文档内容
专题 03 一元二次方程的解法（公式法）（6 种题型 1 个易错点
中考 1 种考法）
【目录】
倍速学习五种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点 公式法
【方法二】 实例探索法
题型1用公式法解一元二次方程
题型2解系数中有字母的一元二次方程
题型3用一元二次方程的公式法解决实际问题
题型4运用换元法求代数式的值
题型5根的判别式
题型6根的判别式的应用
【方法三】 差异对比法
易错点1忽略了△的取值，直接将系数代入求根公式
【方法四】 仿真实战法
考法：用公式法解一元二次方程
【方法五】 成果评定法
【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
一、公式引入
一元二次方程 （ ），可用配方法进行求解：
得： ．对上面这个方程进行讨论：因为 ，所以
①当 时，
利用开平方法，得： ， 即：
②当 时，
这时，在实数范围内，x取任何值都不能使方程 左右两边的值相等，所以原方
程没有实数根．
二、求根公式
一元二次方程 （ ），当 时，有两个实数根：
，
这就是一元二次方程 （ ）的求根公式．
三、用公式法解一元二次方程一般步骤
①把一元二次方程化成一般形式 （ ）；
②确定a、b、c的值；
③求出 的值（或代数式）；
④若 ，则把a、b、c及 的值代入求根公式，求出 、 ；若 ，则方程
无解．
四、 根的判别式
1.一元二次方程根的判别式：我们把 叫做一元二次方程 的根的判别式，
通常用符号“ ”表示，记作
．
2.一元二次方程 ，
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根．
五、根的判别式的应用
（1）不解方程判定方程根的情况；
（2）根据参数系数的性质确定根的范围；
（3）解与根有关的证明题．
【方法二】实例探索法
题型1用公式法解一元二次方程
例1.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
例2.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
例3.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．例4.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
例5.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
题型2解系数中有字母的一元二次方程
例6.用配方法解下列关于x的方程： （ ）．
例7.用公式法解下列关于x的方程：
（1） ； （2） ．题型3用一元二次方程的公式法解决实际问题
例8.某商场销售一批衬衫，进货价为每件 元，按每件 元出售，一个月内可售出 件．已知这种
衬衫每件涨价 元，其销售量要减少 件．为了减少库存量，且在月内赚取 元的利润，售价应定
为每件多少元？
题型4运用换元法求代数式的值
例9.已知 ，求代数式 的值．
例10.已知 ，求 的值．
题型5根的判别式
例11.不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．例12.已知方程组 的解是 ，试判断关于 的方程 的根的情况．
例13.当 取何值时，关于 的方程 ，
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？
题型6根的判别式的应用
例14.证明：方程 有两个不相等的实数根．
例 15.如果 是实数，且不等式 的解集是 ，那么关于 的一元二次方程
的根的情况如何?例16.已知关于 的方程 总有实数根，求 的取值范围．
【方法三】差异对比法
易错点1忽略了△的取值，直接将系数代入求根公式
例11.用公式法解下列方程：
（1） ； （2） ．
【方法四】 仿真实战法
考法：用公式法解一元二次方程
1．（2021•无锡）（解方程：2x（x﹣2）＝1；
2．（2020•无锡）解方程：x2+x﹣1＝0；
【方法五】 成果评定法
一、单选题1．（2023·云南红河·统考二模）一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．一个实数根
C．两个相等的实数根 D．两个不相等的实数根
2．（2023年河南省洛阳市中考三模数学试题）定义运算： ．例如：
，则方程 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．无实数根
C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根
3．（2023·云南楚雄·统考三模）关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是
（ ）
A． B． 且 C． 且 D．
4．（2023·河南商丘·统考三模）对于实数 、 定义运算“ ”为 ，例如
，则关于 的方程 的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．（2023·河南郑州·郑州市第八中学校考二模）王林准备解一元二次方程 时，发现常数项被
污染，若该方程有实数根，则 处的数可能是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
6．（2023·云南昆明·统考二模）若关于x的一元二次方程 没有实数根，则k的值可以是（
）
A． B． C． D．0
7．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． 且 D．8．（2023·云南楚雄·统考一模）已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（
