文档内容
专题01 勾股定理重难点题型专训（14大题型+15道拓展培优）
题型一 勾股定理的证明方法
题型二 以弦图为背景的计算题
题型三 勾股定理的基本计算
题型四 利用勾股定理求长度
题型五 利用勾股定理求面积
题型六 勾股定理与无理数
题型七 用勾股定理解三角形
题型八 勾股定理中的最值问题
题型九 勾股数问题
题型十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题
题型十一 勾股定理与网格问题
题型十二 勾股定理与折叠问题
题型十三 利用勾股定理证明线段平方关系
题型十四 用勾股定理构造图形解决问题
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直
角边和斜边，那么．
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，
较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达
哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。
2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个
条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。
（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：
a2 +b2 =c2 ⇒a2 =c2 −b2 ⇒b2 =c2 −a2 ；c2 =(a+b) 2 −2ab
（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母c表
示，只有当∠C=900 时，a2 +b2 =c2 ，若∠B=900 ，则a2 +c2 =b2
。
（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。
2.勾股定理的验证
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中 ，所以 ．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中 ，所以 ．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以 ．
【经典例题一 勾股定理的证明方法】
【例1】（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证
明是论证几何的发端，下面四幅图中能证明勾股定理的是（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②③④ D．②③④1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，在四边形 中， ， ，点 是边 上
一点， ， ， ．下列结论：① ；② ；③四
边形 的面积是 ；④ ．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的
主要成就是证明了勾股定理和对勾股算术算法进行了推广．书中的证明方法是将4个三边长分别为 ， ，
的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形 ，然后通过添加辅助线，用面积法证明勾股定理．下
面是小华给出的相关证明：
如图2，延长 交_____①_____于点 ．
用两种不同的方法表示五边形 的面积 ：
方法一：将五边形 看成是由正方形 与 ， 拼成，则
_____②_____．
方法二：将五边形 看成是由_____③_____，正方形 ， ， 拼
成，则 ．
根据面积相等可以得到_____④_____，即 ．
则下列说法错误的是（ ）
A．①代表 B．②代表C．③代表正方形 D．④代表
3．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图所示的正方形图案是用4个全等的直角三角形拼成的．已知正
方形 的面积为25，正方形 的面积为1，若用 、 分别表示直角三角形的两直角边 ，
下列三个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是 （填序
号）．
【经典例题二 以弦图为背景的计算题】
【例2】（23-24八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图
案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边 ．下列说
法正确的有（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④
4．（24-25七年级上·山东东营·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，若
直角三角形中的较短直角边长为 ，较长直角边长为 ， ，且中间小正方形的面积为5，则大
正方形的面积为 ．
5．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦
图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，
记图中正方形 ，正方形 ，正方形的 的面积分别为 ， ， ，若 ，则 的
值为 ．
6．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）第十四届国际数学教育大会 于2021年在上海举办，其大
会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽证明勾股定理而创制的一幅
图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积
法，请你用等面积法探究下列问题：
(1)如图2是赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，请
用它验证勾股定理： ；(2)如图3，在 中， ， 是 边上的高， ，求 的长度．
【经典例题三 勾股定理的基本计算】
【例3】（23-24八年级下·湖北十堰·期末）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和4，则斜边上的
中线长是（ ）
A．2 B． C．2.5 D．3
7．（24-25八年级上·上海·期末）如图， 中， ， ， ．求 的面积．
8．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，
且 ，求 的长度．
9．（24-25八年级上·广东梅州·期中）如图，在 中， 于点
D，求 的长．
【经典例题四 利用勾股定理求长度】
【例4】（23-24八年级下·重庆大渡口·期末）在 中， ， ，点 是 内一点，
， ， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
10．（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图， 中， ．
(1)作 的角平分线交 于点 （要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的长．
11．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图， 为 斜边上的高， 的平分线分别交 ，
于点E，F， ，垂足为G．
(1)求证： ．
(2)若 厘米， 厘米，求 的长．
