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专题02 角度计算经典压轴大题专训
【精选最新30道角度计算经典压轴大题】
1．（2023春·北京怀柔·七年级统考期末）如图，直线 与 的两边交于 ， 两点，
，点 是 边上一个动点，连接 ．
(1)过点 作 ，交射线 于点 ，依题意补全图形，
①直接写出 的度数（用含α的式子表示）；
②若点 ， 在 ， 的延长线上，并且直线 ，当 平分 时，求 的度数（用
含 的式子表示）；小林在思考这道题时，想到过点 作 交射线 于点 ，通过转化角可以求
出 的度数．你可以利用小林的思路解答此题也可以独立思考求出 的度数．
(2)参考小林思考问题的方法，解决问题：若点 ， 在 ， 的延长线上，并且直线 ，当点
在 上运动时，直接用含 的等式表示 ， ， 的数量关系．
2．（2023春·福建福州·七年级统考期末）在 中， ，点 在射线 上运动（点 不与 、
重合），连接 ，过点 作 ，垂足为 ，交射线 于点 ．(1)如图1，当点 在线段 上时，过点 作 交 于 ．求证： ；
(2)如图2，作 的角平分线和 的角平分线且相交于点 ，随着点 的运动， 的度数会变化
吗？如果不变，求出 的度数；如果变化，说明理由．
(3)如图3，当点 在线段 的延长线上时，过点 作 交 的延长线于 ， 的角平分线与
的角平分线的反向延长线相交于点 ， 的度数会变化吗？请说明理由．
3．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）【基础巩固】（1）如图1，已知 ，求证：
；
【尝试应用】（2）如图2，在四边形 中， ，点E是线段 上一点． ，
，求 的度数；
【拓展提高】（3）如图3，在四边形 中， ，点E是线段 上一点，若 平分 ，
．
①试求出 的度数；
②已知 ， ，点G是直线 上的一个动点，连接 并延长．
2.1若 恰好平分 ，当 与四边形 中一边所在直线垂直时， ________；
2.2如图4，若 是 的平分线，与 的延长线交于点F，与 交于点P，且 ，则
________ （用含 的代数式表示）．4．（2023春·四川·七年级统考期末）如图，在四边形 中， ， ，延长 到点
， 是 的平分线， 是 的平分线．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，当 时，直线 交直线 于点 ，问 与 ， 之间有何数量关系？写出你
的结论并证明；
(3)如果将（2）中的条件 改为 ，那么 与 ， 之间又有何数量关系？请直
接写出结论，不用证明．5．（2023春·浙江·七年级统考期末）如图1， 是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为 ，反射光线
与水平镜面夹角为 ，则 ．
(1)如图2，一束光线 射到平面镜 上，被 反射到平面镜 上，又被 反射，若被 反射出的
光线 （与光线 平行，且 ，则 _______°， ______°；
(2)如图3，有三块平面镜 ， ， ，入射光线 与镜面 的夹角 ，镜面 ， 的
夹角 ，当光线 经过平面镜 ， ， 的三次反射后，入射光线 与反射光线 平行
时，请求出 的度数；
(3)如图4，在（2）的条件下，在 ， 之间再照射一条光线 ，经过平面镜 ， 两次反射后反
射光线与 交于点 ，请探究 与 的数量关系．
6．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）已知， 、直线 分别交 、 于点 ， 、．点 在直线 的左侧，射线 平分 ．
(1)如图1，若 ，直接写出 与 的度数；
(2)点 在直线 的左侧， ， ，直线 与直线 相交于点 ．
①如图2，当点 在直线 上方时，设 ，用含 的式子分别表示 与 ；
②若 ，请直接写出此时 的度数．
7．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）平面内有两个锐角 与 ，点B在直线 的上方．
保持不动，且 的一边 ，另一边 与直线 相交于点F．(1)若 ， ，且位置如图1，当点E，O，D在同一条直线上（即点O与点F重合）时，
________°；
(2)若 ， ， ，当点E，O，D不在同一条直线上，画出图形并求
的度数（用含α，β的式子表示）．
8．（2023春·广东广州·七年级校考期中）如图1，已知直线 ， ，射线 从 出
发，绕点 以每秒 度的速度按逆时针方向旋转，到达 后立即以相同的速度返回，到达 后继续改
变方向，继续按上述方式旋转；射线 从 出发，绕点 以每秒 度的速度按逆时针方向旋转，到达