）
A． B． C． ，或 D． ，或
9．（2023·山西·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则一次函数
的图像一定不经过( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2023·浙江杭州·统考二模）已知点A，B，C是直线l上互不重合的三个点，设 ，
， ，其中n，a是常数，（ ）
A．若 ，则点A在点B，C之间 B．若 ，则点A在点B，C之间
C．若 ，则点C在点A，B之间 D．若 ，则点C在点A，B之间
二、填空题
11．（2023·山东青岛·统考二模）已知一元二次方程 有实数解，则k的取值范围是：
________．
12．（2023·山东济南·统考二模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的
取值范围是________．
13．（2023·四川成都·统考二模）关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围是______．
14．（2023春·北京房山·八年级统考期末）关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取
值范围是_________．
15．（2023春·浙江·八年级期中）下列关于一元二次方程 的命题中，真命题有
_________（填序号）
①若 ，则 ；②若方程 两根为1和2，则 ；③若方程
有两个不相等的实根，则方程 必有实根．
16．（2023·江苏扬州·统考二模）若关于x的一元二次方程 没有实数根，则c的取值范围是______．
17．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组 的解
集为 ，关于x的一元二次方程 有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是
_________．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知 ， 为实数，且满足 ，记 的
最大值为 ，最小值为 ，则 ___________．
19．（2023春·浙江杭州·九年级翠苑中学校考阶段练习）如图是一张菱形纸片， ， ，
点 在边 上，且 ，点 在 边上，把 沿直线 对折，点 的对应点为点 ，当点
落在菱形对角线上时，则 _____．
三、解答题
20．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： （公式法）
21．（2023·安徽淮北·校考模拟预测）将一些相同的“☆”按如图所示摆放，观察其规律并回答下列问题：
(1)图6中的“☆”的个数有_________个；
(2)图 中的“☆”的个数有_________个；
(3)图 中的“☆”的个数可能是100个吗；如果能，求出 的值；如果不能，试用一元二次方程的相关知识说明理由．
22．（2023春·北京房山·八年级统考期末）已知：关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)写出一个满足条件的a的值，并求此时方程的根．
23．（2023·全国·九年级专题练习）解方程： ．
24．（2023·广东广州·统考二模）已知正方形 中， ，E是边 上的动点，连接 和 ．
(1)尺规作图：在图中分别作线段 和 的中点F和G，连接FG；（不写作法，不说明理由，写明结论
并保留作图痕迹）
(2)当 时，求（1）中所作的线段 的长度．25．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AB= ，BC= ，点D是边AB的
△
中点，点E是边AC上一个动点，作线段DE的垂直平分线分别交边AC、BC于点M、N，设AM=x，
ME=y．
(1)当点E与点C重合时，求ME的长；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
(3)当MN经过 ABC一边中点时，请直接写出ME的长．
△
26．（2023春·全国·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（2，0），点C是y轴上的动
点，当点C在y轴上移动时，始终保持 是等边三角形（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C
移动到O点时，得到等边三角形 （此时点P与点B重合）．(1)点B的坐标为 ，直线 的表达式为 ．
(2)点C在y轴上移动过程中，当等边三角形 的顶点P在第二象限时，连接 求证： ；
(3)当点C在y轴上移动时，点P也随之运动，探究点P在移动过程中有怎样的规律？请将这个规律用函数
关系式表达出来；
(4)点C在y轴上移动过程中，当 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
27．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）如图1．在平面直角坐标系中，直线 与
轴， 轴交于 、 两点．将直线 竖直向上平移2个单位后与 交于点 ，与
轴交于 ．
(1)求点C的坐标；(2)连接 ，在直线 上是否存在点E，使得 ．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由；
(3)如图2，已知 ， ，过B作 轴且 ；若点G沿 方向以每秒2个单位长
度运动，同时， 点沿 方向以每秒1个单位长度运动经过t秒的运动， 到达 处， 到达 处，连
接 、 ．问： 能否平分 ？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