12．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，在 中， ，点 是 边上一点．(1)在 外求作一点 ，使得 ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作
法）
(2)若 ， ，试求出 的长．
【经典例题五 利用勾股定理求面积】
【例5】（23-24八年级下·四川泸州·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角
形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为（ ）
A．4 B．5 C．10 D．25
13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图， 中， 的垂直平分线分别交 、 于点 、 ，
．
(1)求证： ；
(2)作 交 于点 ，若 ， 的周长为 ，求 的面积．
14．（24-25八年级上·江西抚州·期中）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为 ，所以这个三角形
是常态三角形．
(1)若 三边长分别是2， 和4，则此三角形______常态三角形（填“是"或“不是”）；
(2)在 中， ， ，若 是常态三角形，则 ______．
(3)如图，在 中， ， ，点D在线段 上，连接 且 ，若
是常态三角形，求 的面积．
15．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践
【建立模型】
（1）如图（1）， 为等边三角形，点D在 的延长线上，在 的同侧以 为边构造等边三角形
，连接 ， 交于点F．
求证： ，并直接写出 的度数．
【应用模型】
（2）①如图（2），在 中， 平分 ，且 ，点E在 的延长线上，且 ，连
接 ， ，求证： ．
②如图（3）， 和 都是等腰三角形， ，点C恰好在 延长线上，连接
，若 ， ，求 的面积．
【经典例题六 勾股定理与无理数】
【例6】（23-24八年级下·辽宁营口·期末）如图，数轴上点 ， 表示的数分别是 ， ，过点 作，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，以原点 为圆心， 长为半径画弧，交数
轴于点 ，则点 表示的数是( )
A． B． C． D．
16．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，数轴上的点A表示的数是 ，点B表示的数是1，
于点B，且 ，以点A为圆心， 为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A． B． C． D．
17．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）如图， 为数轴原点， ， 两点分别对应 ， ，作腰长为 的
等腰 ，连接 ，以 为圆心， 长为半径画弧交数轴于点 ，则点 对应的实数为 ．
18．（24-25七年级上·浙江台州·期中）教材上有这样一个合作学习活动：如图 ，依次连结 方格四条
边的中点 ， ， ， ，得到一个阴影正方形，设每一小方格的边长为 ，得到阴影正方形面积为 ：(1)发现图 这个阴影正方形的边长就是小方格的对角线长，则小方格对角线长是_______，由此我们得到一
种在数轴上找到无理数的方法；
(2)如图 ，以 个单位长度为边长画一个正方形，以数字 所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，
与数轴交于 ， 两点，则点 表示的数为_______；
(3)如图 ， 网格是由 个边长为 的小方格组成，画出面积是 的正方形，使它的顶点在网格的格点上．
【经典例题七 用勾股定理解三角形】
【例7】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在 中， 平分 ， 平分 ，且
交 于 ，若 ，则 等于（ ）
A．6 B．25 C．36 D．49
19．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）（1） 是等边三角形，E是边 上的一点，以 为边作等
边 ，如图1．求证：
① ；
② ；（2） 是边长为2的等边三角形，E是边 上的一个动点，以 为边作等边 ，如图2，在点
E从点C到点A的运动过程中，则 的最小值为_______．
20．（23-24八年级上·河南·阶段练习）（1）如图1， 都是等边三角形，点 在边 上，连
接 ，则 的度数为______．
（2）如图2， 都是等腰直角三角形， ，点 在边 上，连接 ，请
判断 的度数及线 之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形 中， ，连接 ，求四边形
的面积．
21．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第117页的部
分内容．
把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点 、 、 在同一条直线上，利
用此图的面积表示式证明勾股定理．
(1)请结合图①，写出完整的证明过程；(2)如图②，等腰直角三角形 ， ， ， 是射线 上一点，以 为直角边在
边的右侧作 ，使 ， ．过点 ，作 于点 ， ，求 的长．
【经典例题八 勾股定理中的最值问题】
【例8】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在 中， ， ， ， 是
的平分线．若P，Q分别是 和 上的动点，则 的最小值是（ ）
A． B．4 C．5 D．
22．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，点 、 、 都在方格纸的格点上，方格纸中每个小正方形
的边长均为 ，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，并保留画图痕迹．(1)画出与 关于直线 对称的 ；
(2) 的面积为________；
(3)在直线 上标出点 ，使 最小，最小值 ________；
(4)在直线 上标出点 ，使点 到 、 的距离相等．
23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 、 是公路 同侧的两个村庄， 村到公路 的距离
， 村到公路 的距离 ，且 ．
(1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄 、 的距离相等，在图1中
用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）；
(2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄 、 的
距离之和最小．
①在图2中作出点 ；
②该垃圾中转站 建成后， ．
24．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）阅读并回答下列问题
【几何模型】
如图①， 、 是直线 同侧的两个定点，问题：在直线 上找一点 ，使 值最小．
方法：如图②，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于 点，则 为所求作的点．【模型应用】
如图③，若 、 两点在直线 同侧，分别过点 、 作 ， ， 为线段 上一动点，
连接 、 ．已知 ， ， ，设 ．
（1）用含 的代数式表示 的长为______．
（2）①请问点 满足什么条件时， 的值最小，并求出最小值；
②根据①中的规律和结论，直接写出代数式 的最小值为______．
【拓展应用】
由 可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，
