文档内容
专题02 与三角形有关的角重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）
题型一 三角形内角和定理的证明
题型二 与平行线有关的三角形内角和问题
题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题
题型四 三角形折叠中的角度问题
题型五 三角形内角和定理的应用
题型六 根据直角三角形的性质求角度
题型七 利用直角三角形的性质探究角的关系
题型八 直角三角形的存在性问题
题型九 三角形外角的性质
题型十 三角形外角与内角的综合
题型十一 三角形中翻折问题综合
题型十二 三角形中旋转问题综合
知识点 1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。
测量法： 剪角拼角法 ：
知识点2 直角三角形：
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形知识点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相
邻的任何一个角。
【经典例题一 三角形内角和定理的证明】
【例1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是 ”时，综合实践小组
的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是 ”的有（ ）
①如图1，过点C作 ；
②如图2，过 上一点D分别作 ， ；
③如图3，延长 到点F，过点C作 ；
④如图4，过点C作 于点D．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④1．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是 ”时，综合实践小组的
同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“ 的内角和是 ”的有（ ）
①过点C作
②延长 到点F，过点C作
③作 于点D
④过 上一点D作 ，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证
一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．
3．（23-24七年级下·山东滨州·期中）在学习完七年级下册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行
线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角
转化”功能．
(1)观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼
成了一个平角．
问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确．
聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程．
证明： 如图1所示， ， ， 是 的三个内角， 过点A作∵ （已知）
∴ （理由： ① ）
∵ （理由： ② ），
∴ （理由： ③ ）
(2)拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线
把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用．
对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知 是 的三个内角， 延长
到E， 过点B作 ．请你按照小亮同学的解答思路证明 ．
(3)由（1）和（2），你能得出什么结论？
【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】
【例2】（2024·陕西西安·三模）如图，在 中， 是 的角平分线，点 在 上， ，
若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图， ， 分别平分 、 、
，有下列结论：① ；② ；③ ；④ 与 互余．其中，结
论正确的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图： ， 平分 ．若 ， 于H点，
则 度．
3．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在 上， 与 交于M点，
连接 ，已知 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 是 的平分线， ，请判断 与 的位置关系，并说明理由．
【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
【例3】（2024·甘肃武威·二模）如图，在 中， 于D， 平分
交 于点E，交 于点F，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·重庆忠县·期中）如图， 的角平分线 相交于F， ， ，
且 于G，下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ 平分 ．
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在 中有两个内角相等，且 是 的角平分线，
点 在 上， ，交 于点 ．若 ， ，则 ．
3．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在 中， ， 是角平分线，它们相交于点 O．(1)若 ，则 的度数为_______；
(2)猜想 的度数与 的度数存在的数量关系，并说明理由．
【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】
【例4】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，将三角形纸片 沿 折叠，当点A落在四边形
的外部时，测量得 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，把三角形纸片 折叠，使得点 ，点 都与点 重合，折
痕分别为 ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，将 沿 翻折，使点 落在点 处，过点 作
交 于点D，若 °， ，则 的度数为 ．3．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在 中， ，点 ， 在边 上，将边 沿
翻折，使点 落在 上的点 处，再将边 沿 翻折，使点 落在
的延长线上的点 处，
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，求 的面积．
【经典例题五 三角形内角和定理的应用】
【例5】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）将一副学生用三角板（一个锐角为 的直角三角形，一
个锐角为 的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（ ）
① 平分 ；② ；③ ；④
A．0 B．1 C．2 D．3
1．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图， ， ， ，垂足为 ，
