文档内容
专题03 三角形章末重难点题型专训
【题型目录】
题型一 三角形的识别与个数问题
题型二 三角形的分类
题型三 确定三角形第三边的取值范围
题型四 三角形三边关系的应用
题型五 与三角形的高有关的计算问题
题型六 根据三角形中线求长度、面积
题型七 三角形角平分线的应用
题型八 三角形内角和定理的应用
题型九 三角形外角性质的应用
题型十 直角三角形性质的应用
题型十一 多边形的内角与外角综合
题型十二 角度计算探究题
【经典例题一 三角形的识别与个数问题】
【例1】（2021春·全国·七年级专题练习）根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去
第n个图中的三角形的个数是( )
A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n；
【变式训练】
1．（2022·江西萍乡·统考一模）由18根完全相同的火柴棒摆成的图形如图所示，如果去掉其中的3根，
那么就可以剩下7个三角形．以下去掉3根的方法正确的是（ ）A． B． C． D．
2．（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有_______个三角形，其中直角三角形是______．
（2）以线段 为公共边的三角形是___________．
（3）线段 所在的三角形是_______， 边所对的角是________．
3．（2020秋·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）题情景：在三角形纸片内部给定－些点，
满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸
片，一共能得到几个小三角形？
问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：
继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：
内部点的个数 1 2 3 n
得到三角形个数 3 5
拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角形个数的关系，完成表格：
内部点的个数 1 2 3 n
得到三角形个数
概括提升：设纸片的边数为m，内部点的个数为n，得到三角形的个数是x，请直接写出x与m、n的关系：
______________．
【经典例题二 三角形的分类】【例2】（2022秋·八年级课时练习）下列说法：
①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；
②等边三角形是特殊的等腰三角形；
③等腰三角形是特殊的等边三角形；
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝
角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不
是等腰三角形．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022秋·八年级课时练习）已知a，b，c为三个正整数，如果a+b+c=12，那么以a，b，c为边能组成
的三角形是：①等腰三角形，②等边三角形，③直角三角形，④钝角三角形.以上结论正确的是______.
（只填序号）
3．（2023春·全国·七年级专题练习）满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形．
(1)△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；
(2)三个内角的度数之比为1:2:3.
【经典例题三 确定三角形第三边的取值范围】
【例3】（2022秋·广东中山·八年级校考阶段练习）一个三角形的3边长分别是 、 ，
，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式训练】
1．（2021秋·江苏盐城·七年级统考期末）已知线段AB＝9cm，AC＝5cm，下面有四个说法：①线段BC长
可能为4cm；②线段BC长可能为14cm；③线段BC长不可能为3cm；④线段BC长可能为9cm．所有正确
说法的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
2．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）小朦同学从五根长为 ， ， ， ，
的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了 和 两根木棍，那么第三根木棍不可能取_____．
3．（2023春·七年级单元测试）已知三角形的两边长为5和7，第三边的边长a．
(1)求a的取值范围；
(2)若a为整数，当a为何值时，组成的三角形的周长最大，最大值是多少？
【经典例题四 三角形三边关系的应用】
【例4】（2023春·江苏·七年级统考期末）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计
螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角
时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【变式训练】
1．（2023·河北沧州·统考三模）有四根长度分别为2，4，5， （ 为正整数）的木棒，从中任取三根，
首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（ ）
A．最小值是8 B．最小值是9 C．最大值是13 D．最大值是142．（2022春·广东清远·七年级统考期末）已知a，b，c为△ABC的三边，且a，b满足关系式
，若 的周长为偶数，则 的周长为__________．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图1，点 是 内部一点，连接 ，并延长交 于点 ．
(1)试探究 与 的大小关系；
(2)试探究 与 的大小关系；
(3)如图2，点 ， 是 内部两点，试探究 与 的大小关系．
【经典例题五 与三角形的高有关的计算题】
【例5】（2023·江苏·七年级假期作业）如图， ， 分别为 的中线和高线， 的面积为5，
，则 的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【变式训练】
1．（2023·江苏·七年级假期作业）如图 中， ， ， ， ， 是
的角平分线， 是 边的中线， 于点E，下列结论正确的有（ ）个
① 为 中 边上的高②线段 、 、 中，线段 的长度最短
③若 ，则
