文档内容
微专题：数列的周期性
【考点梳理】
解决数列周期性问题，一般先写出前几项确定周期，再依据周期求解. 待求式中出现较大下标或已知条件中有
关键恒等式，都是周期数列的“信号”. 如本例中a ＝，即f(x＋1)＝，由函数周期性相关结论可知该数列的一个
n＋1
周期为4.
【典例剖析】
典例1．已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，数列 是等差数列，若
， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
典例2．在数列 中， ，则 的值为（ ）
A． B．5 C． D．
典例3．若数列 满足 ， ，则数列 中的项的值不可能为（ ）
A． B． C． D．
典例4．设 是数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B． C． D．
典例5．已知数列 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
6．已知数列 ，满足 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
7．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
8．若数列 满足 ， ， （ 且 ），则 （ ）
A． B．2 C． D．
9．若数列 满足 ， ，则该数列的前2021项的乘积是（ ）
A． B． C．2 D．1
10．若数列 满足 ， ，则 （ ）
A．2 B． C．-1 D．-2
11．已知数列 的前 项积为 ， 且 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
12．若数列 满足 ， ， （ 且 ），则 等于（ ）
A． B．2 C．3 D．
13．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1，1，2，
3，5，8，13，21，34，55，……，即 ， ， ，此数列在现代物理、化学等学
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司科都有着十分广泛的应用。若将此数列 的各项除以2后的余数构成一个新数列 ，设数列 的前 项的和
为 ；若数列 满足： ，设数列 的前 项的和为 ，则 （ ）
A．1348 B．1347 C．674 D．673
14．已知正项数列 的前n项和为 ， ，记 ，若数列 的前n
项和为 ，则 （ ）
A． B． C．200 D．400
15．已知数列 满足 ， ，则数列 的前2022项积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列 中， ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C．5 D．
17．已知数列 满足： ， ， ，则数列 前100项的和为( )
A． B． C． D．
18．若数列 满足 ，且 ，则 的前100项和为（ ）
A．67 B．68 C．134 D．167
19．在数列 中， ， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
20．数列 满足 ， ，其前 项积为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
21．已知数列 ， 且 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．数列 满足 若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
23．已知数列 满足 ，若 的前n项积的最大值为3，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
24．已知数列 的通项公式是 ，其中 的部分图象如图所示， 为
数列 的前n项和，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
25．若数列 满足，则 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．在数列 中， ，则 的值为（ ）
A． B．5
C． D．
27．已知数列 中， ， ， ，则 （ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．4 B．2 C．-2 D．-4
28．已知数列 且满足： ，且 ，则 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．2019 B．2021 C．2022 D．2023
二、多选题
29．已知数列 中， ，且 ，则能使 的n可以是（ ）
A．4 B．14 C．21 D．28
30．意大利著名数学家裴波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列
的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列
称为裴波那契数列，现将 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
31．若数列 满足 ， ， ，记数列 的前 项积为 ，则下列说法正确的是
（ ）．
A． 无最大值 B． 有最大值 C． D．
32．已知 ，记数列{ }的前项和为Sn，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．对任意 D．对任意m
三、填空题
33．已知数列 中， 为前 项和，且 ， ，则 ______
34．数列 的首项 ，若 ，则 _______．
35．设数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 等于______.
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司36．在数列 中， ， ，则 ___．
37．已知函数 ，数列 满足 ，则 ___________.
38．若数列 满足， ， ，则数列 前 项的积等于________.
四、解答题
39．已知数列 中， ， ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的前2021项和 ．
40．已知数列 的通项公式为： ，其中 ．记 为数列 的前 项和．
(1)求 ， ；
(2)数列 的通项公式为 ，求 的前 项和 ．
41．若实数数列 满足 ，则称数列 为“Q数列”．
(1)若数列 是Q数列，且 ， ，求 ， 的值；
(2)若数列 是Q数列：
①试判断： 的项是否可以全是正数，或者全是负数？请说明理由；
②若数列 中不含值为零的项，记 前2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能的取值．
42．已知函数 ．
(1)若 的反函数是 ，解方程： ；
(2)当 时，定义 ，设 ，数列 的前n项和为 ，求 、 、
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司、 和 ；
(3)对于任意 、 、 ，且 ，当 、 、 能作为一个三角形的三边长时， 、 、
也总能作为某个三角形的三边长，试探究 的最小值．
43．设数列 和 的项数均为 ，则将数列 和 的距离定义为 ．
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设 为满足递推关系 的所有数列 的集合， 和 为 中的两个元素，且项数均为 ，若
， ， 和 的距离小于4032，求 的最大值；
（3）记 是所有7项数列 的集合， ．且T中任何两个元素的距离大于或等于3．证明：
T中的元素个数小于或等于16．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据题意得到函数 的周期为3，且 ，转化为 ，结合
因为 ，即可求解.