后停止运动，此时 也同时停止运动.其中 ， 满足方程组
(1)求 ， 的值；
(2)如图2，若 与 同时开始转动，在 第一次到达 之前， 与 交于点 ，过点 作
于点 ，交直线 于点 ，则在运动过程中，若设 的度数为 ，请求出 的度数
（结果用含 的代数式表示）；
(3)若 先运动30秒，然后 一起运动，设 运动的时间为 ，当运动过程中 时，求 的值.9．（2023春·江苏常州·七年级校考期中）如图，直线 ， ，分别交 ， 于点 、
，射线 、 分别从 、 同时开始绕点 顺时针旋转，分别与直线 交于点 、 ，射线
每秒转 ，射线 每秒转 ， ， 分别平分 ， ，设旋转时间为t秒 ．
(1)用含t的代数式表示： ________°， ________°；
(2)当 时， ________；
(3)试探索 与 之间的数量关系，并说明理由；
(4)若 的角平分线与直线 交于点 ， 的度数是________．
10．（2023春·广东深圳·七年级统考期中）已知 ，点 在直线 、 之间，连接 、 ．
(1)探究发现：探究 ， ， 之间的关系．
如图1，过 作 ，
（ ）
（已知）
（ ）；
(2)解决问题：
①如图2，延长 至点 ，作 的角平分线和 的角平分线的反向延长线交于点 ，试判断
与 的数量关系并说明理由；
②如图3，若 ，分别作 ， ， 、 分别平分 ， ，则
的度数为 （直接写出结果）．
11．（2023·全国·八年级假期作业）（1）如图1，把 沿 折叠，使点A落在点 处，请直接写出
与 的关系： ．
（2）如图2，把 分别沿 、 折叠，使点A落在点 处，使点B落在点 处，若
，则 °
（3）如图3，在锐角 中， 于点M， 于点N， 、 交于点H，把 沿
折叠使点A和点H重合，则 与 的关系是 ．
A． B．
C． D．
（4）如图4， 平分 ， 平分 ，把 沿 折叠，使点A与点H重合，若
，求 的度数．12．（2023春·湖北武汉·七年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）已知 ，点M、N分别在直线
上， 与 的平分线所在的直线相交于点F．
(1)如图1，点E、F都在直线 之间且 时， 的度数为___________；
(2)如图2，当点E在直线 之间，F在直线 下方时，若 ，求 的度数；
(3)如图3，当点E在直线 上方，F在直线 与 之间时，直接写出 与 之间的数量关系
为___________．
13．（2023春·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）如图，直线 ，点E、F分别是 、 上的动
点（点E在点F的右侧），点M为线段 上的一点，点N为射线 上的一点，连接 且 ．
(1)如图1，若 ，则 ______；
(2)如图2，连接 ，且 恰好平分 ， ，求 的度数；
(3)过点M作 于H，G在射线 上，连接 ， ，若 平分 ，
， ，求 的度数．14．（2023春·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考阶段练习）如图1，直角 与直角 的斜边
在同一直线上， ， ， 平分 ，将 绕点D按逆时针方向旋转，记
为 ，在旋转过程中，
(1)如图2，当 等于多少时， ？
(2)如图2，当 ________________时， 与 的一边平行；
(3)如图3，当顶点C在 内部时（不包含边界），边 分别交 的延长线于点M、N，
① 与 度数的和是否变化？若不变，求出 与 的度数和；若变化，请说明理由；
②若使得 ，求 的度数范围（直接写出结论）．
15．（2022春·江西抚州·七年级临川一中校考期中）已知： ， 平分 ，点
分别是射线 、 、 上的动点（ 不与点 重合），连接 交射线 于点 .设
．
(1)如图1，若 ，则：
① 的度数是________；
②如图2，当 时，试求 的值（要说明理由）；(2)如图3，若 ，则是否存在这样的 的值，使得 中有两个相等的角？若存在，直接写出
的值；若不存在，请说明理由．（自己画图）
16．（2022秋·湖南衡阳·七年级统考期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我
们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在 中， ，
，则 与 互为“开心角”， 为“开心三角形”．
【概念理解】
(1)若 为开心三角形， ，则这个三角形中最小的内角为________°；
(2)若 为开心三角形， ，则这个三角形中最小的内角为________°；
