专题03全等三角形中动点与新定义型问题（专项训练）（解析版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2026版

专题 03 全等三角形中动点与新定义型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题..............................................................................................1 题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题..............................................................................................4 题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题..........................................................................................9 题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题............................................................................................12 题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题....................................................................................16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题 1.如图， 中， ， ， ，直线 经过点 且与边 相交．动点 从点 出发沿 路径向终点 运动；动点 从点 出发沿 路径向终点 运动．点 和点 的 速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当点 到达终点 时计时结束．在某时刻分别过 点 和点 作 于点 ， 于点 ，设运动时间为 秒，则当 为（ ）秒时， 与 全等． A．12或 B．2或 或10 C．1或 D．2或 或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三 角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在 上，点P在 上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计 算即可． 【详解】解：①如图1，Q在 上，点P在 上时，作 ，由题意得， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 当 时， 则 ， 即 ， 解得： ； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得， ， ∵ ， ∴ ， 当 ， 则 ， ∴ ， 解得： ； ③如图3，当点Q与A重合时，由题意得， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当 ， 则 ， 即 ， 解得： ； 当综上所述：当 秒或 秒或12秒时， 与 全等， 故选D． 2.如图，在长方形 中， ，延长 到点E，使 ，连接 ，动点P从点B出发， 以每秒2个单位的速度沿 向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒 时， 与 全等． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有： ．根据题意，分两种情况 进行讨论，根据题意得出 和 即可求得． 【详解】解：由题意得： ， 若 ， 根据 证得 ， ，即 ， 若 ， 根据 证得 ， ，即 ．当t的值为1或7秒时． 与 全等． 故答案为：1或7． 3.如图， ，垂足为点 ， 米， 米，射线 ，垂足为点 ，动点 从 点出 发以2米/秒沿射线 运动，点 为射线 上一动点，随着 点运动而运动，且始终保持 ，当 点 经过 秒时（不包括0秒），由点 组成的三角形与 全等． 【答案】 秒或 秒或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，分四种情况：当点 在线段 上， 时， ；当 在 上， 时， ；当 在线段 上， 时；当 在 上， 时， ；分别利用三角形全等的性质进行求解即可，熟练掌握三角形全等的 判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：当点 在线段 上， 时， ， ， ， ， 点 的运动时间为 （秒）； 当 在 上， 时， ， ， ， ， 点 的运动时间为 （秒）； 当 在线段 上， 时，此时 在 点未动，时间为 秒，不符合题意； 当 在 上， 时， ， ， ， ， 点 的运动时间为 （秒）； 综上所述，当点 经过 秒或 秒或 秒时（不包括0秒），由点 组成的三角形与 全等， 故答案为： 秒或 秒或 ．题型二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题 4．如图，在长方形 中， ， ，延长 至点 使 ，连接 ，动点 从 点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动．当点 运动 秒时， 和 全等． 【答案】 或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，①点 在 上时，由全等三角形的性质，即可求解；②点 在 上时，同理可求；掌握全等三角形的性质，能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①点 在 上时，如图， ， ， 运动 秒； ②点 在 上时，如图， ， ， ， 的运动路程为： ， ， 运动 秒；运动 或 秒； 故答案为： 或 ． 5．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 运 动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 运动，到达点 停止，规定 其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当 为 时， 与 全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：① 得到 ， ，② 得到 ， ，然后分别计算出 的值，进而得到 的值． 