④D到 的距离为 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023春·江苏南京·七年级南京市第一中学校考阶段练习）在 中，点 ， 分别在 ， 上，
且 与 相交于点 ，已知 的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，则四边形
的面积为__．
3．（2023春·上海宝山·七年级校考期中）如图，在 中，按下列要求画图并填空：
(1)画 边 上的高 ；
(2) 在 上，连接 ，使得 ，请画出点 ；
(3)已知 ， ， ，那么点 到直线 的距离为_______， 的面积为_______．【经典例题六 根据三角形中线求长度、面积】
【例6】．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）如图，在 中， 是 的中线， 是
的中线， ， ，垂足分别为 ， ．若 的周长为43， ，
， ，则 的长为（ ）
A．5 B． C．9 D．
【变式训练】
1．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直
线l上的两动点，且 ，连接 ，点D、E分别为 的中点， 为 的中线，连接
，若四边形 的面积为5，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）如图，在 中， 是边 上的中线， ，
与 相交于点F，四边形 的面积是18，则 的面积为_______________3．（2023春·七年级单元测试）如图，已知 ， 分别是 的高和中线， ， ，
， ．试求：
(1) 的长；
(2) 的面积；
(3) 和 的周长差．
【经典例题七 三角形角平分线的应用】
【例7】（2023春·江苏·七年级期末）如图， 为直角三角形， ， 为 的平分线，
与 的平分线 交于点E， 是 的外角平分线， 与 相交于点G，则 与
的和为（ ）A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级期末）如图，在 中， ， ， 分别平分 和 ，且
相交于F， ， 于点G，则下列结论① ；② 平分 ；③
；④ ；⑤ ，其中正确的结论有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）在 中， ， 是 的高，
， 的平分线交 于点E，则 ____________°
3．（2023春·河南驻马店·七年级校考阶段练习）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在 中， 平分 ， 于
点D，过点D作 分别交 ， 于点E，F．
(1)问题解决：如图1，若 ，求 的度数．(2)如图1，若 ， ，试猜想 与 之间的数量关系，并说明理由．
(3)问题拓展：如图2，若过点D作 交 于点G，连接 ，交 于点O，试探究 是否平分
，并说明理由．
【经典例题八 三角形内角和定理的应用】
【例8】（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）如图，将 沿 ， 翻折，顶点A，B均落在点O
处，且 与 重合于线段 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·浙江台州·七年级统考期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含
角的三角尺 固定不动，将含 角的三角尺 绕顶点B顺时针转动（转动角度小于 ）．当
与三角尺 的其中一条边所在的直线互相平行时， 的度数是（ ）
A． 或 或 B． 或 或C． 或 或 D． 或 或
2．（2023春·河南驻马店·七年级统考期末）如图，一张三角形纸片 中， ，点 在边 上，
先将纸片沿 折叠，点 落在点 处， 交 于点 （如图1），再将 沿 折叠，点 恰好落
在折痕 上的点 处，此时 （如图2），则 的度数是______．
3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）【延伸学习】学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如
下问题：
已知：如图1，D为三角形 的边 的延长线上一点，射线 ．
求证： ．
请你完成证明过程．
【总结应用】
①请用一句话概括以上证明的结论： ；
②如图2，D为三角形 的边 的延长线上一点，且 ， ，求 的度数．
【拓展推广】如图3，在三角形 中， 平分 ， ， ， ，求
的度数．【经典例题九 三角形外角性质的应用】
【例9】（2023春·广西贵港·七年级统考期末）如图， 和 是由 分别沿着 ， 翻折
后形成的，若 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边
上的高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：
① ；
② ；
③ ；④ ．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023春·江苏南京·七年级南京钟英中学校考阶段练习）如图，在 中， 与 的平分
线相交于点P， 的外角 与 的平分线交于点Q，延长线段 ， 交于点E．在
中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则 的度数为___________．
3．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）如图，在 中， 比 大 ．点
是线段 上任意一点，点 分别在线段 上．将 折叠，点 落在点 处，点 落在点
处，折痕分别为 和 ，点 都在射线 上．
(1) ______， ______， _______．(2)如图1，当点 都落在 的延长线上时， 与 有什么数量关系？请说明理由．
(3)如图2，当点 落在线段 上，点 落在 的延长线时，请直接写出 与 的数量关系．
【经典例题十 直角三角形性质的应用】
【例10】（2022春·贵州贵阳·七年级校联考期末）如图， 是 的高， 是 的角平分线，若
， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2022春·福建厦门·七年级厦门双十中学校考期中）如图，四边形 中， ， ，
点 在线段 上， 平分 ，交 于点 ，交 延长线于点 ，若 ，
，设 ， ，则 与 的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·江苏南京·七年级校考阶段练习）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1＋
∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB
CD；②∠AEB＋∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠MAF＋∠NDA＝135°；⑤∠F＝135°，其中正确的
有________（填写序号）3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨风华中学校考期中）如图，在 中， ，交 的延
长线于D， 于E，
(1)如图1，若 ， ，求 的度数；
(2)如图2，若 平分 ， 交 的延长线于F，直接写出与 相等的角（ 除
外）．
【经典例题十一 多边形的内角与外角综合】
【例11】（2022春·七年级单元测试）正五边形 按如图所示的方式叠放在正六边形 上，
边互相重合，延长 交 于点 ，则 的度数为（ ）
A．141 B．144 C．147 D．150
【变式训练】
1．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1，作 平分线的反向延长线 ，现要分别以
为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时 ，而 是
(多边形外角和)的 ，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图
案．如图2所示，图2中的图案外轮廓周长是14．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为
会标，则会标的外轮廓周长是（ ）
A．14 B．16 C．19 D．21
2．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若
∠1，∠2，∠3，∠4对应的邻补角和等于220°，则∠BOD等于________．
3．（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，
小红每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场 的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若
，且 ，求行程中小红身体转过的角度的和（图 的值）．【经典例题十二 角度计算探究题】
【例12】（2023春·江苏无锡·七年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）在 中， 分别是高
和角平分线，点F在 的延长线上， 交 于点G，交 于点H，下列结论：
① ；
② ；
③ ，
④ ；
其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
1．（2023春·七年级课时练习）如图， ， ， ， 分别平分 的内角 ，
外角 ，外角 ．以下结论： ； ； ；
； ．其中正确的结论有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023春·江苏盐城·七年级统考期末）如图， ， ，且 ，
，则 的度数为______°．
3．（2023春·福建龙岩·七年级统考期末）如图1，已知直线 与直线 交于点E，直线 与直线
交于点F， 平分 交直线 于点M，且 ．
(1)求证： ；
(2)点G是射线 上的一个动点（不与点M、F重合）， 平分 交直线 于点H，过点H作
交直线 于点N，设 ， ．
①如图2，当点G在点F的右侧时，若 ，求 的值，并说明理由；
②当点G在运动过程中， 和 之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【重难点训练】
1．（2023春·河南郑州·七年级统考期末）如图，有一个角为 的直角三角板放置在一个长方形直尺上，
若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
2．（2023春·江西鹰潭·七年级校考阶段练习）如图，在 中， 平分 ， 于点 ，若
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河北邢台·七年级校联考阶段练习）如图， 沿 折叠使点A落在点 处， 、 分
别是 、 平分线，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·福建福州·七年级统考期中）如图， ，点E在 上， ，
点O，M，N分别在 ， ， 上， ， ，则 不可能取到的度数为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如果一个多边形的内角和为 ，那么这个多边形是
_______边形．
6．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知 ， 是 的平分线， ，，点 、 分别在 、 上，当 ______°时，恰有 ．
7．（2023春·河北沧州·七年级校考阶段练习）黑板上有一个数学问题如图8所示：
如图 ， 交 于点C， 平分 交 于E， ， ，M，N分别是
， 延长线上的点， 和 的平分线交于点F.
（1）直线 和 的位置关系是_________.
（2） 的值为________， 的值为________.
8．（2023春·广东佛山·七年级统考期末）如图， 中，点D、E分别是 、 的中点，连接 、
交于点F．当 的面积为 时， 的面积为________．
9．（2023春·江苏镇江·七年级丹阳市第八中学校考期末）如图，已知 ， ．(1)求证： ；
(2)连接 ，若 ， ， ，则 ___________ ．
10．（2023春·广东梅州·八年级统考期末）研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有
怎样的数量关系？
【回顾】如图①，请直接写出 与 、 之间的数量关系：______．
【探究】如图②， 是四边形 的外角，求证： ．
【结论】若 边形的一个外角为 ，与其不相邻的内角之和为 ，则 ， 与 的数量关系是______．
11．（2023春·山西临汾·七年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系
呢？如图1，在五边形 中， 是它的两个外角，则 ．下面是该结论的
证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为 ，
∴ ．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形 中， 分别是 和 的平分线，若
，求 的度数；
(3)拓展提升：如图3， ， ，则 _______．
12．（2023春·浙江宁波·七年级校考期末）已知， ，点E为射线 上一点．(1)如图1，若 ， ，则 ______°；
(2)如图2，当点E在 延长线上时，此时 与 交于点H，则 、 、 之间满足怎
样的关系，请说明你的结论；
(3)如图3， 平分 ，交 于点K，交 于点I，且 ， ， ，
求 的度数．