【详解】
因为函数 是奇函数且满足 ，可得 ，
则 ，即 ，所以 为周期为3的函数，
又因为数列 是等差数列，且 ， ，
可得 ，解得 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
2．C
【解析】
【分析】
根据给定的递推公式，探讨数列 的周期性即可计算作答.
【详解】
依题意， ，则 ， ，
于是得数列 是周期数列，其周期是3，由 得： ，
所以 .
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
利用数列 满足的递推关系及 ，依次取 代入计算 ，能得到数列 是周期为4的周
期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.
第 8 页【详解】
数列 满足 ， ，依次取 代入计算得，
， ， ， ，因此继续下去会循环，数列 是周期为4的
周期数列，所有可能取值为： .
故选：D.
4．B
【解析】
推导出数列 是以 为周期的周期数列，由 可得出 ，代值计算即可得解.
【详解】
在数列 中， ， ，则 ， ， ，
以此类推可知，对任意的 ， ，即数列 是以 为周期的周期数列，
，因此， .
故选：B.
【点睛】
思路点睛：根据递推公式证明数列 是周期数列的步骤：
（1）先根据已知条件写出数列 的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数 ；
（2）证明 ，则可说明数列 是周期为 的周期数列.
5．A
【解析】
【分析】
根据数列的周期性求解即可.
【详解】
因为 ，
所以 ， ，
所以数列 是以周期为 的数列，即 .
故选：A
6．A
【解析】
第 9 页利用递推公式计算出数列 的前几项，找出数列 的周期，然后利用周期性求出 的值.
【详解】
由 ，且
则 ， ，
所以 ，即数列 是以3为周期的周期数列
所以
故选：A
7．D
【解析】
首先通过列举数列的项，得到数列 是周期数列，利用周期判断选项.
【详解】
， ， ， ，……
所以数列 是以3为周期的周期数列，前三项和 ，
， ，所以 ，
， ，所以 .
故选：D
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列 中的项，判断数列是周期数列.
8．A
【解析】
【分析】
根据递推关系得出数列的周期，然后可求答案.
【详解】
因为 ， ， （ 且 ），
所以 ， ，
， ，
第 10 页， ，
所以 的周期 ，所以 .
故选：A.
9．C
【解析】
【分析】
先由数列 满足 ， ，计算出前5项，可得 ，且 ，再利用周期性
即可得到答案.
【详解】
因为数列 满足 ， ，
所以 ，同理可得 ，…
所以数列 每四项重复出现，即 ，且 ，
而 ，
所以该数列的前2021项的乘积是 .
故选：C.
10．C
【解析】
【分析】
由题意得数列 是周期为3的数列，即可得解.
【详解】
由 ，代入 可得 ，同理可得 .
由 ，得 ，从而有 ，
即 ，从而有 ，
所以数列 的周期为3，
所以 .
故选：C.
11．A
第 11 页【解析】
【分析】
由递推式可得 是周期为3的数列且 、 ，可得 ，进而求 .
【详解】
由题设， ， ， …，
∴ 是周期为3的数列，又 ，且 ，
∴ .
故选：A.
12．C
【解析】
先由题设求得数列 的前几项，然后得到数列 的周期，进而求得结果.
【详解】
因为 ， ， （ 且 ），
所以 ， ， ，
， ， ， ，
所以数列 是周期为 的周期数列，
所以 ，
故选：C.
【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：
（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项；
（2）根据规律判断出数列的周期；
（3）根据所求的数列的周期，求得 ，进而求得结果.
13．B
【解析】
根据题意写出数列 的前若干项，观察发现此数列是以3为周期的周期数列，可得 ，再计算 ，结合等比
数列的通项公式和求和公式，可得 ，进而得到所求和．
【详解】
第 12 页“兔子数列”的各项为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， ，
此数列被2除后的余数依次为：1，1，0，1，1，0，1，1，0， ，
即 ， ， ， ， ， ， ，
数列 是以3为周期的周期数列，
，
由题意知 ，
由于 ，
所以 ，
所以 ．
则 ．
故选：B
【点睛】
关键点点睛：确定数列数列 是以3为周期的周期数列，利用周期性求出数列的和，摆动数列 可以利用
分组求和，是解决问题的关键，属于中档题.