【详解】解：①当 ， 时， ， ， ， ， ，解得： ， ， ， 解得： ； ②当 ， 时， ， ， ， ，解得： ， ， ， 解得： ， 综上所述，当 或 时， 与 全等， 故答案为：2或 ． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 6．在 中， ， ， ， ，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为 ． （1）如图1，当点P到 ， 的距离 与 相等时， ； （2）如图2，在 中， ， ， ， ．在 中，若另外有一个 动点Q与点P同时出发，从点A沿着 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰 好 ，则点Q的运动速度为 ． 【答案】 3 或 或 或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、角平分线的判定；解题的关键是注意分类讨论． （1）连接 ，证明 ，得出 ，根据 即可求出结果； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点 所走的路程，进而可求出 的运 动时间，即 的运动时间，再利用速度 路程 时间求解即可． 【详解】解：（1）连接 ，如图所示： ∵点P到 ， 的距离 与 相等， ∴ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：3． （2）设点 的运动速度为 ， ①当点 在 上，点 在 上， 时，， ∴运动时间为 。 则 ， 解得 ； ②当点 在 上，点 在 上， 时， ， ∴运动时间为 ， 则 ， 解得： ； ③当点P在 上，点 在 上， 时， ， ∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ， ∴此时运动时间为 ， 则 ，解得 ； ④当点P在 上，点Q在 上， 时 ， ∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ， ∴此时运动时间为 ， 则 ， 解得 ； ∴ 运动的速度为 或 或 或 ． 故答案为： 或 或 或 ． 题型三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题 7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在 中， 是 的角平分线，点E、F分别是 上的动点，若 ，当 的值最小时， 的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点 作 于点 ， 交 于点 ，过点 作 于点 ，与 交于点 ，连接 ，可证得 ， 同理 ，可知 ， ， ，进而可知 ，即 ， 在 上时 最小．由 是 的角平分线，可知 ，由“直角三角形两锐 角互余”可得 ，则 ，由此可得结论．【详解】解：在 上，作 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，与 交于点 ，连接 ， ，如图，则 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ，同理 ， ∴ ， ， ， ∴ ，即： ， 在 上时 最小． 是 的角平分线， ， ∵ ， ，则 ， ． 故选C． 8.如图，钝角 的面积为12，最长边 ， 平分 ，点M、N分别是 上的动点， 则 的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一 道比较好的题目．过点C作 于点E，交 于点M，过点M作 于N，则当点C，M，N 三点重合时， 取得最小值，最小值为 的长．再根据三角形的面积公式求出 的长，即可． 【详解】解：过点C作 于点E，交 于点M，过点M作 于N，∵ 平分 ， ， ， ∴ ， ∴ ， 即当点C，M，N三点重合时， 取得最小值，最小值为 的长． ∵ 的面积为12，最长边 ， ∴ ，即 ， ∴ 即 的最小值为3． 故答案为：3． 9.如图，在 中， ， ， ， ，点D是 上一点，连接 ，点D 到 的距离等于 的长，P、Q分别是 上的动点，连接 ，则 的最小值是 ． 【答案】 / / 【分析】 本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知 是 的平分线，过点 作 交 于点 ，再过点 作 交 于点 ，此时 有最小值． 【详解】解：点D到 的距离等于 的长， ∴ 是 的平分线， 过点 作 交 于点 ，再过点 作 交 于点 ， ∴ ， ∵ ， ∴此时 有最小值， ∵ 中， ， ， ， ，∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 题型四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题 10．如图，点 为 外一动点，连接 并延长至点 ，连接 交 于点 ．过点 作 的垂线 于点 ， ，已知 ．证明： 为 的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定．过 作 于点 ， 于 点 ，利用 定理证明 ，得到 ，再证出 ，根据全等三 角形的性质即可得证； 【详解】证明：如图，过 作 于点 ， 于点 ， ∵ ， ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ． ∴ ， 在 和 中，， ∴ ， ∴ ， ∴ 为 的平分线． 11．如图，在 中， ，点 是线段 上的一动点（不与点 、 重合），以 为一边在 的右侧作 ，使 ， ，连接 ． (1)求证： ； (2)设 ， ．当点 在线段 上， 时，请你探究写出 与 之间的数量关系 是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) ，理由见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的 关键． （1）证明 ，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明 ，利用全等三角形的对应角相等得到 ，进而利用三角形的内角 和定理和等量代换进行角度运算可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， 即 ， 在 和 中， ， ； （2）解： ，理由如下： ， ， ，在 和 中， ， ， ， ， ． 12．在 中， ， ， 是直线 上的一个动点，连接 ，过点 作 的垂 线，垂足为点 ，过点 作 的平行线交直线 于点 ． (1)基础探究：如图1，当点 为 的中点时，请直接写出线段 与 的数量关系． (2)能力提升：如图2，当点 在线段 上（不与 重合）时，探究线段 ， ， 之间的数量关 系（要求：写出发现的结论，并说明理由）． (3)拓展探究：如图3，当点 在线段 或者 的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段 ， ， 之间的数量关系． 