文档内容
微专题12 导数解答题之证明不等式问题
【秒杀总结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
【典型例题】
例1．（河南省南阳市2022-2023学年高三上学期期中质量评估理科数学试题）已知函数 ，
.
(1)若 恒成立，求实数m的取值范围；
(2)求证：当 时， .
【解析】
(1)令 ，
则
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取得最大值 ，
若 恒成立，则 ，即 .
(2)证明：由（1）可知 恒成立，即 ，
要证 ，只需证明 成立即可.
设 ，则 ，设 ，
则 ，易得 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，因为 ，所以 ，所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ；当 时， .
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 ，
因此，当 时， ，
故当 时， .
例2．（2023届高三数学一轮复习）已知函数 ，且函数 与 有相同的极
值点.
（1）求实数 的值；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证： .
【解析】（1） 的定义域为 ， ，由 得 ，
易知函数 在 单调递增，在 单调递减，故函数 的极大值点为 ，
，依题意有 ，解得 ，经验证符合题意，故 .
（2）由（1）知，函数 在 单调递增，在 单调递减，
又 ，且 ，
当 时， ， .① 当 ，即 时，对 ，不等式 恒成立，即为 恒
成立，
则 ，
，又 ，
此时 的取值范围为 ；
② 当 ，即 时，对 ，不等式 恒成立，即为 恒
成立，
则 ，
所以 ，又 ，
此时 的取值范围为 .
综上，实数 的取值范围为 .
（3）证明：所证不等式即为 ，
下证： ，即证 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
易知函数 在 上单调递减，且 ，
故存在唯一的 ，使得 ，即 ， ，
且当 时， ， 即 单调递增；
当 时， ， 即 单调递减，
，
在 单调递减，又 时， ，故 ，即 ；
再证： ，即证 在 上恒成立，
设 ， ，
在 单调递增，则 ，即 ，
故 ，
综上， .
例3．（云南省昆明市2023届高三摸底考试数学试题）已知函数 ， ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： ．
【解析】(1) ， ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 .
即 ．
(2)设 ，
则
．
由（1）知 ，又 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，故 ，
所以， ， ．
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 ，判断函数 的单调性；
(2)证明： .【解析】（1）因为 ，
所以 ,
因为 ，所以在 上 ，
由 ，解得 .
当 时， ，故 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数.
（2）证明：由（1）知，当 时，
在 上为增函数，在 上为减函数.
因为 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
所以 .
设 ，
所以 在 上为减函数.
又 ，则 ，所以 ，
所以 .
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)若 是 的极值点，求a；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）依题意， 的定义域为 ，由 ，得 ，
因为 是 的极值点，所以 ，即 ，即
当 1时， ，
当 时， ，所以 在 单调递增；
当 时， ，所以 在 单调递减；
所以f（x）在 处取得极大值，符合题意
因此
（2）当 时，要证 ，只需证 ，
即证 ，等价于证明
令 ，则
令 ，则 ，所以 对 恒成立，
故 在 单调递减，
又 ，所以 ，
所以 在 上恰有一个零点 ，且 ．
当 时， ，即 ，所以 在 单调递增；
当 时， ，即 ，所以 在 单调递减，
所以 ．
又因为 ，即 ，即 ，即 ，即 ，
所以所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
因此 ，即 ，圆
例6．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）设 ， ，
．
(1)求 的单调区间；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1） ，
∵ ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）设 ，
若证 成立，即证 ．
，
，
当 时， ，所以 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 恒成立．
当 时， ，令 ，
则 对称轴为直线 ，
所以当 时，函数 单调递增，
当 时，取最小值 ，
所以 ，所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 恒成立，
综上：当 时， 恒成立．
即 ．
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，证明： ．
【解析】(1)由题可知， ， ．
若 ， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，令 ，解得 或 （舍），
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
若 ，当 ，即 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增；当 时，令 ，解得 或 ，所以 在 上单调递增，在
上单调递减，在 上单调递增；
(2)证明：若 ，要证 ，即证 ，即证 ．
令函数 ，则 ．
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
令函数 ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
因为 ，所以 ，
即 ，从而 得证．
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .
【解析】(1)由题意可得 .由 ，得 ；由 ，得 .
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 .
(2)证明：要证 ，即证 ，
即证 .
设 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
设 ，则 .
由（1）可知当 时， .
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
因为 与 等号成立的条件不同，
所以 ，即 .
【过关测试】
1．（2023秋·山东德州·高三统考期末）设函数 ， 其中 为
自然对数的底数．
(1)当 时，判断函数 的单调性；(2)若直线 是函数 的切线，求实数 的值；
(3)当 时，证明： ．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以函数 在区间 上单调递增，即函数 在区间 上单调递增，
又因为 ，所以 ， ， 在 上为减函数，
， ， 在 上为增函数.
