文档内容
专题01 平行四边形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）
【题型目录】
题型一 判断能否构成平行四边形
题型二 添一个条件成为平行四边形
题型三 数图形中平行四边形的个数
题型四 求与已知三点组成平行四边形的点个数
题型五 证明四边形是平行四边形
题型六 利用平行四边形的性质求解
题型七 利用平行四边形的性质证明
题型八 平行四边形性质的其他应用
题型九 利用平行四边形的判定与性质求解
题型十 利用平行四边形的性质与判定证明
题型十一 平行四边形的性质与判定的应用
题型十二 反证法
题型十三 利用三角形中位线求线段长
题型十四 利用三角形中位线求角度
题型十五 三角形中位线与三角形面积问题
题型十六 与三角形中位线有关的证明问题
题型十七 三角形中位线的实际应用
题型十八 平行四边形相关的综合问题
【知识梳理】
知识点1：平行四边形的性质（一）
1.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
2.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
知识点2：平行四边形的性质（二）
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
知识点3：平行四边形的判定
1. 与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点4：平行四边形的判定与性质
1.平行四边形的性质
3.边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
4.角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
2.平行四边形的判定
（1）与边有关的判定：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知识点5：三角形的中位线
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
注意：
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长
1 1
为原三角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点6：顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.【经典例题一 判断能否构成平行四边形】
【例1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则
下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
【变式训练】
1．（2023上·安徽合肥·八年级期末）如图，四边形 中， ， ，E、F是对角线
上的两点，如果再添加一个条件，使 ，则添加的条件不能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川巴中·八年级统考期末）在四边形 中，对角线 、 相交于点 ，在下列条件
中，① ， ，② ， ；③ ， ；④ ， ；
⑤ ， ，能够判定四边形 是平行四边形有 （填序号）．
3．（2024·山东淄博·一模）学习了《平行四边形》一章以后，小明根据学习平行四边形的经验，对平行四
边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小明探究过程，请补充完整：
(1)在四边形 中，对角线 与 相交于点 ．若 ，补充下列条件中的一个，能判断四边
形 是平行四边形的是_________（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A） （B）
(2)将（1）中的命题用文字语言表述为：①命题1_____________________________________________；
②画出图形，并写出命题1的已知和求证；
(3)小明进一步探究发现：
若一个四边形 的三个顶点 的位置如图所示，且这个四边形满足 ， ，但四
边形 不是平行四边形，请画出符合题意的四边形 （不要求尺规）．进而小明发现：命题2“一
组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个假命题．
【经典例题二 添一个条件成为平行四边形】
【例2】（2023下·广西南宁·八年级统考期中）如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点O，且
，添加下列条件后仍无法判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·广西南宁·八年级统考期中）如图，四边形 中，对角线 ， 相交于点O，且
，添加下列条件后仍无法判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·江苏·八年级校联考期中）在四边形 中， ，给出下列4组条件：① ，② ，③ ，④ ．其中，不能得到“四边形 是平行四边形”的条件是
．（只填序号）
3．（2023下·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，在平行四边形 中，点 ， 是对
角线 上两个不同点．连接 ， ， ， ，添加一个条件使得四边形 是平行四边形．
(1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上．
① ， ， 、 为垂足；② ；③ ；④ ．符合条件的选项有：
_____________．
(2)选择其中一个条件，写出证明过程：
我选择________，
证明过程如下：
【经典例题三 数图形中平行四边形的个数】