【答案】(1) (2) ，理由见详解 (3)图见详解，当点 在线段 的延长线上运动时： ，当点 在线段 的延长线上运动时： 【分析】（1）根据 证明 ，则可得 ，由点 为 的中点，可得 ， 则可得 ，由 可得 ； （2）同（1）证法相同，先证 ，则可得 ，由 ， ，可得 ； （3）①当点 在线段 的延长线上运动时，同（1）得 ，由 ， 可得 ； ②当点 在线段 的延长线上运动时，同（1）得 ，由 ，可得 ． 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵ 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ， ∵点 为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：当点 在线段 上（不与 重合）时，线段 ， ， 之间的数量关系为 ，理由如下： ∵ 中， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． （3）解：①如图，当点 在线段 的延长线上运动时， 同（1）得 ， ∴ ∵ ， ， ∴ ； ②如图，当点 在线段 的延长线上运动时， 同（1）得 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、平行线的性质、三角形的内角和定理、余角性质，熟练掌 握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题 13.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．【初步尝试】 （1）如图1，在 中， ，P为边 上一点，若 与 是积等三角形，求 的长； 【理解运用】 （2）如图2， 与 为积等三角形，若 ，且线段 的长度为正整数，求 的 长． 【综合应用】 （3）如图3，在 中 ，过点C作 ，点 是射线 上一点，以 为边作 ，连接 ．请判断 与 是否为积等三角形，并说明 理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关 键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明 ，推出 ，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点 作 于点 ，先证明 则 ，然后再依据积等三角 形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点 作 于 ， 与 是积等三角形， ， ， ， ；（2）解：如图2，延长 至 ，使 ，连接 ， 与 为积等三角形， 在 和 中， ， 在 中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点 作 于点 ， 在 和 中，， 与 为积等三角形． 14.定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”． 如图， 和 为“同源三角形”， ， ， 与 为“同源角”． (1)如图1， 和 为“同源三角形”，试判断 与 的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形” 和 上的点 ， ， 在同一条直线上，且 ，则 ______°． (3)如图3， 和 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为 时，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，试说明 是等腰直角三角形． 【答案】(1) ，详见解析 (2)45 (3)见解析【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知 识， （1）由“同源三角形”的定义可证 ，然后根据 证明 即可； （2）由“同源三角形”的定义和 可求出 ，由（1）可知 ， 得 ，然后根据“8”字形图形即可求出 的度数； （3）由（1）可知 ，可得 ，根据 证明 ，可得 ，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1） ． 理由：∵ 和 是“同源三角形”， ∴ ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ． （2）∵ 和 是“同源三角形”， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 由（1）可知 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：45； （3）由（1）可知 ， ∴ ， ．， 的中点分别为 ， ∴ ． 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形． 15.【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线 ， 上，过点A垂直 的直线与过点B垂直 的直线 交于点Q，则我们把 称为 的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1， ， 分别是 的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道 是 的 “边垂角”或 是 的“边垂角”， 的“边垂角”是______； (2)若 是 的“边垂角”，则 与 的数量关系是______； (3)若 是 的“边垂角”，且 ．如图2， 交 于点E，点C关于直线 对称点 为点F，连接 ， ，且 ，求证： ． 【答案】(1) (2) 或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论；（3）延长 交于点 ，先证明 ，再证明 ，依据题意得出 ，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义， 的“边垂角”是 ； （2）解：若 是 的“边垂角”，分两种情况 ①如图， 是 的“边垂角”， ， ， ， ， ②如图， 是 的“边垂角”， ， ， ， ， 综上所述， 与 的数量关系是 或 ； （3）解：延长 交于点 ， 是 的“边垂角”， ∴ ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点 关于直线 对称点为点 ， ， ， ； 一、单选题 1．如图，在四边形 中， ，点 是 边上的动点，连接 ，若 平分 ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质定理、垂线段最短，过A作 于 ，则 的长为 的最小值， 根据角平分线的性质定理求得 即可． 