（2）由（1）得
设切点为 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以
设 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
所以
因为方程 仅有一解 ，所以 ；
（3）因为 ，
设 ，则有所以 在 单调递增．
因为 ，
所以存在 ，使得 ，
当 时， ， ， 单调递减，
当 时， ， ， 单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
2．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）已知函数 ．
(1)讨论函数的单调性及极值，并判断方程 的实根个数；
(2)证明： ．
【解析】（1） ，函数定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，无极值；
当 时， 时， ， 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，有极小值 ．
方程 可变形为 ，即 ，
当 时， ，有 ， 在 上单调递增，则有 ，
函数 和 的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以 在 上有唯一实根，故
原方程有唯一实根．
（2）证明：由 知，所要证的不等式等价于 ，等价于 ．（*）
令 ，则不等式（*）等价于 （**）．
构造函数 ，求导，得 ．
当 时， ，函数 是减函数；
当 时， ，函数 是增函数．
所以 ．即（**）成立．故原不等式成立．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)证明：当 时，都有 .
【解析】（1） ，令 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）要证明 ，即证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
，所以 ，
要证 ，
因为 时， ， ，此时不等式 成立，
当 时， ， ，
只需再证 时， 即可.
令 ，
，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 时， ；
综上所述，当 时，都有 .
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)讨论 在区间 上的单调性；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）因为函数 ， ，所以 ， ，
由 ，得 ，
当 ，即 时， ， 在区间 上单调递减；
当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；综上可得，当 时， 在区间 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
（2）当 时， ，要证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，得证．
5．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知函数 ．
(1)若 在 上恒成立，求实数a的值；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）当 时， ，当 时， ，不符合题意；
当 时， ，又 时， ，不符合题意；
当 时， ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，所以函数 在
上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，
令 ，
则 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在
上单调递减，所以 ，又因为 ，所以 .
（2）由(1)知： 时， 在 上恒成立，即 ，所以当 时， ，即 ，又当 时， ，
所以 ，所以要证 ，只需证 ，即证
，令 ，则有 ，又 ，所以
，所以 在 上恒成立，即 在 上单调递减， ，
所以当 时， .
6．（2023秋·全国·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)当 时，证明 恒成立.
【解析】（1） ，且该函数的定义域为 ， .
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
因为 ，所以 时不符合题意；
②当 时， ，显然成立；
③当 时，由 解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以， ，即 ，
所以， ，解得 .
综上所述， .
（2）证明：由题意可知，函数 的定义域为 ，先证明 ，令 ，
则 ，
由（1）可知 ，所以， ，
设 ，其中 ，则 且 不恒为零，
所以， 在 上为增函数，故当 时， ，
所以， ，
因为 ，故 ，故原不等式得证.
7．（2023·四川成都·统考一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)当 时，证明： ．
【解析】（1）记 ．
则 恒成立，即 ．
当 ， 当 ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
．解得 ．
实数 的取值范围是 ；
（2）记 ．在 上单调递增．
令 ，
则 ，所以 即 在 上单调递增．
由 ，知 ．
．即 ，
当 单调递减；当 单调递增．
，
由（*）式，可得 ．
代入 式，得 ．
由（1）知，当 时有 ，
故 ． ．
由 ．
故 ，即 ，原不等式得证．
8．（2023·四川德阳·统考一模）已知函数 ， ．
(1)判断函数 的单调性；
(2)证明： ．
【解析】（1）函数在给定区间内单调递减，理由如下：
因为函数 ， ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递减，
故 ，即 ，
所以函数 在区间 上单调递减；
（2） ， ，
先证 时， ，即 ，
设 ，则 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ；
再证 时， ，即 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ；
综上， .
9．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 （其中 是自然对数底数）.
(1)求 的最小值；
(2)若过点 可作曲线 的两条切线，求证： .（参考数据：
）
【解析】（1）函数 定义域为 ，所以 在 上单调递增，且 ，
所以当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，.
所以 .
（2）设切点为 ，则 ，
在 处的切线为 ，
由于切线过点 ，所以 ，
而由（1）， 在 上单调递增，不同的 值对应的切线斜率不同
设 ，所以过点 可作曲线 的两条切线当且仅当关于 的方程
有两个实根.
，
①当 时， 在 上单调递减， 至多有一个实根，不合题意；
②当 时，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减.
而 时， 时， ，
所以当且仅当 时， 有两个实根，即当且仅当 时，过点 可作曲线 的两条切线.
只需证 时， .
设 ，则 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以 ，即 .（*）
设 ，只需证 .
1）当 时，由 ，
.
设 ，则
，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减.
而 ，
所以 ，则 .
2）当 时， ，
设 ，则 ，，
所以 在 上单调递增， ，
所以 在 上单调递增， ，即 ，
所以 在 上单调递增， .
综上得：原不等式成立.
10．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)证明： ．
【解析】（1） ，
①当 时， ，在 上单调递减；
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， .
③当 时，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， .
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.（2） ,即为 ，即 ，
令 ，可得 ，即证明 .
设 ，则 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
所以 ，即 .
所以 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)判断0是否为 的极小值点，并说明理由；
(2)证明： .
【解析】（1）0是 的极小值点，理由如下：
定义域为 ，
，其中 ，
当 时， ，故 ，
当 时， ，故 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故0是 的极小值点；（2） 等价于 ，
即 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 ，
故当 时， ，当 时， ，
则 恒成立，
故 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)当 时，证明： .
