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微专题10导数解答题之零点问题
【秒杀总结】
1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函
数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴（或直线
）在某区间上的交点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出
其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
【典型例题】
例1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考期末）已知函数 .
(1)若 存在极值，求 的取值范围；
(2)当 时，讨论函数 的零点情况.
例2．（2023春·全国·高三竞赛）已知函数 ．设 为
的导函数．
(1)证明： 有且仅有一个极值点；
(2)判断 的所有零点之和与 的大小关系，并说明理由．
例3．（2023秋·重庆·高三统考学业考试）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论函数 的零点个数.例4．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知函数 是 的导
函数．
(1)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若 ，判断关于 的方程 在 内实数解的个数，
并说明理由．
例5．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 的图象与函数 的图象仅有一个交点M，求证：曲线 与
在点M处有相同的切线，且 ．
例6．（2023春·广东江门·高三校联考开学考试）已知函数 ， 为其
导函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实根，求实数 的取值范围.
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知 是函数 的极值点.
(1)求 ；
(2)证明： 有两个零点，且其中一个零点 ；
(3)证明： 的所有零点都大于 .例8．（2023秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末）已知函数 ．
(1)求 的导函数 的单调区间；
(2)若方程 （ ）有三个实数根 ，且 ，求实数 a的取
值范围．
例9．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）已知函数 和
，
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求 的取值范围；
(3)若 与 有相同的最小值．
①求出 ；
②证明：存在实数 ，使得 和 共有三个不同的根 、 、 ，
且 、 、 依次成等差数列．
【过关测试】
1．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数 ．
(1)若 时， ，求实数a的取值范围；
(2)讨论 的零点个数．2．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若函数 恰有两个不同的零点，求a的取值范围.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，函数 ， .
(1)若 ，求函数 的极小值；
(2)若函数 存在唯一的零点，求 的取值范围.
4．（2023秋·河南信阳·高三信阳高中校考期末）已知函数
，其中 是自然对数的底数.
(1)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
(2)设函数 ，证明：存在唯一的正实数 ，使得 恰好
有两个零点.
5．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知函数 .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围.6．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数 ，
.
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 有且只有两个零点，求实数 的取值范围.
7．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 在区间 内的极大值；
(2)令函数 ，当 时，证明： 在区间 内有且仅有两个零点．
8．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知函数 ， ，其中a
为实数.
(1)若函数 ， 的图象在 处的切线重合，求a的值；
(2)若 ，设函数 的极值点为 .求证：①函数 有两个零点 ，
（ ）；② .
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的最小值；
(2)设 ， ，证明： 有且仅有 个零点.（参考数据：
， .）10．（2023春·云南·高三校联考开学考试）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)讨论 在区间 上的水平切线的条数．
11．（2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末）已知函数 有两
个不同的零点x，x.
1 2
(1)当 时，求证： ；
(2)求实数a的取值范围；
12．（2023秋·湖北武汉·高三统考期末）已知函数 与 （ ，且
）
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 ， 恰有两个零点，求 的取值范围
13．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知函数 ，
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)设 ，证明：曲线 与曲线 有两条公切线.14．（2023·全国·模拟预测）已知函数 （e是自然对数的底数）.
(1)若 （ ）是函数 的两个零点，证明： ；
(2)当 时，若对于 ，曲线C： 与曲线 都有唯一的公共点，求
实数m的取值范围.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若关于x的方程 在 无实数解，求实数a的取值范围.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论函数 在 上的单调性；
(2)若函数 的图象与 的图象有三个不同的交点，求实数a的取值范围.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 是自然对数的底数）．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)当 时，若对于 ，曲线C： 与曲线 都有唯一的公共点，求
实数 的取值范围．