(3)已知 是开心 中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定 的取值范围，并说明理由；
【应用拓展】
(4)如图， 平分 的内角 ，交 于点E， 平分 的外角 ，延长 和 交
于点P，已知 ，若 是开心 中的一个开心角，设 ，求 的度数．
17．（2023春·辽宁大连·七年级校联考期中）（1）已知，如图 ，直线 ，点 在 和 之间，
点 在 上，点 在 上，直接写出 ， ， 之间的数量关系；
（2）已知直线 ，点 ， 在直线 上，点 、 在直线 上， 和 交于点 ，
、 的平分线交于点 ，如图 ．
①若 ， ，则 ______ ；
②探究 与 的数量关系；
（3）在（2）条件下，将线段 向左平移，使点 移动到点 的左侧，如图 ，其它条件不变，若， ，求 的度数（用含 的式子表示）．
18．（2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）图1，线段 相交于点O，连接 ，我们把形
如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下， 和 的平分线 和 相交于点
P，并且与 分别相交于 ．试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出 与 之间的数量关系为 ；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
(3)图2中， 和 为任意角时，其他条件不变，试问 与 之间存在着怎样的数量关系？说
明理由
(4)应用：如图2，当 时，直接说出 的度数．
19．（2023春·江苏·七年级期中）【概念认识】如图①，在 中，若 ，则 ，
叫做 的“三分线”．其中， 是“邻 三分线”， 是“邻 三分线”．(1)如图②，在 中， ， ，若 的三分线 交 于点D，则 °；
(2)如图③，在 中， 、 分别是 邻 三分线和 邻 三分线，且 ，求
的度数；
【延伸推广】
(3)在 中， 是 的外角， 的三分线所在的直线与 的三分线所在的直线交于点
P．若 ， ，直接写出 的度数．(用含m、n的代数式表示)
20．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）如图1， 的平分线 与 的平分线 交于点
E， ，则 的大小是 ；
（2）如图2， 的平分线 与 的平分线 交于点E， ，求
的大小；（用含 的代数式表示）
（3）如图3，在 中， ， 是 的角平分线，点E是 延长线
上一点，作 与点F，请问 的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改变，请说明理由．21．（2023春·七年级课时练习）如图， ， 相交于点 ， ， .
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数；（用含 的式子表示）
(3)若点 在 上，连接 ， 平分 交 于点 ，如图所示，直接写出 、 、
的数量关系 .22．（2023春·辽宁大连·七年级校考阶段练习）如图1是一张长方形的纸片，将这张长方形的纸片沿 折
叠成图1的形状．
张明同学发现折叠之后，四边形 与四边形 是完全相同的图形，因此折痕恰好是 的平
分线．
(1)图1中，若 时，求 的值；
(2)将长方形纸片的右边沿着 折叠，左边沿着 折叠，如图2所示，若两条折痕形成的夹角 ，
求 与 形成的夹角 的度数．
(3)将长方形纸片的右边沿着 折叠，左边沿着 折叠，如图3所示，试探究两条折痕形成的夹角
与 、 形成的夹角 之间的数量关系．23．（2023春·江苏·七年级期末）在我们苏科版义务教育教科书数学七下第42页曾经研究过双内角平分线
的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究
过程如下：
【问题再现】
(1)如图1，在 中， 、 的角平分线交于点P， ，则 ______°；
【问题解决】
(2)如图2，在 中， 、 的角平分线交于点P，将 沿DE折叠使得点A与点P重合，
若 ，求 的度数；
【问题推广】
(3)如图3，在 中， 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，过点B作
于点H，若 ，直接写出 ______°；
【拓展提升】
(4)在四边形 中， ，点F在射线 上运动（点F不与E，D两点重合），连接 ， ，
、 的角平分线交于点Q，若 ， ，直接写出 和α，β之间的数量关系．
24．（2023春·江苏·七年级期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形的重要线段，我们