点 是 轴上一点，则 可以看成点 与点 的距离， 可以看成点 与点
的距离，所以原代数式的值可以看成线段 与 长度之和，它的最小值就是 的最小值．（3）求代数式 的最小值．
【经典例题九 勾股数问题】
【例9】（2023八年级上·全国·专题练习）如果正整数 满足等式 ，那么正整数
叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知 的值为（ ）
A．67 B．34 C．98 D．73
25．（24-25八年级上·广东梅州·期中）我们知道，若一组勾股数为 ， ， ，则 ；若一组勾股
数为 ， ， ，则 ；若一组勾股数为 ， ， ，则 ；若一组勾股数为 ， ，
，则 ．若一组勾股数为 ， ， （ ），则 的值为（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的
三角都是直角三角形．若 的边分别是 ，则最大的正方形 的面积为 ．
27．（2025八年级下·全国·专题练习）我国历史上对勾股数的研究有非常辉煌的成就．据我国西汉时期算
书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦）．在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算
经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为“毕达哥拉斯定理”．
勾股定理 本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正
整数解（a，b，c）通常叫做勾股数，如： ，4， 、 ，12， ．
下面我们来探究一类特殊的勾股数，观察下面的表格并解答下列问题：
a b e
3 4 5
5 12 13
7 m 25
t x y
（1） ；
（2）若 为奇数，则 ， （用含 的代数式表示）；
【知识迁移】
（3） 、 、 是正整数）是一组勾股数吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（4）在 中，当 ， 时，斜边 的值为 ；
【知识应用】
（5）如图所示，有一张直角三角形的纸片 ，直角边 ， ，现将直角边 沿直线 折
叠，使它落在斜边 上与 重合，则 ．
【经典例题十 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】
【例10】（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）分别以 的三条边向外作三个正方形，连接 ，，若设 ， ， ，则 ， ， 之间的关系为( )
A． B．
C． D．
28．（24-25八年级上·河南·期末）如图，在 中， ，正方形 ， 的面积分
别为 和 ，则 的长度为（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在直线 上依次摆放着七个正方形．已知斜放置的三个正方
形的面积分别是 ，正放置的四个正方形的面积依次是 ， ， ， ，则 ．
30．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方
法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
(1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示
图中大正方形的面积．
方法1： _______；
方法2： ______．
根据以上信息，可以得到的等式是_______．
(2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两
种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系．
(3)在（2）的条件下，若 ， ，求图2中小正方形的面积．
【经典例题十一 勾股定理与网格问题】
【例11】（2024·江西九江·二模）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，有格点A，B，则线段
AB 的长度在数轴上对应的点位于数轴上的（ ）
A．①段 B．②段 C．③段 D．④段
31．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）下列各正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点
叫做格点，分别按下列要求画图（提醒：在答题卡上用黑笔画粗）．(1)在图1中，已有两个小正方形被涂黑，请将图中其余小正方形再涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一
个轴对称图形；
(2)在图2中，以格点为顶点画一个直角 ，使 的三边长都是无理数；
(3)在图3中画出 ，使 为等腰三角形，其中D为格点（只需在图画出一个），这样的等腰三
角形共可以画________个．
32．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的
顶点叫做格点．
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形，
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为 、2 、
33．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）如图，图1为 的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方
形边长为1．
(1)图1中正方形 的面积为______，边长为______．
(2)①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：
Ⅰ所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ所作的正方形的边长为 ．②请在图2中的数轴上标出表示实数 的点A，保留作图痕迹．
【经典例题十二 勾股定理与折叠问题】
【例12】（2024·安徽合肥·三模）如图，在 中， ，点D是 的中点，
将 沿 翻折得到 ，连接 ．则线段 的长等于（ ）
A． B． C． D．4
34．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在 中， ， ， ，D是边
上一动点，连接 ．将 沿着直线 翻折．使点B落到点 处，得到
(1)如图1，当点 在线段 的延长线上时，连接 ，求 的长．
(2)如图2，当 时，求 的度数．
35．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）折纸，操作简单，富有数学趣味，常常能为我们解决问题提供
思路和方法．
【动手操作】如图为一张三角形纸片 ， ，现将纸片按如图1折叠，翻折后点的对应点为 ，
折痕为 （点、分别在边 、 上且、不与端点重合）．(1)当 是以 为顶角的等腰三角形时，翻折后点 恰好落在 边上，且 ，用无刻度的
直尺和圆规在图2中作出此时的折痕 ．（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若 ， ，求 的长．
36．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，把长方形纸片 沿 折叠后，点D与点B重合，点
C落在点 的位置．
(1)若 ，则 ______ ， ______ ；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)若 ， ，求 的面积．
【经典例题十三 利用勾股定理证明线段平方关系】