14．C
【解析】
【分析】
利用 关系及等差数列的定义求 的通项公式，进而可得 ，根据正弦函数的周期性并讨论 ，求得
，即可求 .
【详解】
由题设 ，则 ，
所以 ，又 为正项数列，则 ，
由 ，可得 ，
所以 是首项为1，公差为2的等差数列，则 ，故 ，
当 且 ， ；
当 且 ， ；
当 且 ， ；
当 且 ， ；
则 ，
由 .
故选：C
第 13 页15．A
【解析】
【分析】
找出数列的规律，是周期为4的数列，然后求和即可.
【详解】
由题意， ， ， ，
， ， ， ，
∴ 是周期为4的循环数列，在一个周期内的积为： ，
，前2022项之积为505个周期之积 ，
即 ；
故选：A.
16．B
【解析】
【分析】
直接由递推关系式得出数列的周期，再利用周期性即可求解.
【详解】
由题意得： ，则数列 的周期为3，则 .
故选：B.
17．C
【解析】
【分析】
先分别求出 的前9项，观察这9项知 是周期为6的周期函数，由此能求出 前100项之和．
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，
是周期为6的周期函数，
，
第 14 页﹒
故选：C﹒
18．B
【解析】
【分析】
由题意得 ，根据 ，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…，
所以从第2项起，3项一个循环，
所以 的前100项的和为 ，
故选：B．
19．D
【解析】
【分析】
根据已知条件先分析出 为周期数列，然后根据周期性以及对数运算性质即可求解.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是周期为 的周期数列，
所以
，
因为 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以原式 ，
故选：D.
20．D
【解析】
【分析】
依次代入 可得 是以 为周期的周期数列，由 可推导得到结果.
【详解】
第 15 页当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；
…， 数列 是以 为周期的周期数列，
，
.
故选：D.
21．B
【解析】
【分析】
由递推公式可得，数列 为周期数列且周期为3，从而可得答案。
【详解】
因为 ，
故 ， ， ， ，
故数列 为周期数列且周期为3，
故 .
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．
【详解】
因为 ，所以 ，所以数列具有周期性，周期为4，所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．
23．A
【解析】
【分析】
根据给定递推关系，探讨数列 的周期性，再讨论计算作答.
【详解】
数列 中， ， ，则有 ，因此， ， ，
因数列 的前n项积的最大值为3，则当 ， 的前n项积 ，
当 ， 的前n项积 ，
第 16 页当 ， 的前n项积 ，解得 ，
当 ， 的前n项积 ，
当 ， 的前n项积 ，
当 ， 的前n项积 ，解得 ，
显然 ，综上得 或 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A
24．D
【解析】
【分析】
由函数 的图象求出其解析式，再求出数列 的通项即可得解.
【详解】
观察图象知：函数 周期为T， ， ，
又 ，而 ，则 ，
所以 ， ，
数列 是周期数列，周期为6，其前6项依次为 ，则 ，
，则 .
故选：D.
【点睛】
结论点睛：周期为 的周期性数列前n项和 ，先求从首项开始的长为一个周期的前 几项和 ，
再把n化为 ，则有 .
25．B
【解析】
【分析】
根据递推式求出 ，可得数列 是周期数列，根据周期可得答案.
【详解】
解：由已知 ， ， ，则 ，
， ，
所以数列 是周期为3的周期数列，
.
第 17 页故选：B.
26．B
【解析】
【分析】
根据递推关系可判断数列为周期数列，从而可求 .
【详解】
因为在数列 中， ，
所以 ，
故 是周期数列且周期为3，故 .
故选：B.
27．D
【解析】
【分析】
根据递推关系可得数列 是以3为周期的数列，即可求出.
【详解】
因为 ， ， ，所以 ，
则 ， ， ，…，
所以数列 是以3为周期的数列，
则 .
故选：D.
28．D
【解析】
【分析】
根据递推关系式可得数列 是以 为周期的数列，由 ，从而可得 ，即可求解.
【详解】
由 ， ，
所以 ， ， ，
所以数列 是以 为周期的数列， ，
所以 .
故选：D
【点睛】
第 18 页本题主要考查了数列的递推关系求数列的性质、数列周期性的应用，属于基础题.