【例3】（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行
四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
【变式训练】
1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边
形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）A．9个 B．8个 C．6个 D．4个
2．（2019下·重庆江津·八年级阶段练习）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
以这些点为顶点的平行四边形有 个．
3．（2022下·八年级课时练习）已知 （如图），将它沿 方向平移，平移的距离为 ．
(1)作出经平移后所得的图形 ．
(2)写出 与 构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）．
【经典例题四 求与已知三点组成平行四边形的点个数】
【例4】（2023下·贵州黔东南·八年级校联考期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直
角坐标系 中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是 ，点A的坐标是 ，则点B的坐标是
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或 D． 或 或
【变式训练】
1．（2023下·贵州黔东南·八年级校联考期中）以点O、A、B、C为顶点的平行四边形放置在平面直角坐标系 中，其中点O为坐标原点．若点C的坐标是 ，点A的坐标是 ，则点B的坐标是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或 D． 或 或
2．（2023下·广东湛江·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、
B、C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，使点A、B、C的坐标分别为 、 、
，在平面直角坐标系中找一点D，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，请写出
所有符合条件的点D的坐标： ．
3．（2023下·安徽淮北·八年级校联考期末）点A，B，C在坐标网格中的位置如图所示，已知点A的坐标
为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
(1)求 的面积；
(2)若点D也在坐标网格中，且以点A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，写出所有符合条件的点D
的坐标．【经典例题五 证明四边形是平行四边形】
【例5】（2022下·陕西西安·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形
【变式训练】
1．（2022下·陕西西安·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，一组对角的角平分线平行的四边形是平行四边形
2．（2023下·山东济宁·八年级统考期末）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1， 及 边的中点 ，求作：平行四边形 ．
小静的作法如下：
在数学课上，老师提出如下问题：
①连接 并延长，在延长线上截取 ；
②连接 ．所以四边形 就是所求作的平行四边形．
老师说：“小静的作法正确”．
请回答：小静的作法正确的理由是 ．
3．（2024上·吉林·八年级校考期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ．(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
【经典例题六 利用平行四边形的性质求解】
【例6】（2023上·江苏南通·九年级校联考期中）如图，在平行四边形 中， ，将平行四边
形 绕顶点B顺时针旋转到平行四边形 ，当 首次经过顶点C时，旋转角为( )度．
A．30 B．40 C．45 D．50
【变式训练】
1．（2023上·四川成都·九年级统考期中）如图所示，在 中， 垂直平分 于E，其中
，则 的对角线 的长为（ ）．
A．8 B．6 C． D．
2．（2023上·山东威海·九年级统考期末）如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，
交边 于 ，连接 ，若 ， ，则 °．3．（2023下·广东深圳·八年级统考期末）如图，在平行四边形纸片 中， ，将纸片沿对角
线 对折，点B的对应点 恰好落在 的延长线上， 与 边交于点E，此时 恰为等边三角
形．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)求对折后重叠部分的面积．
【经典例题七 利用平行四边形的性质证明】
【例7】（2023下·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图， 的对角线 、 交于点O， 平
分 交 于点E，且 ， ，连接 ，下列结论：① ；②
；③ ；成立的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练】
1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，在 中， 的平分线交 于点E，交 的
延长线于点G， 的平分线交 于点F，交 的延长线于点H， 与 相交于点O，连接 ，
则下列结论： ； ； ； ； ．正确的个数是