【例13】（23-24八年级上·四川内江·期末）如图， 和 都是等腰直角三角形， 的顶点A
在 的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ）
① ②
③ ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个37．（2023·广东东莞·一模）如图，在四边形 中， ， 与 相交于H，且
．① ；② ；③ ；④ ．其中
真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
38．（23-24八年级上·陕西西安·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的
“垂美”四边形 ，对角线 交于点 ．若 ，则 ．
39．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在 中， ．
(1)求证： ；
(2)当 ， ， 时，求 的值．
【经典例题十四 用勾股定理构造图形解决问题】
【例14】（23-24八年级上·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代
数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至
处时（即水平距离 ），踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是
（ ）
A． B． C．6 D．
40．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从
门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ）
A． B． C． D．
41．（2022·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线
间的距离为 ，面积是25的正方形 的四个顶点分别在这四条直线上，那么 的值是 ．
42．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点 ， ， ，之间的位置关系有以下三种情形；
①如果 轴，则 ，
②如果 轴，则 ，
③如果 与 轴、 轴均不平行，如图，过点 作与 轴的平行线与过点 作与 轴的平行线相交于点 ，
则点 坐标为 ， ，由①得 ；由②得 ；根据勾股定理可得平面直角坐标系中
任意两点的距离公式 ．
小试牛刀：（1）若点 坐标为 ， 点坐标为 则 5 ；
（2）若点 坐标为 ， 点坐标为 则 ；
（3）若点 坐标为 ， 点坐标为 则 ；
【学以致用】若点 坐标为 ，点 坐标为 ，点P是x轴上的动点，当 取得最小值时，请
直接写出 的最小值为 ；
【挑战自我】已知 ，
根据数形结合，直接写出 的最小值 ； 的最大值 ；
1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在长方形 中，点 是 的中点， ，则
的长是（ ）A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在 中， ， 于点D，若 ，
，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，等腰 中， 垂直平分 ，
交 于点 ．若点 为 上一动点，点 为 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．13
4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，直角 中， ，点 是 三条角平分线的
交点， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ，下列关于 ， ， 之间的大
小关系，正确的是（ ）A． B． C． D．无法确定
5．（23-24八年级上·广东深圳·期末）在长方形 中， ， ， 是 边上一点，连接
，把 沿 翻折，点 恰好落在 边上的 处，延长 ，与 的平分线交于点 ，
交 于点 ，则 的长度为（ ）．
A． B． C．4 D．
6．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）在 中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为
．
7．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在 中， 平分 交 于点 ，
交 于点 ，已知 ，则 长为 ．
8．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，在 中， ， ，以斜边 和直角边
为直径的半圆面积分别记为 、 ，则 ．（结果保留π）9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数
学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设
直角三角形较长直角边长为 ，较短直角边长为 ，若 ，大正方形的面积为13，则小正方形的
面积为 ．
10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图， ，点 、 分别在边 、 上，且 ，
，点 、 分别在边 、 上，则 的最小值是 ．
11．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在 的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位．
(1)在图①中画出一个以 为一边，面积为12的三角形；
(2)在图②中画出一个以 为腰的等腰三角形．
12．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在 中， ， ， ， 是
的中点， 是 边上一点，连接 ， ．将 沿直线 翻折，点 恰好落在 上的点 处．(1)求 的长；
(2)求 的长．
13．（24-25九年级上·广东茂名·期末）实践与操作：如图，在 中，
(1)用尺规作 的垂直平分线，交 于点 （不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)连接 ，若 ， 时，试求 的长．
14．（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，
，动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以 的速度向点B移动，一直到达点
B为止，点Q以 的速度向点D移动．
(1) ， （用含t的代数式表示）；
(2)P，Q两点从出发点出发几秒时，四边形 的面积是 ？
(3)P，Q两点从出发点出发几秒时，点P与点Q的距离是 ？
15．（24-25八年级上·河南周口·期末）课本再现：
前面已经证明了：“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；反过来，其逆命题：
“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”成立吗？事实上，可以证明这个“线段垂直平分线”判定定理．
(1)定理证明
现已经写出了已知，求证，请你完成这一定理的证明过程：
已知：如图，线段 ， ，求证：点 在线段 的垂直平分线上．证明：
(2)解决问题
①已知：如图， 是 平分线上的一点， ， ，垂足分别为 ， ．求证：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） 是 的垂直平分线．
②已知 中，如图， ， ， 的垂直平分线分别交 于点 ， ，垂足分别为 ，
，若 ， ，请直接写出 的长 ．