平分 ．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是结论Ⅰ：
结论Ⅱ：若 的度数每增加 ，则 的度数会减少
A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确
2．（23-24七年级下·山西太原·期末）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其
中 平分 ．若 ，则 的度数为 ．
3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线
与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有 ．
(1)如图2，已知有两个平面镜镜面 与镜面 ，入射光线 能够经镜面 形成反射，记反射光
线分别为 ．
①当 ， 时，求 的度数．
②记 ， ，当 时，求 ， 之间的等量关系．
(2)如图3，已知有三个平面镜 ，其中镜面 放在水平地面上固定，调整镜面 与镜面
的摆放角度，使得入射光线 能够经镜面 形成反射，记反射光线分别为 ．
①当 ， ， 时，求 的度数．
②记 ， ，当m，n存在怎样的等量关系时，有 成立，请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由．
【经典例题六 根据直角三角形的性质求角度】
【例6】（2024·山东青岛·二模）两个直角三角板如图摆放，其中 ， ，
．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣 ，一宣有半谓
之欘 …”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣 矩，1欘
宣（其中，1矩 ），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件
的示意图，若 矩， 欘，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点 在 上，点 在 上，若
，则 ．3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在 中， ， ， 平分 ，
于点 ．
(1)求 的度数．
(2)求 的度数．
【经典例题七 利用直角三角形的性质探究角的关系】
【例7】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图， ， ，垂足分别为 ． 下列说法正
确的个数是（ ）
①点 到线段 的距离为线段 的长度；
② ；
③ ；
④将三角形 绕线段 所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图， 中， 于点D，则下列结
论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图， 中， 分别是高和角平分线，点 在 的延长
线上， ，交 于点 ，交 于点 ．下列结论：① ；② ；
③ ；其中正确的是 ．
3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在 中， 是角平分线， 是高．
(1)若 ，求：① 的度数；② 的度数．
(2)已知 ，则 （用 表示）．
【经典例题八 直角三角形的存在性问题】
【例8】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在下列条件中：① ；② ；③；④ ；⑤ ；能确定 为直角三角形的条件有（
）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）如图，一根木棒 斜靠在墙上，木棒与它在墙壁及地板上的影子
构成一个直角三角形 ，若 与 的角平分线交于点P，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）在 中， ， ，点 在 边上， 平
分 ，在 上取一点 ，若 为直角三角形，则 的度数为 ．
3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知长方形 中， ， ，连结 ，
点P从点A出发，以 的速度沿 的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（ ）．
(1)当 时， ______ ；当 时， _______ ．
(2)若点P在 上，用含t的代数式表示 的面积．
(3)在整个运动过程中，当 的面积为长方形 面积的 时，求t的值．
(4)若动点Q与点P同时从点A出发，以 的速度沿 的方向运动，当P、Q相遇时，他们同
时停止运动．当 为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围．【经典例题九 三角形外角的性质】
【例9】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在 中， ，高 、 交于点O，则
为（ ）
A． B． C． D．
1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一
束经过光心 的光线相交于点 ，点 为焦点．若 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图， 的两个外角的平分线交于点P．若 ，则
．
3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在 中，点 分别在边 上，
与 交于点 ．(1)若 ， ，则 _____ ；
(2)若 ，求证： ．
【经典例题十 三角形外角与内角的综合】
【例10】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，2，3． ， ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在 中， ， 的平分线交 于点D，
点P是射线 边上的动点，连接 交 于M，若 ， ，则 的度数是
（ ）A． B． C． 或 D． 或
2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在 中、 ， ，点 是 边上一点，
连接 ，将 沿着 折叠，点 落在点 处、若 ，则 的度数为 °．
3、（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1， ，点 分别在 上运动（不与点 重
合）， 是 的平分线， 的反向延长线交 的平分线于点 ．
【特殊探究】
(1)若 ，则 ______ ；
【推理论证】
(2)随着点 的运动， 的大小是否会变化？如果不变，求 的度数；如果变化，请说明理由．
【拓展探究】
(3)如图2，直线 与直线 相交于点 ，夹角为 ，点 在点 右侧，点 在 上方，点 在点 左侧，点
在射线 上运动（不与 重合）， 平分 平分 交直线 于点 ，当 时，求 的度数．
【经典例题十一 三角形中翻折问题综合】
【例11】（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，长方形纸片 ，点 、 分别在边 、 上，
连接 ，分别将 ， 对折，使 、 分别落在直线 上的点 和 处，折痕分别为 、
，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图， 、 是 边 、 上的点， 沿 翻折后
