试说明此时∠BAC与∠BEC的数量关系；
（3）在（2）的条件下，若∠BAC＝60°，试说明：EF＝ED．11．（2023春•佛山月考）已知，如图1，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD上一个动点（不与
点A，D重合）．分别过点E和点C作AB与AD的平行线交于点F，连AF．
（1）求证：AF＝BE；
（2）如图2，延长BE交AC于点G，若BG⊥AC，且AD＝BG，请判断EG与AE的数量关系，并说明
理由．12．（2023春•子洲县期末）【问题背景】
如图，AB∥CD．连接BC，点E，F在BC上，且BF＝CE，连接AE，DF，且∠A＝∠D．【问题探究】
（1）试说明：AE＝DF：
（2）若AB＝CF，
①试判断△CDF的形状，并说明理由：
②若∠B＝30°，求∠DFB的度数．
13．（2023春•漳州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，连接AE，BD交
于点F，∠BAC＝∠BFE＝2∠AEB．（1）说明：∠EAC＝∠ABD；
（2）若BD平分∠ABC，BE＝15，AF＝6，求△BEF的面积；
（3）判断EF，BF，AF之间的数量关系，并加以说明．
14．（2023春•宣汉县校级期末）已知：∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，
E，（1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由．
①线段CD和BE的数量关系是：CD＝BE；
②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明．
解：①结论：CD＝BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ACD＝
在△ACD和△CBE中，（ ）
∴△ACD≌△CBE，（ ）
∴CD＝BE．
②结论：AD＝BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴
∵CE＝CD+DE＝BE+DE，
∴AD＝BE+DE．
（2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系．并说明
理由．
15．（2022秋•邹城市校级期末）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ．
16．（2023春•荣成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分别过A，B两点作互相平行的直线AM，BN，过点C的直线分别交直线AM，BN于点D，E．
（1）如图1，若AM⊥AB，求证：CD＝CE；
（2）如图2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判断线段AD，DC与BE之间的关系，并说明理由．
17．（2023春•吉安县期末）如图，△ABC中，D为AB的中点，AD＝5厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米．
（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q在线段CA上从点C向终点A运动，若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；
（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它
们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？
18．（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，E为CD的中点．
（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC ＝6，EH＝2，求AB的长．
（2）如图2，F为AC上一点，连接BF，BE．若∠BAC＝∠ABE＝∠CBF，求证：BD+CF＝AB．19．（2022秋•莱州市期末）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，点E在AD的右侧，线段AE＝
AD，且∠DAE＝∠BAC＝ ．
（1）如图1，若 ＝60°，连接CE，DE．则∠ADE的度数为 ；BD与CE的数量关系是 ．
α
（2）如图2，若 ＝90°，连接EC、BE．试判断△BCE的形状，并说明理由．
α
α20．（2023春•本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BA上，点E在AC的延长线上，且BD＝
CE．连接DE，DE与BC边所在的直线交于点F．
（1）当点D在线段BA上时，如图所示，求证：DF＝EF．
（2）过点D作DH⊥BC交直线BC于点H．若BC＝4，CF＝1，求BH的长是多少？21．（2023春•东源县期末）如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8cm，点P从点出发，
沿A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以lcm/s的速度运动，P、Q两点
同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）求证：AB∥DE．（2）写出线段AP的长（用含t的式子表示）．
（3）连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值．
22．（2023春•梅江区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝12，点D从B出发以每秒2个单位的
速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运
动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0＜t＜4）
（1）运动 秒时，AE＝ DC；（2）运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
（3）若△ABD≌△DCE，∠BAC＝ ，则∠ADE＝ （用含 的式子表示）．
α α
23．（2022秋•通川区期末）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°．点M在边AC上，
点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN＝AM，连接AN，BM，射线AG∥BC，延
长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE．
（1）如图，当∠ACB＝90°时；
①求证：△BCM≌△ACN；
②求∠BDE的度数；（2）当∠ACB＝ ，其它条件不变时，∠BDE的度数是 ．（用含 的代数式表示）
α α
24．（2023春•菏泽月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE
交BC的延长线于点F．
（1）△DAE和△CFE全等吗？说明理由；
（2）若AB＝BC+AD，说明BE⊥AF；
（3）在（2）的条件下，若EF＝6，CE＝5，∠D＝90°，求E到AB的距离．25．（2023•宁阳县一模）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一
点，且DH＝AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．
（1）求证：HC＝HB；
（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；
（3）求证：∠BEH＝45°．26．（2023春•榆林期末）如图，小明和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼的高
OM，AF⊥OM于F，BE⊥OM于E．小明在自家阳台A处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角
∠OAF＝ ，小华在自家阳台B处测得办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE＝ ．已知C，M，D
三点共线， 与 互余，且OA＝OB，AF＝8m，ME＝3m，求办公楼的高度OM．
α β
α β27．（2023春•分宜县期末）如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二
象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．
（1）求证：DA平分∠CDE；
（2）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，
请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？28．（2023春•萧县期末）在△ABC中，若最大内角是最小内角的n倍（n为大于1的整数），则称△ABC
为n倍角三角形．例如：在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝40°，∠C＝120°，则称△ABC为6倍角三角形．
（1）在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，则△ABC为 倍角三角形；
（2）若一个等腰三角形是2倍角三角形，求最小内角的度数；
（3）如图，点E在DF上，BE交AD于点C，AB＝AD，∠BAD＝∠EAF．∠B＝∠D＝25°，∠F＝75°，找出图中所有的n倍角三角形，并写出它是几倍角三角形．
29．（2023春•余江区期末）如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝
BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．
（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．30．（2023春•达州期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为AC边上的一点，连接BD，E为BD上的一点，
连接CE，∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂足G．AG交ED于点F．
（1）判断AF与AD之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若AC＝CE，D为AC的中点，AB与AC相等吗？为什么？