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·江苏泰州·统考一模）如图，在 中， ， ， 、 分别是边 、 上
一点，且 ，将 沿 折叠，使点 与点 重合，则 的长为 ．
3．（2023下·浙江·八年级专题练习）如图， 中，把 沿 翻折得到 ， 相交
于点 ．
(1)求证： ；
(2)连接 交 于点 ，连接 ，在不添加辅助线的条件下请直接写出图中所有等腰三角形．
【经典例题八 平行四边形性质的其他应用】
【例8】（2021·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平行四边形 中，将 沿着 所在的直线翻
折得到 ， 交 于点 ，连接 ，若 ， ， ，则 的长是
（ ）A．1 B． C． D．
【变式训练】
1．（2022下·湖北武汉·八年级校联考期中）如图， 中，点O是对角线 、 的交点，过点O
的直线分别交 、 于点M、N，若 的面积为3， 的面积为5，则 的面积是
（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
2．（2021·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点O是 的对称中心，点E为 边的中
点，点F为 边上的点，且 ．若 分别表示 和 的面积，则 与 之间的等
量关系是 ．
3．（2023下·河北沧州·八年级校考阶段练习）如图： 的对角线交于点O．(1)基础训练：
经过点O且与 、 分别相交于E、F．求证：
(2)拓展变式
若将条件改为 经过点O且与 、 的延长线分别相交于E、F，第（1）问的结论是否成立，请按题
意画出图形，标注字母，并给予证明．
(3)观察归纳
的对角线交于点O，直线 是经过点O的任意一条直线，将 的面积分为两部分，设四边
形 的面积为 ，四边形 的面积为 ，则 ______ ．
(4)实践操作
你能否只画一条直线，将下图中两个平行四边形的面积同时平分，若能，请画出这条直线（用虚线画出辅
助线）；若不能，请说明理由．
【经典例题九 利用平行四边形的判定与性质求解】
【例9】（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ，点P在
上，点Q在 上，且 ，连结 ，则 的最小值为（ ）A．22 B．24 C．25 D．26
【变式训练】
1．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在 中， ， ， ， ，
， 都是等边三角形，下列结论中：（1） ；（2）四边形 是平行四边形；
（3） ；（4） ．错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）如图，在 中，点E，F分别是 ， 边的中点，延长
至点 ，使 ，以 ， 为边向 外构造 ，连接 交 于点 ，连接
．若 ， ，则 的长为 ．
3．（2022上·江苏·八年级专题练习）如图1，等边三角形 的边长为 ，动点D和动点E同时出发，
分别以 的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间
为 （ ）， 与 相交于点F．(1)在运动过程中， 与 始终相等吗？请说明理由
(2)连接 ，求t为何值时， ；
(3)如图2，若 于点M，点P为 上的点，且使 最短．当 时， 的最小值为
多少？
【经典例题十 利用平行四边形的性质与判定证明】
【例10】（2023·江苏·八年级假期作业）阅读下面的材料：
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在 中， ， 分别是边 ， 的中点．
求证： ，且 ．
证明：延长 到点 ，使 ，连接 ，…甲、乙两人后续证明的部分思路如下：
甲：如图1，先证明 ，再推理得出四边形 是平行四边形．
乙：如图2，连接 ， ．先后证明四边形 ， 分别是平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．甲思路正确，乙思路错误 B．甲思路错误，乙思路正确
C．甲、乙两人思路都正确 D．甲、乙两人思路都错误
【变式训练】
1．（2023下·八年级单元测试）如图， 是 的边 上的点， 是 中点，连接 并延长交
于点 ，连接 与 相交于点 ，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
2．（2023下·江苏常州·七年级统考期末）如图，四边形纸片 ， ， ．将纸片折叠，
点A、B分别落在G、H处， 为折痕， 交 于点K．若 ，则 °．3．（2023·江苏泰州·统考二模）证明：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图 ， 、 分别是 的边 、 中点，求证： ， ．
下面是某学习小组探究证明思路时发现的三种添加辅助线的方法，请选择其中一种，完成证明．
方法 ：延长 至点 ，使 ，连接 ；
方法 ：过点 作 交 的延长线于 ；
方法 ：过 作 交 于 ，过A作 交 的延长线于点 ．
应用：如图 ， 、 分别是 的边 、 中点，请用无刻度的直尺和圆规作 的角平分线
（要求：直尺和圆规分别只使用一次，并保留作图痕迹）．
【经典例题十一 平行四边形的性质与判定的应用】
【例11】（2024上·河北石家庄·八年级石家庄市第四十中学校考期末）如图，已知 与 关于点
O成中心对称，过点O任作直线 分别交 ， 于点M，N，下列结论：
（1）点M和点N，点B和点D是关于点O的两对对称点；
（2）直线 必经过点O；
（3）四边形 是中心对称图形；
（4）四边形 和四边形 的面积相等；
（5） 和 关于点O成中心对称．
其中，正确的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练】
1．（2014下·黑龙江大庆·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中，过对角线 上一点 ，作EF