29．AD
【解析】
【分析】
由已知条件计算可得数列 是以3为周期的周期数列，从而可求得答案
【详解】
因为 ，且 ，
所以 ， ，
，
所以数列 是以3为周期的周期数列，
所以 ，
所以n可以是1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，……
故选：AD
30．ACD
【解析】
【分析】
根据裴波那契数列的性质，结合周期性逐一判断即可.
【详解】
因为 ， ， ， ， ， ， ， ，…，
所以 是以6为周期的周期数列，所以 ，所以A正确；
因为 ，所以B错误；
因为
，所以C正确；
因为
所以 ，
所以D正确，
故选：ACD
【点睛】
关键点睛：根据裴波那契数列的性质进行求解是解题的关键.
31．BC
第 19 页【解析】
根据数列的递推关系式，分别求得 ，得出数列 是周期为6的数列，且 ，结
合选项，即可求解.
【详解】
由题意，数列 满足 ， ， ，
所以 ，
同理可得 ，
可得 ，所以数列 是周期为6的数列，且 ，
所以 有最大值，最大值为 ， 有最大值，最大值为 ，
又由 ， ，
所以选项BC正确.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：对于难以化简的数列的递推关系式，可求出数列的前几项，寻找数列的构成规律，如：周期性，单调
性等，结合数列的性质进行求解.
32．ACD
【解析】
【分析】
首先由递推公式列出数列的前几项即可找到数列的周期性，再一一判断即可；
【详解】
解：因为 且 ，所以 ， ， ， ，
， ， ，所以 ，即 是以 为周期的数列，且 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
，故B错误；
因为 ， ， ， ， ， ，， ，
所以对任意 ， ，故C正确；
因为 ， ， ，因为 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD
33．3025
【解析】
【分析】
根据题意得 ， ，进而根据数列的周期性求解即可.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
第 20 页所以 ， ，即数列 为周期数列，周期为 ，
因为 ，所以 ，
所以
故答案为：
34．3
【解析】
【分析】
利用数列的单调性进行求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
因此该数列的周期为 ，因此 ，
故答案为：
35．1010
【解析】
【分析】
由已知递推公式求得 ， ， ， ，则有 ，所以 计算即可得
出结果.
【详解】
因为 ， ，因为
所以 ，由此可得 ， ， ，所以 ，周期为4，
所以 .
故答案为：1010
【点睛】
本题考查数列的递推公式和数列的周期性，考查求数列前 项的和的问题，考查学生的推理能力和计算能力，属于
中档题.
36．
【解析】
【分析】
由题目条件知，数列 的周期为3，代入即可求出.
【详解】
由 ， ，可得 ， ．
第 21 页∴可得 ．所以数列 的周期为3.
．
故答案为： .
37．2
【解析】
【分析】
根据递推公式求出数列前几项，可以求出数列的周期，利用周期性进行求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因此 ， ，所以该数列的周期为3，
，
故答案为：2
38．
【解析】
推导出数列 是以 为周期的周期数列，且有 ，再由递推公式求得 ，由此可求得数列
前 项的积.
【详解】
，则 ，所以， ，
，则 ，
所以，数列 是以 为周期的周期数列，
且 ，
所以， 的前 项的积为 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：解本题的关键在利用数列的递推公式推导出数列的周期性，一般涉及到数列项数较大的问题时，常
利用数列的周期性来求解.
39．（1） ； ；（2） ．
第 22 页【解析】
【分析】
（1）根据递推公式，利用代入法进行求解即可；
（2）根据递推公式可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.
【详解】
（1）当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ；
（2）当 时， ，所以 ；
由 知： ，所以 ，故数列 是以4为周期的周期数列，
即 ， ， ， ，
所以 ．
40．(1) ； ；
(2) .
【解析】
【分析】
（1）验证可知数列 是以 为周期的周期数列，则 ， ；
（2）由（1）可求得 ，利用错位相减法可求得结果.
(1)
当 时， ；当 时， ；当 时， ；
数列 是以 为周期的周期数列；
， ；
(2)
由（1）得： ， ，
，
，
两式作差得： .
41．(1)
(2)①数列 不可能全是正数，也不可能全是负数，理由见解析；②
【解析】
【分析】
第 23 页（1）代入求值即可；（2）①用反证法证明；②结合①中结论得到 中既有正数，又有负数，且最多连续两项
都是负数，最多连续三项都是正数，又得到 的周期为9，且 ，这9项中， 为负数， 这
两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，对前5项的正负分情况得到负数的个数，求出最后结果.
