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专题 01 全等模型-倍长中线与截长补短
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三
角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添
加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角
形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则 ；若连结EC，则
；
2、中点型:如图2， 为 的中点.
证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 ;
若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 .
3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点.
证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 .
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根
据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到 的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散
的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B(2)C(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据
AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．（1）∵在△ADC和△EDB中 ，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中 ∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质
和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在 中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使 ，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵ （已知）
∴ ， （两直线平行，内错角相等）．
在 与 中，
∵ ， （已证），（已知），
∴ ，
∴ （全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在 中， ， ，则BC边上的中线AD长度的取值范围是
______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中， ，点E是BC的中点，若AE是 的平分线，
试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知 ，点E是BC的中点，点D在线段AE上， ，若
， ，求出线段DF的长．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3．
【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据
三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；
（2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明
DA=DF即可解决问题；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．
【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中， ，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，
在△ABE和△FCE中， ，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中， ，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，
∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，
∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边
关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得
到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并
说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在 ADC和 EDB中∵ ，∴ ADC≌ EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
△ △ △ △
∵AB-BE