知道，三角形的3条高所在直线交于同一点．（1）①如图1， 中， ，则 的三条高所在的直线交于点 ；
②如图2， 中， ，已知两条高 ， ，请你仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两
点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出 的第三条高．（不写面法，保留作图痕迹）．
【综合应用】
（2）如图3，在 中， ， 平分 ，过点 作 于点 ．
①若 ，则 ；
②请写出 与 ， 之间的数量关系 ；
【拓展延伸】
（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对
应底边的比．如图 ， 是 上一点，则有 ．如图 ， 中，M是 上一点
＝ ，N是 的中点，若三角形 的面积是m，请直接写出四边形 的面积 ．（用含
的代数式表示）25．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知：如图，直线 ， 于点C，连接 且分
别交直线a、b于点E、F．
(1)如图①，若 和 的角平分线 、 交于点M，请求 的度数；
(2)如图②，若 的角平分线 分别和直线 及 的角平分线 的反向延长线交于点N和点
M，试说明： ；
(3)如图③，点M为直线a上一点，连接 ， 的角平分线 交直线a于点N，过点N作
交 的角平分线 于点Q，若 记为 ，请直接用含 的代数式来表示 ．
26．（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）如图， ，点 ， 分别在直线 ， 上，点
在直线 和 之间．
(1)求证： ．
(2)如图， ，点 在直线 上，且 ，求证： ．(3)如图， 平分 ， 平分 ，且 ．若 ， ，求 的度
数．
27．（2023秋·八年级单元测试）【阅读理解】
三角形内角和定理告诉我们：如图①，三角形三个内角的和等于 ．
如图②，在 中，有 ，点D是 延长线上一点．由平角的定义可得
，所以 ．从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它
不相邻的两个内角的和．
【初步应用】
如图③，点D，E分别是 的边 延长线上一点，
（1）若 ，则 ______ ；
（2）若 ，则 ______ ；
（3）若 ，则 ______ ．
【拓展延伸】
如图④，点D，E分别是 的边 延长线上一点，
（4）若 ，分别作 和 的平分线交于点O，则 ______ ；
（5）若 ，分别作 和 的三等分线交于点O，且 ， ，
则 ______ ；
（6）若 ，分别作 和 的n等分线交于点O，且 ， ，
则 ______ ．28．（2023春·七年级单元测试）如图1，直线 与直线 、 分别交于点E、F， 与 互补．
(1)试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由；
(2)如图2， 与 的角平分线交于点P， 与 交于点G，点H是 上一点，且 ，
求证： ；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 ，K是 上一点使 ，作 平分 ，问
的大小是否发生变化？若不变，请直接写出其值．
29．（2023春·七年级课时练习）【认识概念】如图1，在 中，若 ，则 ，
叫做 的“三分线”．其中， 是“近 三分线”， 是“远 三分线”．【理解应用】
(1)在 中， ， ，若 的三分线 与 的角平分线 交于点 ，则 ；
(2)如图2，在 中， 、 分别是 的近 三分线和 近 三分线，若 ，求
的度数；
【拓展应用】
(3)如图3，在 中， 、 分别是 的远 三分线和 远 三分线，且 ，直
线 过点 分别交 、 于点 、 ，请直接写出 的度数（用含 的代数式表示）．
30．（2023春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）已知，直线 ，点 、 分别在直线 、 上，点 是直线 与 外一点，连接 、 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的度数；
(2)如图2，过点 作 的角平分线 交 的延长线于点 ， 的角平分线 交 的反向延
长线交于点 ，若 与 互补，试探索直线 与直线 的位置关系，并说明理由；
(3)若点 在直线 的上方且不在直线 上，作 的角平分线 交 的角平分线 所在直线
于点 ，请直接写出 与 的数量关系．