【解析】（1） 在 上单调递增，所以 恒成立，
令 恒成立，
当 时， 恒成立.
当 时 ，所以h（x）在 上单调递增，
所以 时， ，故不符合题意.
当 时，令 ，解得 ，当 时， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以
解得 .
综上， 的取值范围是 .
（2）证明：当 时， ，
要证 ，即证 ，
只需证 ，
即证
令 ，令 ，
当 时， ，当 时， ，
所以
，
故存在 使得
所以 ，
即 在 时递增，在 时递减.
令 ，
则二次函数 关于直线 对称，函数图象开口向下，且 ，
故当 时， ，又∴ ，
又 ，所以函数在 上存在唯一零点 ，
使得 .
,当且仅当 时等号成立.
令 ，则 ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立
因为取等号的条件不一致，故 .
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
(1)若 存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若 是 的零点，求证：
【解析】（1）令 ，变形得 ，
令 ，问题转化成 与 有交点，
令 ，解得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
又当 时， ，
，
故实数a的取值范围为 .
（2）由题意可得， ，得 ，
要证 ，即证 ，
即证 ，
先证 ，只需证 ，
令 ，则 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故 ， ，左边证毕，
再证 ，
令 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，故 ；
令 ， ，
对于函数 ， ，
则 ，原函数单调递减，
故令 ，解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，故
， ，即 ，故 ，右边证毕，
则 得证.
14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时，证明： ；
【解析】（1）易得，函数 的定义域为 ，
当 时， ，
令 ，解得 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极小值为 ，无极大值；
（2）当 时， ，
要证明 ，即证 ，即 ，
设 ，则 ，
令 得， ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，所以 为极大值点，也为最大值点，所以 ，
即 ，故 .
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若 最小值为0，求 的值；
(2) ，若 ，证明 .
【解析】（1）由 得 ，且
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.
所以 的极小值也是最小值为 .
（2）证明：由 得 .
设 ，则 ，当 时， ，
单调递减，当 时， 单调递增.
当 时， ，即 在区间 单调递增.
若 ，则当且仅当 时， .
由（1）知， .
，即 .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 极值点的个数；(2)若 ，求证： ．
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，
所以 ，设 ，
则
①当 时，因为 ，所以 ，所以函数 在 内没有极值点，
②当 时，因为 ，所以 ，函数 在 单调递增，
即 在 单调递增，又 ，
，所以存在 ，使得 ，且当 时，
，函数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 为函数 的极小值点，函数 没有极大值点，
③当 时， ，则 时， ； 时， .
则 是函数 在 上唯一的极小值点，且 的极小值为 ，
当 ，即 时， ，所以 ，函数 在 上单调递增，函数
在 上没有极值点，
当 ，即 时， ，所以 ，函数 在 上单调递增，函数 在
上没有极值点，
当 ，即 时，因为 ， ， ，设， ，
设 ，则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上单调递减，
，即 ，所以存在 ， 使得 ，
，当 时， ，函数 在 上单调递增，当 时， ，函
数 在 上单调递减，当 时， ，函数 在 上单调递增，所以
为函数 的极大值点， 为函数 的极小值点，，
综上所述，当 时，函数 有一个极值点，当 时，函数 没有极值点，当 时，函
数 有两个极值点；
（2）要证明 ，只需证明 ，
只需证明 ，只需证明 ，
令 ， ，
又 ，则 时， ，函数 在 上单调递增； 时， ，
函数 在 上单调递减；.
所以 时， 取得最大值，最大值为 ，由 可得 ，
则 时， ，函数 在 上单调递减； 时， ，函数 在 上单调递
增；.
则 时， 取得最小值，且最小值为 ，
又 ，所以 ，即
所以 时， .
17．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数 ，若
，其中 为偶函数， 为奇函数.
(1)当 时，求出函数 的表达式并讨论函数 的单调性；
(2)设 是 的导数. 当 ， 时，记函数 的最大值为 ，函数 的最大值
为 .求证： .
【解析】（1）当 时， ，
由题 ，其中 为偶函数， 为奇函数，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，当且仅当 取等，
所以 在 上递增，即 在 上递增，
注意到 ，
则 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）由 的定义域是 ， ，
设 ，则 ，
令 得， ，
因为 在 上递增，
所以当 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
又 ，
于是 ，即 ，
所以 在 上递增，
注意到 ，
所以在 上 ，在 上 ，
所以函数 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
又 ， ，
，
因此 ，
又 ，
所以 ，
即
18．（2023·上海·高三专题练习）已知函数 .
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝e，证明：当x>0时， .
【解析】（1）由题意知， .
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当x>0时， ，即 恒成立．
令 （ ），则 ， 时， ， 时， ，
g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则g(x) ＝g(1)＝1，
max
所以 ，即 .
故实数a的取值范围是 ；.
（2）证明：若a＝e，要证 ，
只需证 ，即 .
令 （x>0），则 ，易知h(x)在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，
所以 .
再令 （ ），则 ， 时， ， 时， ，
易知φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
则 ，所以 .
因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以 ，故原不等式成立．