(1)
因为 是Q数列，且 ，所以 ， ，所以 ，解得： ，
所以 ， ；
(2)
①数列 不可能全是正数，也不可能全是负数，理由如下：
假设“Q数列” 的项全是正数，即 ，所以 ， ，这
与假设矛盾，故“Q数列” 的项不可能全是正数；
假设“Q数列” 的项全是负数，则 ，而 ，与假设矛盾，故数列 不可能全是正数，
也不可能全是负数，
②由①可知， 中既有正数，又有负数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数，因此存在最小的
正整数k满足 ， ，设 ， ，则 ， ， ，
， ， ， ， ， ，……，故 ，所以
的周期为9，所以 ，这9项中， 为负数， 这两项中一个为正，一个为负，其余全是正数，
因为 ，所以当 时，m=3×224=672；
当 时， 这（k-1）项至多一个为负，而且负数项只能是 ，记 这 项中
负数项个数为t，
当 时，若 ，则 ，故 为负数，此时t=671，m=671+1=672；
若 ，则 ，故 是负数，此时t=672，m=672；
当 时， 必须为负数， ，
综上：m的取值集合为 .
【点睛】
定义新数列，要结合题目信息，运用所学的不等式，周期等知识进行求解，分类讨论是处理定义新数列最常用的
方法.
42．(1) 或
(2) ， ， ， ，
(3)M的最小值为2
【解析】
【分析】
（1）由题意，求出 解析式，结合题意，列出方程，求解即可得答案.
第 24 页（2）若 可求得 的值，同理可求得 ， ， 的值，总结规律，结合等差数列前n项和公式，即
可得答案.
（3）根据三角形两边之和大于第三边，分析讨论，推理求值，举反例论证，即可得答案.
(1)
因为 ，所以 ，
则原方程为 ，整理得 ，
所以 ，即 或 ，
所以 或 ，则原方程的解为 或
(2)
若 ，则 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，所以 ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以
(3)
由题意得 ，
若 、 、 总能作为某个三角形的三边长，则 ，
所以 ，且 ， ， ，
所以 ，则 ，
当 时，取 ，有 ，即 成立，
所以此时 、 、 可作为一个三角形的三边长，
但 ， ，
所以 ，此时 、 、 不能作为一个三角形的三边长，
当 时， ，有 ，则 ，
所以 、 、 作为一个三角形的三边长，
，
所以 、 、 也总能作为某个三角形的三边长，
第 25 页综上：M的最小值为2.
【点睛】
解题的关键是熟练掌握反函数、对数运算、等差数列求和等基础知识，更要掌握分析理解，推理论证，分类讨论
等方法，考查学生灵活应变的能力，属中档题.
43．（1）7；（2） ；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）由数列距离的定义即可求得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）由数列的递推公式，即可求得 ， ， ， ，从而得到集合A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一
次，从而求得数列 和 ，根据数列距离的定义分析求解，即可得到m的最大值；
（3）利用反证法，假设T中的元素个数大于等于17个，设出 ， ， ，最后可得 和
中必有一个成立，与数列的距离大于或等于3矛盾，故可证明T中元素个数小于或等于16．
【详解】
（1）由题意可知，数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为1+0+5+1＝7；
（2）设 ，其中 ，且 ，由 ，
所以 ， ， ， ，
则 ，
因此集合A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，
所以数列 中， ， ， ， ， ，
故 中， ， ， ， ， ，
，
所以项数 越大，数列 和 的距离越大，
由 ，可得 ，
所以 时， ，
故 的最大值为 ；
（3）证明：假设T中的元素个数大于等于17个，
因为数列 中， 或1，
所以仅由数列前三项组成的数组 有且仅有8个，
即（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，
第 26 页1，1），
那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的 ， ， ，
设这个数列分别为 ： ， ， ， ， ， ， ，
： ， ， ， ， ， ， ，
： ， ， ， ， ， ， ，
其中 ， ，
因为这三个数列中每两个的距离大于等于3，
所以 和 中， 中至少有三个成立，
不妨设 ， ，
由题意可知， 和 中一个等于0，而另一个等于1，又因为 或1，
所以 和 中必有一个成立，
同理可得， 和 中必有一个成立， 和 中必有一个成立，
所以“ 中至少有两个成立”或“ 中至少有两个成立”中必有一个成立，
所以 和 中必有一个成立，与题意矛盾，
故T中的元素个数小于或等于16．
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