得到 ， 沿 翻折后得到 ，且点 在 边上， 沿 翻折后得到 ，且点
在边 上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将 纸片先沿 折叠，再沿 折叠，若 ，
则 °．3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸
片 沿 折叠，使点 落在 内部的点 处．
(1)如图1，若 ，则 ___________°；
(2)利用图1，探究 ， 与 之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，把 折叠后， ， 恰好分别是 与 的平分线，若 ，利用
（2）中的结论求 的度数．
【经典例题十二 三角形中旋转问题综合】
【例12】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中
， ， ， ，现按住三角板 不动，将三角板 绕点C顺
时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记
（k为常数），给出下列四个说法：
①当 时，直线 与直线 相交所成的锐角度数为 ；
②当 时， ；
③当 时， ．其中正确的说法的个数是（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，分别将三角板 与 的一边 与 放置在直线l
上，边 与 所在直线重合．现将三角板 绕点A逆时针旋转，三角板 绕点A顺时针旋转．当
与 第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（ ）
A．当 与 垂直时， B．当 与 平行时，
C．当 与 垂直时， D．当 与 平行时，
2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图， ，点 在直线 左侧， ， ，
射线 从射线 出发，绕点B以每秒 的速度按顺时针方向旋转，同时射线 从射线 出发，绕点
C以每秒 的速度按顺时针方向旋转，当射线 旋转 时两条射线都停止旋转．射线 与射线 交
于点 ，若 ，则射线 旋转了 秒．3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】
在一副三角板 和 （顶点C重合）中， ， ， ．
【问题发现】
（1）如图1，当 时，求 的度数．
【问题探究】
（2）如图2，若 ，判断 与 的位置关系，并说明理由．
【问题拓展】
（3）如图2，将三角板 绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当 与三角板 的直
角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数．
1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， ，一块含 的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图， ，则 的关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图， 中， ， 的度数为 ，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形纸片 折叠，使点D与点B重合，点C落在点 处，
折痕为 ，若 ，那么 的度数为（ ）A． B． C． D．
5．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，已知直线 ，点 、 分别在直线 、 上，点
是直线 与 外一点，连接 、 ，点 在直线 上方且在 内部，连接 ，连接 并延
长交 的角平分线 于点 ，交 于点 ，下列说法中正确的有（ ）个
①若 ，则
②若 、 分别平分 ， ，则 与 互补
③若 、 分别平分 ， ，则
④若 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中 的度数是
．
7．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在 中， 平分 ，过点 作 ．若
， ，则 ．
8．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆 底座
于点 ， 与 是分别可绕点 和 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点 旋转调节光线角度，在调节
过程中，最外侧光线 ， 组成的 始终保持不变，现调节台灯使外侧光线 ， ，
若 ，则 的度数为 °．9．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图， 和 是 的外角， 和 分别是
和 的角平分线，延长 和 交于点 ．设 ， ，则 与 之间的数量关系为
．
10．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在 中有两个内角相等，且 是 的角平分线，
点 在 上， ，交 于点 ．若 ， ，则 ．
11．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图， 、 、 分别是 的高线、角平分线和中线．
(1)若 ， ， 求 的面积．
(2)若 ， 求 的度数．12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图， 是 上一点， 于点 ， ， 分别是 ，
上一点， ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ，请说明 ．
13．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为 ，我们称这两个角互为“好
友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如 ， ， ，则 和
互为“好友角”，即 是 的“好友角”， 也是 的“好友角”．
【理解】（1）若 ，则 的“好友角”的度数为 ；
（2）已知 和 互为“好友角”， ，且 和 互补， 的度数为 ；
（3）如图 ，将 纸片沿 折叠，使点 落在四边形 内部 处，已知 ， ，
若 和 互为“好友角”，则 的度数为 ；【拓展】如图 ，在 中， ， 是角平分线，过点 作 的垂线，垂足为 ，
相交于点 ．若 与 互为“好友角”，求 的度数．
14．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知 ，点P是平面内一点，过点P作射线
与 相交于点B．
(1)如图1，若点P为直线 上一点， ， ，求 的度数；
(2)如图2，若点P为直线 之间区域的一点，射线 交 于点E， 和 的角平分线交
于点F．请说明 ；
(3)如图3，若点P、H是直线 上的点，射线 交直线 于点G，连接 并延长交 的角平分
线于点Q，设 .当 时，请直接用含 的代数式表示 ．
15．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知 ，点 为平面内一点，点 、 分别在直线 ，
上，连接 、 ．(1)如图①，点 在直线 ， 之间时，若 ，则 ________；
(2)如图②，点 在直线 ， 之间（且在 连线左侧）， 和 的平分线交于点 ，当
时，求 的度数（用含 的式子表示）；
(3)如图③，当点 在 下方时， 平分 ， 平分 ， 的反向延长线交 于点 ，当
时，求出 的度数．