BC，HG AB，若四边形 和四边形 的面积分别为 和 ，则 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（2023下·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系 中，对于点 ，给出如下
定义：当点 满足 时，称点Q是点P的等积点．已知点 ．（1）在 ， ， 中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是点P的等积点，点C在x正半轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C
的坐标为 ．
3．（2023下·福建漳州·八年级统考期末）如图，在 中， ， 为 边上一点（ ），
过点 ， 分别作射线 的垂线，垂足分别为点 ， ．点 在 的延长线上，且 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， 的周长为24，求 的长．
【经典例题十二 反证法】
【例12】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，在 中， ， 平分 交
于点D， 平分 交 于点E， ， 交于点F．则下列说法正确的有（ ）
① ；② ；③若 ，则 ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·九年级校联考期中）如图，将 绕点C逆时针旋转 度后得到 ，点A，
B的对应点分别为点D，E，连接 与 交于点F，点A，B，E，F在同直一线上，则下列结
论一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
2．（2024上·河北保定·八年级统考期末）如图，在 中， ， 是 的平分线， 是
边上的中线．用反证法说明点 与点 不重合 ．
3．（2023下·浙江杭州·七年级校考阶段练习）如图，已知直线 ， ，E、F在线
段 上，且满足 ， 平分 ，
．
(1) 与 是否平行？说明理由；
(2)求 的度数；
(3)若平行移动线段 ，是否存在 ？若存在，求出 的度数；若不存在，请说明理由．
【经典例题十三 利用三角形中位线求线段长】
【例13】（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图， 中， ，
分别为 的中点， 平分 ，交 于点F，则 的长是（）A． B．1 C．2 D．
【变式训练】
1．（2023上·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）如图，在 中，
，平面上有一点 ，连接 ， ，且 ，取 的中点 ．连接 ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏南通·九年级校考期末）如图，矩形 中， ，E是 边上的一定点，
P是 边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是 的中点，记 的长度为a，在点P
运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是 ．
3．（2024上·江苏南京·八年级校联考期中）如图，在 中， 是高， 是中线，且 ，
是 的中点．(1)求证 ；
(2)若 ， ，则 的长为 ．
【经典例题十四 利用三角形中位线求角度】
【例14】（2023下·江苏无锡·八年级统考期中）如图，将 沿它的中位线 折叠后，点A落在点
处，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023·江苏盐城·统考一模）如图， 分别是 三边的中点，若 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．2．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，E，F，G分别是AB，DC，AC
的中点．若 ， ，则 的度数为 ．
3．（2023下·江苏·八年级专题练习）如图所示，在 中， ，D，E分别在 ， 上，
， ， 的中点分别是M，N，直线 分别交 ， 于P，Q，求 的度数．
【经典例题十五 三角形中位线与三角形面积问题】
【例15】（2023上·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 于点
D，且 ，则 的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【变式训练】
1．（2022下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，已知D、E分别是 的边 、 的中点， 是
的中线，连接 、 、 ，若 的面积为40，则阴影部分 的面积为（ ）A．10 B．5 C．8 D．4
2．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）如图， 的面积是16，点D，E，F，G分别是 ， ，
， 的中点，则四边形 的面积是 ．
3．（2022下·江西南昌·八年级校考期中）如图1所示：在 中，点D、E分别是AB，AC的中点，
(1)直接写出DE与BC之间的关系：________________．理由：____________________________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有______个平行四边形，求证： ；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形ABCD的中点，问题1，图中是否有平行四边形，有请指出并证明
你所指出的四边形是平行四边形．问题2、猜想四边形ABCD和四边形PQRS之间的面积关系．并证明你
的猜想．
