专题 02 二次函数重难点题型汇编
【题型01 ：二次函数的概念】
【题型02 ：二次函数的条件】
【题型03：列处二次函数关系式】
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
【题型09：二次函数的平移变换】
【题型10：二次函数的交点个数问题】
【题型01 ：二次函数的概念】
1．下列函数是二次函数的是（ ）
1
A．y=2x−1 B．y=❑√x2−1 C．y=x2−1 D．y=
2x
2．下列四个函数中是二次函数的是（ ）
2
A．y=3x−2 B．y= +2
x2
5
C．y=x2−1 D．y=
x
3．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
2
A．y=3x−7 B．y=
x
C．y=3x2−7x+3 D．y=ax2−6x−2【题型02 ：二次函数的条件】
4．若 y=(m+1)xm2+m 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为( )
A．−2 B．1 C．−2或1 D．2或1
5．若 是二次函数，则m的值为（ ）
y=(m−2)xm2−2
A．±2 B．2 C．−2 D．±❑√3
6．函数 是关于 的二次函数，则 的值为（ ）
y=(1+m)xm2−2m−1 x m
A．2 B．−1或3 C．3 D．m不存在
7．如果函数 是二次函数，则k的值为（ ）
y=(k−3)xk2−3k+2+kx+1
A．k=0 B．k=3 C．k=0或k=3 D．k=4
【题型03：列出二次函数关系式】
8．在一个边长为5的正方形中挖去一个边长为x(0<x<5)的小正方形，如果设剩余部分的
面积为y，那么y关于x的函数解析式是（ ）
A．y=x2 B．y=25−x2 C．y=x2−25 D．y=25−2x
9．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总值约为2.6千亿元人民币，若
我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关
于x的函数表达式是（ ）
A． B．
y=2.6(1+2x) y=2.6(1−x) 2
C． D．
y=2.6(1+x) 2 y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x) 2
10．已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千
克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=−2x+80．设这种产品每天的销售利润为w
（元），则w与x之间的函数表达式为（ ）
A．w=(x−30)(−2x+80) B．w=x(−2x+80)
C．w=30(−2x+80) D．w=x(−2x+50)
11．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月
共投放单车y辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数表达式为 ．
【题型04：特殊二次函数的图像和性质】
12．已知函数 的图象上有 ( 3 )， ， 三点，则 ， ，
y=−(x−2) 2 A − ,y B(3,y ) C(4,y ) y y
2 1 2 3 1 2
y 的大小关系是（ ）
3
A．y <y <y B．y <y <y C．y <y <y D．y <y <y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 2 3 1
13．对于二次函数 ，下列说法正确的是 （ ）
y=2(x−1) 2+3
A．开口方向向下 B．顶点坐标（1，−3）
C．对称轴是y轴 D．当x=1时，y有最小值
1
14．下列抛物线中，对称轴为直线x= 的是（ ）
2
A． y= ( x− 1) 2 B． y= 1 x2
2 2
C． y=x2+ 1 D． y= ( x+ 1) 2 −3
2 2
15．在二次函数 的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是
y=−(x−1) 2+3
( )
A．x>−1 B．x<−1 C．x>1 D．x<1
16．抛物线 的顶点的坐标是 ．
y=−2(x+1) 2+2
17．点 ， 均在二次函数 的图象上，则 ．（填
A(−3,y ) B(2,y ) y=−x2+2 y y
1 2 1 2
“>”或“<”）
【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】
1 1
18．如图，⊙O的半径为2，C 是函数y= x2的图象，C 是函数y=− x2的图象，则阴
1 2 2 2影部分的面积是（ ）
A．4π B．2π C．π D．无法确定
19．如图，已知点A ,A ,...,A 在函数y=2x2位于第二象限的图像上，点
1 2 2024
B ,B ,...,B 在函数y=2x2位于第一象限的图像上，点C ,C ,...,C 在y轴的正半轴
1 2 2024 1 2 2024
上，若四边形O A C B ,C A C B ,...,C A C B 都是正方形，则正方形
1 1 1 1 1 2 2 2 2023 2024 2024 2024
C A C B 的边长为( )
2023 2024 2024 2024
2023 2023
A．1012 B．1012❑√2 C． D． ❑√2
2 2
1
20．如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线y= x2上，点O是原点，顶点B在y轴上
4
则顶点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
(2,2) (❑√2,❑√2) (4,4) (2❑√2,2❑√2)
21．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4)．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是
．
【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】
22．将抛物线y=x2−4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为（ ）
A．y=x2+4x−3 B．y=−x2+4x+3
C．y=−x2−4x−3 D．y=−x2+4x−3
23．直线y=ax+b 与抛物线 y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … −4 −2 0 3 5 …
y … −24 −8 0 −3 −15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
25．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴
的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若AB=10，BC=5，CD=6，则PQ的长
度为（ ）A．7 B．8 C．9 D．10
26．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2−bx+a=0的
根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
27．抛物线y=x2+14x+54的顶点坐标是（ ）
A．(7,5) B．(7,−5) C．(−7,5) D．(−7,−5)
28．用配方法将二次函数 化为 的形式为（ ）
y=−x2−2x−3 y=a(x−ℎ) 2+k
A． B．
y=−(x−1) 2+3 y=(x+1) 2−4
C． D．
y=−(x+1) 2−2 y=(x−1) 2+2
29．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，
若点P的坐标为(−1,0)，则点Q的坐标为（ ）
A．(0,−1) B．(2,0) C．(4,0) D．(3,0)
【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】30．已知抛物线y=−x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的
最小值为−7，求此时t的值为（ ）
A．1或−2 B．2或−2 C．3或−1 D．−1或−2
31．已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；当 时，
y=x2−2x(−1≤x≤t−1) x=−1 x=1
函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A．0<t≤2 B．0<t≤4 C．2≤t≤4 D．t≥2
32．已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为
（ ）
1 1 1 1 1
A．− B．− C．− 或− D．﹣1或−
2 3 2 3 3
33．已知二次函数 （m为常数），当自变量x的值满足 时，与其对
y=(x−m) 2−1 2≤x≤5
应的函数值y的最小值为3，则m的值为（ ）
A．0或3 B．0或7 C．3或4 D．4或7
34．已知二次函数 在 时有最小值 ，则 ( )
y=mx2−2mx+2(m≠0) −2≤x≤2 −2 m=
1 1 1 1
A．−4或− B．4或− C．−4或 D．4或
2 2 2 2
35．已知二次函数y=−x2−2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值
范围是( )
A．m≥−1 B．m≤2 C．−3≤m≤−1 D．0≤m≤2
【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】
3
36．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x= ，且经过点
2
(−1,0)，下列结论：①ab<0；②8b−3c=0；③若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有
（ ）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
37．二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．y有最小值 B．当−1<x<2时，y<0
C． a+b+c>0 D．当x<−1时，y随x的增大而减小
38．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为(−1,0)，对称轴是直线
x=1．下列结论：
①abc>0；
②3a+c>0；
③ ；
(a+c) 2−b2<0
④a+b≤m(am+b)（m为实数）．
其中结论正确的为（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
39．已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc>0B．关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x =−2，x =3
1 2
C．a+b=c−b
D．a+4b=3c
40．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
y=ax2+bx+c(a≠0) x A(3,0) y B
对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③ax2+bx≥a+b；④若
8 4
−2<c<−1，则− <a+b+c<− ，其中正确结论的个数为（ ）
3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【题型09：二次函数的平移变换】
41．将抛物线 向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析
y=2(x+1) 2−3
式为（ ）
A． B．
y=2(x+3) 2−4 y=2(x+3) 2−2
C． D．
y=2(x−1) 2−2 y=2(x−1)
42．将抛物线y=−3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为(
)
A． B．
y=−3(x−1) 2−3 y=−3(x−1) 2−1
C． D．
y=−3(x+1) 2−3 y=−3(x+1) 2−1
【题型10：二次函数交点的个数问题】{x2(x≤2))
43．如图所示，已知函数
y = 8
的图象与一次函数
y =x+b
的图象有三个交点，
1 (x>2) 2
x
则b的取值范围是（ ）
1 1 1 1
A．− ≤b≤2 B．b>− C．− ≤b<2 D．− <b<2
4 4 4 4
44．如图，二次函数y=−x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象
沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图
象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
1 25
A． <m<−3 B． <m≤1 C．−2<m<1 D．−3<m<−2
4 4
5
45．抛物线y=−x2+kx+k− 与x轴的一个交点为A(m,0)，若−2≤m≤1，则实数k的
4
取值范围是( )
21 21
A．− ≤k≤1 B．k≤ − 或k≥1
4 4
9 9
C．−5≤k≤ D．k≤−5或k≥
8 846．将抛物线 的图象位于直线 以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直
y=(x+1) 2 y=4
线y=x+m与此图象只有四个交点，则m的取值范围是（ ）
3 3 5 5
A．−1<m< B． <m<3 C．1<m< D． <m<4
4 4 4 4
