文档文本内容
专题 02 实数
【考点1】求一个数的算术平方根★
【考点2】利用算术平方根的非负性解题★
【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★
【考点4】求一个数的平方根★
【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★
【考点6】利用平方根解方程★
【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★
【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★
【考点1】无理数的定义★
【考点10】实数的性质★
【考点11】实数与数轴★
【考点12】无理数的大小估算★
【考点12】无理数整数部分有关计算★★
【考点14】实数的混合运算★★
知识点1：算术平方根和平方根
1.算术平方根的定义
x a x2 a x a
如果一个正数 的平方等于 ，即 ,那么这个正数 叫做 的算术平方根（规定0的
a a a a
算术平方根还是0）； 的算术平方根记作 ，读作“ 的算术平方根”， 叫做被开方
数.
2.算术平方根的性质
a a 0
a2 |a|0 a 0
a a0 a 2 a a0
3.平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右
62500 250 625 25 6.25 2.5
， ， ，
或者向左移动1位.例如：
0.0625 0.25
.
a a a(a0) a
4.平方与开平方互为逆运算. ( ≥0)的平方根的符号表达为 ，其中 是
a
的算术平方根.
知识点2：立方根
1.定义：如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根或三次方根.这就是说，
如果 ，那么 叫做 的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
2.立方根的特征
立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
知识点3：无理数
1.无理数
（1）定义：无限不循环小数又叫无理数.
（2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成
分数的形式
（3）常见的无理数有三种形式：①含 类.②看似循环而实质不循环的数，如：
1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如 .
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之
对应.
【考点1】求一个数的算术平方根★1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）16的算术平方根是（ ）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
3．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）❑√9的值是（ ）
A．3 B．−3 C．81 D．±3
3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）32的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．❑√3 D．−3
【考点2】利用算术平方根的非负性解题★
1．（23-24八年级下·新疆和田·期中）已知 ， ，且 ，则 （ ）
|a)=5 ❑√b2=3 ab<0 a−b=
A．8 B．−2 C．8或−8 D．2或−2
2．（23-24七年级下·广西河池·期末）若❑√a+1+|b−2024)=0，则ab的值（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．2024
3．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若 ， （ ）
(a−1) 2 +❑√b−2=0 (a−b) 2024 =
A．1 B．−1 C．0 D．2024
4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）已知x，y为实数，且 ，则
❑√x−3+(y+2) 2 =0
．
(x+y) 2024 =
【考点3】与算术平方根有关的规律探索题★★
1．（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）已知❑√102≈10.10，❑√10.2≈3.194，则
❑√1.02≈（ ）
A．110 B．31.94 C．0.3194 D．1.01
2．（23-24八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图是一个按某种规律排列的数阵：
1 ❑√2 ¿ ¿第1行
¿¿第2行¿❑√7¿2❑√2¿3¿❑√10¿❑√11¿2❑√3¿¿第3行¿❑√13¿❑√14¿❑√15¿4¿❑√17¿3❑√2¿❑√19¿2❑√5¿第4行¿⋅⋅⋅¿¿¿¿¿
❑√3 2 ❑√5 ¿
根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第(n−3)个数是（用含n
的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
❑√n2−1 ❑√n2−2 ❑√n2−3 ❑√n2−4
3．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知❑√2=1.414，❑√20=4.472，那么❑√200= .【考点4】求一个数的平方根★
1
1．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习） 的平方根是（ ）
4
1 1 1
A． B．− C．± D．±2
2 2 2
2．（23-24八年级上·四川成都·期中）❑√16的平方根是（ ）．
A．−2 B．±4 C．±2 D．4
3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）20242的平方根是（ ）
A．−2024 B．2024 C．±2024 D．±❑√2024