【经典例题十六 与三角形中位线有关的证明问题】
【例16】（2023上·山东·九年级专题练习）如图，四边形 中， ， ， ，， ． 是 的中点，则 的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【变式训练】
1．（2021上·广东佛山·九年级统考阶段练习）如图，点O为正方形 的中心， 平分 交
于点E，延长 到点F，使 ，连结 交 的延长线于点H，连结 交 于点G，连结 ．
则以下四个结论中：① ，② ，③ ，④ ．正确结论的个数为（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023上·上海普陀·九年级校考期中）如图，正方形 的边长为6，点 在边 上，将 沿
直线 翻折，使得点 落在同一平面内的点 处，联结 并延长交正方形 一边于点 ．当
时， 的长为 ．
3．（2024上·吉林·八年级校考期末）如图，点E为平行四边形 的边 上的一点，连接 并延长，
使 ，连接 并延长，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ．(1)若 ， ，求 的度数；
(2)求证：四边形 为平行四边形；
(3)连接 ，交 于点O，若 ， ，直接写出 的长度．
【经典例题十七 三角形中位线的实际应用】
【例17】（2023下·河北衡水·九年级校考期中）数学课上，王老师要求同学们用一张矩形纸片折出一个菱
形，甲、乙的做法如图所示，则正确的方案是（ ）
甲：先将矩形 分别沿 进行对折再展开， 乙：先将矩形 沿 进行折叠，使点A与
得到两组对边中点，再连接 ， ，则四 点C重合，再展开，连接 ， ，则四边形
边形 是菱形． 是菱形．
A．甲、乙都是 B．甲、乙都不是 C．只有甲才是 D．只有乙才是
【变式训练】
1．（2023下·山西大同·八年级大同一中校考期中）如图，为了测量池塘边 两地之间的距离，在 的
同侧取一点 ，连接 并延长至点 ，连接 并延长至点 ，使得 ， ，若测得
，则 间的距离是（ ）A． B． C． D．
2．（2023下·浙江温州·八年级校考期中）如图1是雨伞的结构示意图． 是伞柄， ， ， 是伞
骨．已知点A，C分别是 ， 的中点． ．点B，D在 上滑动时，可将雨伞打开或收
拢．当 与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全
打开时， ；再将雨伞收拢到如图3，此时 ，且点 到 的距离恰好等于图2中
的长．则伞骨 的长为 ，设图2中能罩住的水平面面积是 ，图3中能罩住的水平面
面积是 ，则 ．
3．（2022下·云南保山·八年级统考期中）[教材呈现]如图是人教版八年级下册数学教材P48页的部分内容：
如图， ， 分别是 的边 ， 的中点，求证： ，且 ．[定理证明]乐乐给出如下部分证明：
证明：如图1，延长 至点 ，使得 ，连接 ……
(1)请你根据乐乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
(2)[定理应用]如图2，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， ，
分别是 ， ， 的中点，求 的长：
(3)如图3，在四边形 中，点 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，连接 ， ，
， ．求证：四边形 是平行四边形．
【经典例题十八 平行四边形相关的综合问题】
【例18】（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）[阅读理解]
“倍长中线”是初中数学一种重要的思想方法．如图1，在 中， 是 边上的中线，若延长
至E，使 ，连接 ，可根据 证明 ，则
．[问题提出]
(1)如图2，平行四边形 中，点E为 边的中点，在 边上找一点F，使得 （要求
∶用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
(2)按照你（1）中的作图过程证明 ．
【变式训练】
1．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在 中，过点 作 ， 是 的中点，
连接 并延长，交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
2．（2023下·江苏泰州·八年级统考期中）如图1，在菱形 中， ， ，点E是 边
上一动点，点F是 边上一动点．(1)① ② ③
从上述三个选项中选一个作为条件，另一个作为结论，得到一个真命题，并证明你选择的条件是
_________，结论是_________．（填序号）
(2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边 上找一点G，在边 上找一点H，使得四边形 是平
行四边形．（保留痕迹，不写作法）
3．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点 ，
交y轴于点 ，直线 经过点B且交x轴正半轴于点C，已知 ．
(1)点C的坐标是______，直线 的表达式是_____．
(2)若点G为线段 上一点，且满足 ，点M为直线 上一动点，在x轴上是否存在点N，使
以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
(3)点E为线段 中点，点D为y轴上一动点，以 为直角边作等腰直角△EDF，当点F落在直线 上
时，求点D的坐标．
【拓展培优】
1．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ， ． 平
分 ，交边 于点 ，连接 ，若 ，则 的长为（ ）A．10 B．6 C． D．
2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在 中， 的角平分线
交于边 上一点 ，且 ，线段 的长为（ ）