【详解】解：过A作 于 ，则 的长为 的最小值，∵ 平分 ， ， ， ， ∴ ， 即 的最小值为2， 故选：B． 2．题目：“如图，已知 ， ， ，动点 以 的速度从点 出发沿边 向终点 移动，动点 以 的速度从点 出发沿边 向终点 匀速移动，动点 从点 出发沿对 角线 向终点 移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接 ， 求动点 的速度为多少时，存在某个时刻，使得以 为顶点的三角形与 全等（点 与点 是对应点）．”甲答： ，乙答： ，丙答： ，则正确的是（ ） A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得， ， ，即得 ，又由 可得 ，然后分 和 两种情况根据全等三角形 的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 当 时，则 ， ， ∴ ， ， ∴ ，∴此时点 的速度为 ； 当 时，则 ， ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴此时点 的速度为 ； 综上，动点 的速度为 或 ， 故选： ． 3．如图，点 是射线 上的动点， 的平分线和 的平分线所在直线相交于点D， 连接 ，若 的大小为（ ） A． B． C． D．随2点 的移动而变化 【答案】C 【分析】该题主要考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识点， 解题的关键是正确作出辅助线． 根据题意得出 ，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ， 作 交 于点 ，根据角平分线的性质得出 ，证明 ，得出 ， 证明 ，得出 是 的角平分线，算出 ，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵ 的平分线和 的平分线所在直线相交于点D， ∴ ， ∵过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，作 交 于点 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ 是 的角平分线， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 二、填空题 4．如图， 平分 ， 于点 ，点 是射线 上一个动点，若 ，则 的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查角平分线的性质；垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．作 于 ， 根据角平分线的性质求出 的长即可． 【详解】解：作 于 ， ∵ 平分 ， ， 又 ∵点 是射线 上一个动点， ， ∴ ，最小值为3， 故答案为：3．5．如图，在 中， ， ， ，AD平分 交BC于点D，过点D作 交AB于点E，点P是DE上的动点，点Q是BD上的动点，则 的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称，角平分线的定义，过点D作 于H， 并延长 ，先判断出 ，再判断出 ，在 上取一点 ，使 ， 连接 ，进而判断出 ，得出 ，即可判断出 时， 最小，即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作 于H，并延长 ， ∴ ， ∵ 是 的平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 上取一点 ，使 ，连接 ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ （假设点Q是定点，点 共线时，取最小 ）， ∵点Q是动点， ∴当 时，即点 与点H重合， 的最小值为 ， 故答案为：10． 6．如图，在 中， ， ， 为射线 上一动点，连结 ，将 绕点 顺时 针旋转 至 交直线 于点 ，若 ，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当 为线段 上时，作 于点 ，证明 ，求得 ， ， ，再证明 ，求得 ，即可求解 的长；当 为线段 上时，同理求解即可． 【详解】解：当 为线段 上时，作 于点 ， 由旋转的性质得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 当 为线段 上时，作 交 延长线于点 ，同理 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 综上， 的长为3或7． 故答案为：3或7． 三、解答题 7．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形， 与 为偏等积三角形， 如图， ， 且线段 的长度为正整数，过点 作 交 的延长线于点 ． (1)求证： (2)求 的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系等知识点，熟练掌握以上 知识点是解答本题的关键． （1）根据 与 为偏等积三角形，得到 ，由 得 ，又 ，证得 ，所以 ； （2）由（1）知 ，得 ， ，根据三角形三边关系可得 ，所以 ，再根据线段 的长度为正整数，即可得 的长度． 【详解】（1）解： 与 为偏等积三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知 ， ， ， ， ， ， ， 的长度为正整数， ， ． 8．如图，直线 ， 平分 ，过点 作 交 于点 ；动点 、 同时从 点出 发，其中动点 以 的速度沿射线 方向运动，动点 以 的速度沿直线 上运动；已知 ，设动点 ， 的运动时间为 ． (1)若 ，试求动点 的运动时间 的值； (2)试问当动点 ， 在运动过程中，是否存在某个时间 ，使得 与 全等？若存在，请求出时 间 的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)动点 的运动时间 或 ； (2) 或 时， 与 全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和 性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作 ，则 ，根据 可得 的值，分别用 表示 ，即可求得 的值，即可解题； （2）当 点在 点上方时，易得 时， ，分别用 表示 ， 即可求得 的值； 当 点在 点下方时， 进行求解即可． 【详解】（1）解：作 ， ，则 ， ， ， 当 点在 点左侧时， ∴ , 即 ， 解得： ； 当 点在 点右侧时， ， ∴ ，解得 ， 综上动点 的运动时间 或 ； （2）当 点在 点上方时， ， ， ∴当 时， ， 即 或 ， 解得： 或 （舍去）， 当 点在 点下方时， ， ∴ ， ， ∴ ； 答： 或 时， 与 全等． 