4．（24-25八年级上·山东枣庄·期末） 的平方根是 ．
(−3) 2
【考点5】已知一个数的平方根，求这个数★
1．（23-24八年级上·四川乐山·期末）已知2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的算术平方
根是4，ab= ．
2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是2x−4与x−5，则这
个正数是 ．
3．（24-25八年级上·福建漳州·期中）已知一个正数的两个平方根是a与3a−1．
(1)求a的值；
(2)求关于x的方程ax2−9=0的解．
【考点6】利用平方根解方程★
1．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）解方程：
(1)x2−6=0
(2)
2(x−3) 2 =50
2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)9x2−16=0；(2)
4(2x−1) 2 =36
3．（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）解方程：
(1)m2−49=0；
1
(2) (x−2) 2−8=0．
8
4．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各式中x的值．
(1) 4x2−81=0
16
(2)(x−3) 2=
25
【考点7】已知一个数的立方根，求这个数★
1．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）
(√3−5) 3
的值等于（ ）
A．❑√5 B．√3−5 C．−5 D．5
1
2．（23-24八年级上·河北保定·期中）若一个数的立方根为− ，则这个数为（ ）
3
1 1 1 1
A．− B． C．− D．
9 9 27 27
3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）写出立方根是−2的数为： ．
【考点8】算术平方根和立方根的综合应用★★
1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）求下列各式中的x：
(1)4x2=25；
(2) ．
1+(x−1) 3 =−7
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a+9的一个平方根是−5，2b−a的立方根是−2．
(1)求a、b的值．
(2)求2a+b的算术平方根．
3．（24-25八年级上·江西抚州·阶段练习）已知a+1的算术平方根是2，−27的立方根是
b−12，c−3的平方根是±3．求：
(1)a，b，c的值；
(2)a+3b−c的平方根．
4．（22-23八年级上·江苏宿迁·期中）已知6a+34的立方根是4，5a+b−2的算术平方根
是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求3a−b+c的平方根．
5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知x的两个平方根分别是3a−14和a−2,y的立方
根是2．
(1)求x,y的值；
(2)求2x+y的平方根．
【考点1】无理数的定义★
1．（2024·湖北恩施·二模）下列实数中，是无理数的是（ ）
1
A．5 B．❑√5 C．−0.2 D．
2
π
•
2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）在实数 ，0，❑√7， ，0.1010010001…中，
0.3
2
无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．522 π
3．（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）在数字 ，3.33， ，0，2.121121112⋯
7 2
√ 1
（相邻两个2之间1的个数逐次多1），−❑√0.9，3 中，无理数的个数是（ ）．
27
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点10】实数的性质★
1．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）实数−2的相反数是（ ）
1 1
A．−2 B．2 C．− D．
2 2
2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）❑√5−2的相反数是 ，√3−8的倒数是
．
3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）❑√10−5的相反数是 ．
4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）实数−❑√2的绝对值是 ．
【考点11】实数与数轴★
1．（2024·北京石景山·二模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正
确的是（ ）
A．a>−1 B．b>−a C．a+b<0 D．ab>0
2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）如图，以2个单位长度作正方形，连接各边中点作小
正方形．在数轴上以−1对应的点为圆心，小正方形边长为半径画圆弧，交数轴于原点
右侧点A，点A所表示的数是（ ）
A．❑√2−1 B．2−❑√2 C．2−2❑√2 D．−1−❑√2
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）实数a, b, c在数轴上对应的位置如图所示，化简：．
|c)−❑√(c+a) 2 +❑√b2
【考点12】无理数的大小估算★
1．（23-24七年级下·四川南充·期中）估算❑√13在哪两个整数之间（ ）
A．2和3 B．3和4 C．6和7 D．8和9
2．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）估计❑√24的值在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．4和5之间 D．7和8之间