A． B． C． D．3
3．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， 平分 交于点 ，点 为边 的中
点，已知 ，那么 的周长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）如图，在 中， ， ，点E是 边上的中点，
将 沿 翻折得 ，连接 ，A、G、E在同一直线上，则点G到 的距离为（ ）A． B． C． D．
5．（2024上·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）如图， 是 的边 上的点， 是
中点，连接 并延长交 点 ，连接 与 相交于点 ，若 ， ，则阴
影部分的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
6．（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ， ，以点C为圆心，
以任意长为半径作弧，分别交 于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两弧在 内交于点P，连接 并延长交 于点Q，连接 ．若 时，则 与 的周
长之差为 ．
7．（2024下·八年级课时练习）如图，在等边 中， ，射线 ，点 从点 出发沿射
线 以 的速度运动，点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，如果点 同时出发，设
运动时间为 ，当 时，以 为顶点的四边形是平行四边形．8．（2024上·山东青岛·九年级统考期末）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，垂足
为点 ，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ．若 ， ，则
四边形 的面积为 ．
9．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在等腰梯形 中，AB平行CD，对角线 于点O，
，则 ．
10．（2024上·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）如图，在 中， ，
，点 ， 分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，点 为 的中点，点 为
的中点，连接 ，则 的最大值与最小值的差为 .11．（2023上·贵州贵阳·九年级校考期中）已知如图，在平行四边形 中， 于E，
， ，平行四边形 的周长为28，求平行四边形 的面积．
12．（2024上·湖南长沙·八年级校考期末）如图，在平行四边形 中，点E在 边上，且 ，
F为线段 上一点，且 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ；
(3)若 ， ， ，求 ．
13．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期末）【问题初探】（1）小学时候，我们学习过“平行四边形”的概
念，如图1当 ， 时，四边形 是平行四边形，某数学兴趣小组同学发现，当四边
形 满足 ， 时，可以推出 也就证明了这个四边形是一个平行四边形了，
他们的做法如下：如图2，连接 ，证明 ，再利用全等三角形的性质得出证明
的条件，请写出数学小组同学给出的 的证明过程；【类比分析】（2）老师给出这样一个题目：如图3，已知 ，D是射线 延长线上的点．
，你能在此图基础上构造出一等腰直角三角形吗？
数学兴趣小组同学给出如下方案：
如图4，过点A作 ，并截取 ，连接 ，则 为等腰直角三角形，请你将
数学小组同学方案的证明过程写出来
【学以致用】（3）紧接着，老师在上面题目上做了修改；如图5，已知 ，D是射线 延长线
上的点， ，E是射线 延长线上的一点，且 ，线段 与 的延长线相交于点P，
的度数是一个固定的值吗？请说明理由．
14．（2024上·山东济南·八年级统考期末）综合与实践
问题背景：几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解
之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其
转化为平行四边形来求呢?
问题解决：下面是两位同学的转化方法：
方法1：如图1，连接四边形 的对角线 ， ，分别过四边形 的四个顶点作对角线的平行
线，所作四条线相交形成四边形 ，易证四边形 是平行四边形．
（1）请直接写出 和 之间的数量关系： ．
方法2：如图2， 取四边形 四边的中点E， F， G， H， 连接 ， ， ， ，
（2）请直接写出 与 之间数量的关系： ．
（3）求证：四边形 是平行四边形；实践应用：
如图3，某村有一个四边形池塘， 它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘，
想使池塘的面积扩大一倍，又想保持大树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状．
（4）请问能否实现这一设想?若能，请你画出你设计的图形； 若不能，请说明理由．
（5）已知， 在四边形池塘 中， 对角线AC与BD交于点O． ， ，
，则求四边形池塘 的面积．
15．（2024上·山东威海·八年级统考期末）已知，平行四边形 中，一动点 在 边上，以每秒
的速度从点 向点 运动．
(1)如图①，运动过程中，若 平分 ，且满足 ，求 的度数；
(2)如图②，在（1）问的条件下，连接 并延长，与 的延长线交于点 ，连接 ，若 ，求
的面积；
(3)如图③，另一动点 在 边上，以每秒 的速度从点 出发，在 间往返运动，两个点同时出发，
当点 到达点 时停止运动（同时 点也停止），若 ，则 为何值时，以 ， ， ， 四点
组成的四边形是平行四边形．