9．定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为珺琟 友谊三角形．(1)若两个三角形全等，它们_____（填是或否）珺琟友谊三角形； (2)如图1，在四边形 中， 平分 ， ， 与 是珺琟友谊三角形，请探究 与 之间的关系； (3)如图2，在四边形 中， ，求证： 与 是珺琟友谊 三角形． 【答案】(1)是 (2)∠B+∠D＝180° (3)证明见解析 【分析】本题主要考查了新定义、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理等知 识点，理解珺琟友谊三角形的定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解答； （2）如图1中，在 上取一点H，使得 ．再证明 ，然后根据全等三角形的 性质及等量代换即可解答； （3）如图2中，根据三角形的内角和可得 ，如图：延长 到点G，连接 ，使 ， 易证 可得 ，再结合 为公共边以及珺琟友谊三角形的定义即可证明结论． 【详解】（1）解：∵全等三角形的对应边相等，对应角相等， ∴两个三角形全等，必有有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等， ∴若两个三角形全等，它们是珺琟友谊三角形． 故答案为：是． （2）解：∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， 与 是珺琟友谊三角形， ∴ ， 如图1中，在 上取一点H，使得 ．在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （3）证明：如图2中， ∵ ， ∴ ， 如图：延长 到点G，连接 ，使 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ∴ ，∴ ， ∵ 为公共边， ∴ 与 是珺琟友谊三角形． 10．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如1，在四边形 中，若 或 ，则四边形 是“对补四边形”． (1)如图2，四边形 是“对补四边形”， 是四边形 的一个外角，求证： ； (2)在（1）的条件下， ， ，在 上取点E，使 ，在 上取点F，使 ，连接 ，点G是 的中点，过点E作 与 的延长线相交于点H，连接 ， ， 探索 与 的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) ， ，见解析 【分析】本题考查四边形的外角，全等三角形的判定与性质； （1）根据“对补四边形”可得 ，再结合外角可得 ，即可得到 ； （2）先证明 ，得到 ，再证明 得到 ， ，最后根据 ，得到 ． 【详解】（1）证明：∵四边形 是“对补四边形” ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）解： ， ，证明如下： ∵G为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， 在 和 中，∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由（1）知 ， ∴ 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． ． 11．知识再现： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，如图①， 是 的平分线 上任意一点，若 ， ，垂足分别为 ， ，则 ． 从运动角度看： 如图①，射线 是 的平分线， ， ， 分别是 ， ， 上的动点，若 ，则 ． (1)初步探究： 如图②，射线 是 的平分线， ， ， 分别是 ， ， 上的动点，若 ，则 与 的数量关系是______； (2)猜想验证： 如图③，射线 是 的平分线， ， ， 分别是 ， ， 上的动点，若 ，则 与 的大小有什么关系？请写出你的结论并证明； (3)拓展应用： 在平面直角坐标系中，点 在 轴上，点 在函数 的图象上，点 在 轴上，连接 ， ，若 ，请直接写出点 的坐标． 【答案】(1) (2) 或 ，证明见解析 (3) 的坐标为 或 【分析】本题考查角平分线性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形判 定定理和性质定理． （1）证明 ，即可得 ； （2）过点 分别作 于 ， 于 ，分两种情况：①由 是 的平分线， ，证明 ，可得 ；② ，同理得 ， 有 ，可得 ； （3）设 ，根据 ，有 ，即可解得 的坐标为 或 ． 【详解】（1）解：如图： 射线 是 的平分线， ， 在 和 中， ， ， ， 故答案为： ； （2） 或 ，证明如下： 过点 分别作 于 ， 于 ，是 的平分线， ， ， 当 时， 在 和 中， ， ， ； 当 时， 同理得 ， ； ， ； （3）设 ， ， ， ， ， ， ， 解得 或 ， 的坐标为 或 ． 12．定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 初步尝试： （1）如图①，在 中，若 ， ， 为 上一点，当 的长为_____时， 与 为偏等积三角形； 理解运用： （2）如图②，已知：在钝角 中（ ）， 与 为偏等积三角形，若 ，， ，试求 的取值范围； 综合应用： （3）如图③，已知 为直角三角形， ，分别以 ， 为边向外作正方形 和正方 形 ，连接 ，求证： 与 为偏等积三角形． 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，构成三角形的条件： （1）根据三角形中线平分三角形面积可知当点P为 的时，满足题意，据此可得答案； （2）延长 到E，使得 ，连接 ，根据题意可得 ，则 ，证明 ，得到 ，根据 ， ， ， 且 ，列出不等式组求解即可； （3）：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，证明 ，得到 ，则 可证明 ，再由 与 不全等，即可证明 与 为偏等积三角形． 【详解】解：（1）∵三角形中线平分三角形面积， ∴当点P为 的时， 与 的面积相等， ∵ ， ∴ ， ∴ 与 不全等， ∴当 ， 与 为偏等积三角形， 故答案为： ； （2）如图所示，延长 到E，使得 ，连接 ， ∵ 与 为偏等积三角形， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， 又∵ ，且 ， ∴ ， 解得 ， 综上所述， ； （3）证明：如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ∴ 由正方形的性质可得 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ 与 不全等， ∴ 与 为偏等积三角形．