文档内容
专题 03 全等三角形中动点与新定义型问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题..............................................................................................1
题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题..............................................................................................4
题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题..........................................................................................9
题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题............................................................................................12
题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题....................................................................................16
B综合攻坚・能力跃升
题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题
1.如图， 中， ， ， ，直线 经过点 且与边 相交．动点 从点
出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿 路径向终点 运动．点 和点 的
速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过
点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为 秒，则当 为（ ）秒时， 与
全等．
A．12或 B．2或 或10 C．1或 D．2或 或12
2.如图，在长方形 中， ，延长 到点E，使 ，连接 ，动点P从点B出发，
以每秒2个单位的速度沿 向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒
时， 与 全等．
3.如图， ，垂足为点 ， 米， 米，射线 ，垂足为点 ，动点 从 点出
发以2米/秒沿射线 运动，点 为射线 上一动点，随着 点运动而运动，且始终保持 ，当
点 经过 秒时（不包括0秒），由点 组成的三角形与 全等．题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题
4．如图，在长方形 中， ， ，延长 至点 使 ，连接 ，动点 从
点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动．当点 运动 秒时， 和
全等．
5．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 运
动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 运动，到达点 停止，规定
其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当 为 时， 与 全等．
6．在 中， ， ， ， ，动点P从点A出发，沿
运动，回到点A停止，速度为 ．
（1）如图1，当点P到 ， 的距离 与 相等时， ；
（2）如图2，在 中， ， ， ， ．在 中，若另外有一个
动点Q与点P同时出发，从点A沿着 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰
好 ，则点Q的运动速度为 ．题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题
7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 的角平分线，点E、F分别是
上的动点，若 ，当 的值最小时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，钝角 的面积为12，最长边 ， 平分 ，点M、N分别是 上的动点，
则 的最小值是 ．
9.如图，在 中， ， ， ， ，点D是 上一点，连接 ，点D
到 的距离等于 的长，P、Q分别是 上的动点，连接 ，则 的最小值是
．
题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题
10．如图，点 为 外一动点，连接 并延长至点 ，连接 交 于点 ．过点 作 的垂线
于点 ， ，已知 ．证明： 为 的平分线．
11．如图，在 中， ，点 是线段 上的一动点（不与点 、 重合），以 为一边在的右侧作 ，使 ， ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)设 ， ．当点 在线段 上， 时，请你探究写出 与 之间的数量关系
是多少？
12．在 中， ， ， 是直线 上的一个动点，连接 ，过点 作 的垂
线，垂足为点 ，过点 作 的平行线交直线 于点 ．
(1)基础探究：如图1，当点 为 的中点时，请直接写出线段 与 的数量关系．
(2)能力提升：如图2，当点 在线段 上（不与 重合）时，探究线段 ， ， 之间的数量关
系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．
(3)拓展探究：如图3，当点 在线段 或者 的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段 ，
， 之间的数量关系．
题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题
13.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在 中， ，P为边 上一点，若 与 是积等三角形，求
的长；
【理解运用】
（2）如图2， 与 为积等三角形，若 ，且线段 的长度为正整数，求 的
长．
【综合应用】
（3）如图3，在 中 ，过点C作 ，点 是射线 上一点，以
为边作 ，连接 ．请判断 与 是否为积等三角形，并说明
理由．14.定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．
如图， 和 为“同源三角形”， ， ， 与 为“同源角”．
(1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则
______°．
(3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为 时，分别取 ， 的中点 ，
，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形．
15.【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线
交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是 的
“边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______；
(2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______；(3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点
为点F，连接 ， ，且 ，求证： ．
一、单选题
1．如图，在四边形 中， ，点 是 边上的动点，连接 ，若 平分
，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．题目：“如图，已知 ， ， ，动点 以 的速度从点 出发沿边
向终点 移动，动点 以 的速度从点 出发沿边 向终点 匀速移动，动点 从点 出发沿对
角线 向终点 移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接 ，
求动点 的速度为多少时，存在某个时刻，使得以 为顶点的三角形与 全等（点 与点
是对应点）．”甲答： ，乙答： ，丙答： ，则正确的是（ ）
A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整
C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整
3．如图，点 是射线 上的动点， 的平分线和 的平分线所在直线相交于点D，
连接 ，若 的大小为（ ）
A． B．C． D．随2点 的移动而变化
二、填空题
4．如图， 平分 ， 于点 ，点 是射线 上一个动点，若 ，则 的最小值为
．
5．如图，在 中， ， ， ，AD平分 交BC于点D，过点D作
交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则 的最小值为 ．
6．如图，在 中， ， ， 为射线 上一动点，连结 ，将 绕点 顺时
针旋转 至 交直线 于点 ，若 ，则 ．
三、解答题
7．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 与 为偏等积三角形，
如图， ， 且线段 的长度为正整数，过点 作 交 的延长线于点 ．
(1)求证：
(2)求 的长度．
8．如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交 于点 ；动点 、 同时从 点出发，其中动点 以 的速度沿射线 方向运动，动点 以 的速度沿直线 上运动；已知
，设动点 ， 的运动时间为 ．
(1)若 ，试求动点 的运动时间 的值；
(2)试问当动点 ， 在运动过程中，是否存在某个时间 ，使得 与 全等？若存在，请求出时
间 的值；若不存在，请说出理由．
9．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟
友谊三角形．
(1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形；
(2)如图1，在四边形 中， 平分 ， ， 与 是珺琟友谊三角形，请探究
与 之间的关系；
(3)如图2，在四边形 中， ，求证： 与 是珺琟友谊
三角形．
10．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形 中，若
或 ，则四边形 是“对补四边形”．
(1)如图2，四边形 是“对补四边形”， 是四边形 的一个外角，求证： ；(2)在（1）的条件下， ， ，在 上取点E，使 ，在 上取点F，使
，连接 ，点G是 的中点，过点E作 与 的延长线相交于点H，连接 ， ，
探索 与 的关系，并证明．
11．知识再现：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图①， 是 的平分线 上任意一点，若 ，
，垂足分别为 ， ，则 ．
从运动角度看：
如图①，射线 是 的平分线， ， ， 分别是 ， ， 上的动点，若
，则 ．
(1)初步探究：
如图②，射线 是 的平分线， ， ， 分别是 ， ， 上的动点，若 ，
则 与 的数量关系是______；
(2)猜想验证：
如图③，射线 是 的平分线， ， ， 分别是 ， ， 上的动点，若 ，则
与 的大小有什么关系？请写出你的结论并证明；
(3)拓展应用：
在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 在函数 的图象上，点 在 轴上，连接 ，
，若 ，请直接写出点 的坐标．
12．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
初步尝试：
（1）如图①，在 中，若 ， ， 为 上一点，当 的长为_____时，与 为偏等积三角形；
理解运用：
（2）如图②，已知：在钝角 中（ ）， 与 为偏等积三角形，若 ，
， ，试求 的取值范围；
综合应用：
（3）如图③，已知 为直角三角形， ，分别以 ， 为边向外作正方形 和正方
形 ，连接 ，求证： 与 为偏等积三角形．