3．（24-25八年级上·重庆·期中）估算❑√19−2的结果在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间
【考点12】无理数整数部分有关计算★★
1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）若❑√13的整数部分是a，❑√7的小数部分是b，则
a−b的值为
2．（24-25八年级上·江西鹰潭·阶段练习）若❑√72<a<❑√83，且a为整数，则整数a的平方
根为 ．
3．（23-24七年级下·北京·期中）若❑√19的整数部分为a，小数部分为b，则a+2b=
．
4．（24-25八年级上·重庆·期中）若❑√11的整数部分是a，小数部分是b，则3a+b的值为
．
5．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知2<❑√5<3,❑√5的小数部分用❑√5−2表示．
请解答下列问题：
(1)❑√17的整数部分是______，小数部分是______．
(2)8−❑√15的小数部分是______．
(3)如果设7+❑√7的小数部分为a，求a(a+4)的值．6．（24-25七年级上·山东东营·期末）已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是❑√20
的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求a−3b+c的平方根．
【考点14】实数的混合运算★★
1．（23-24七年级下·四川南充·期中）计算或求x的值．
(1)−12024+❑√4+√3−8+| ❑√5−3|
(2)
2(x−1) 2=8
2．（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）计算：
(1)
3❑√2−|❑√3−❑√2)
(2)
−12022+❑√16×(−3) 2 +(−6)÷√3−8
3．（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）计算
(1)
(❑√6+❑√3)−❑√3
(2)√327−❑√64
(3) ；
(−1) 2023 +❑√9−|−5)−√3−27
(4)
❑√81+√3−8−|❑√3−❑√2)
4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：
(1)
❑√16+√3 8−❑√(−5) 2(2) ．
(−2) 3 +|1−❑√2)×(−1) 2024−√3125
一、单选题
1．（22-23八年级上·四川攀枝花·期中）9的平方根是（ ）
A．±❑√3 B．3 C．−3 D．±3
2．（2022·浙江台州·中考真题）估计❑√6的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
3．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
❑√36=±6 ❑√(−2) 2 =−2 √3−6=√36 −❑√0.64=−0.8
√16 22
4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）在实数−❑√3，−❑ ，0.6, ，0，√3−6，
9 7
0.101001000100001中，无理数有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知正方形ABCD的面积为6，点A在数轴上，
且表示的数为1．现以点A为圆心，AB的长为半径画圆，和数轴交于点E（点E在点A
的右侧），则点E表示的数为（ ）
A．3.2 B．❑√6−1 C．❑√6+1 D．❑√6
6．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算
的结果为（ ）
|a−π )+|❑√2−a)A．π +❑√2 B．π −❑√2 C．❑√2−π D．π −2
7．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）若3−❑√2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式
的值为（ ）
(2+❑√2a)b
A．❑√2 B．2 C．4 D．4−2❑√2
二、填空题
8．（21-22八年级上·广东河源·期末）64的算术平方根是 ．
9．（23-24七年级下·广东阳江·期末）如图，将数−❑√5，❑√7，❑√13表示在数轴上，其中能
被墨迹覆盖的数是 ．
10．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的
x=256时，输出的y值是 ．
11．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）若一个正数的两个不同的平方根为2m−6和m+3，
则m为 ．
三、解答题
12．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）（1）计算：
❑√16+(❑√3) 2 −√327
；
（2）解方程： ．
2(x−1) 2−8=013．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知5a+2的立方根是3，3a+b−1的算术平方根
是4．
(1)求a，b的值；
(2)求2a+3b的平方根．
14．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）小李同学探索❑√86的近似值的过程如下：
∵面积为86的正方形的边长是❑√86，且9<❑√86<10，
∴设❑√86=9+x，其中0<x<1，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积 ，
S =81+2×9x+x2
正方形
又∵S =86，∴81+2×9x+x2=86．
正方形
当x2<1时，可忽略x2，得81+18x≈86，解得x≈0.28，∴❑√86≈9.28．
(1)填空：❑√157的整数部分的值为 ；
(2)仿照上述方法，探究❑√157的近似值（结果精确到0.01）
（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
