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专题03 全等三角形动点问题专项训练（30道）
【经典例题 全等三角形动点问题（求t值）】
一、单选题
1．（23-24七年级下·四川雅安·期末）如图， 厘米， ， 厘米，点P在线
段 上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 上由点B向点D运动，它们运动的
时间为t（秒）．设点Q的运动速度为v厘米/秒，如果 与 全等，那么v的值为（ ）
A．2 B．3 C．2或 D．1或3
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的性质，分情况讨论，当 时 ，当
时， ， ，再根据时间、路程、速度之间的关系即可求解．
【详解】解：分两种情况：
当 时，可得： ，
∵运动时间相同，
∴P，Q的运动速度也相同，
∴ ．
当 时， ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
综上可知，v的值为2或 ，
故选C．
2．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在 中， ， ， ， ，
在 中， ， ， ， ， ．现有一动点 ，从点 出
发，沿着三角形的边 运动，回到点 停止，速度为 ．若另外有一个动点 ，与点
同时出发，从点 开始沿着边 运动，回到点 停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好
和 全等，设点 的运动速度为 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 或 D． 或 或 或
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点 和点 的位置进行分类讨论即可解
决问题，能根据点 和点 的位置进行正确的分类讨论是解题的关键.
【详解】假设运动的时间为 ，
当 时，即点 在 上，如图，
若 ，则 ， ，
∴ ，
∴ ；
若 ，
则 ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，即点 在 上，
若 ，则 ， ，
∴
∴ ，
若 ，
则 ， ，
∴ ，
所以 ，
当 时，即点 在 上，
此时 ，
∴所以不存在 和 全等，
综上所述, 点 的运动速度为： 或 或 ，
故选： ．
3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形 中， ， ，
， ，点 在线段 上以 的速度由点 向点 运动，同时点 在线段 上由
点 向点 匀速运动，若 与 在某一时刻全等，则点 运动速度为（ ）A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点 运动速度为 ，则
， ，根据 ，可得 或 ，再根据全等三角形
的性质，即可求解．
【详解】解：设点P运动时间为t秒，点 运动速度为 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 或 ，
当 时， ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
解得： ；
当 时， ，
∴ ，解得： ；
综上所述，点 运动速度为 或 ．
故选：D．
4．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图， ，点P在线段
上以 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 上以 的速度由点B向点D运动，它
们运动的时间为 ，当 与 全等时，x的值是（ ）A．2 B．1或 C．2或 D．2或3
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意分 和 两种情况，根
据全等三角形的性质分别求出 的长，进而求出运动时间，即可求出x的值，熟知全等三角形对应
角相等是解题的关键．
【详解】解：当 时，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，当 与 全等时，x的值是2或3，
故选D．
5．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图， ，点P在线段
上以 的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段 上以 的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当 与 全等时，x的值是（ ）
A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2
【答案】B
【分析】由题意知分 时和 时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可．
【详解】解：∵点P在线段 上以 的速度由点A向点B运动，点Q在线段 上以 的速度由
点B向点D运动，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴可分类讨论：①当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
②当 时，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
综上可知x的值是1或 ．
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键在于分情况求解．6．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图， ， ， 、 分别为线段 和射线
上的一点，若点 从点 出发向点 运动，同时点 从点 出发向点 运动，二者速度之比为3:7，运
动到某时刻同时停止，在射线 上取一点 ，使 与 全等，则 的长为（ ）
A．18 B．70 C．88或62 D．18或70
【答案】D
【分析】设 ，则 ，使 与 全等，由 可知，分两种情况：当
时，当 时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，
利用分类讨论思想是解答此题的关键．
【详解】解：设 ，则 ，因为 ，使 与 全等，可分两种情况：
情况一：当 时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
情况二：当 时，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
综上所述， 或70．
故选：D．
7．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在 中， ．点P从点A出发，
以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣C﹣B向终点B运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的
速度沿折线B﹣C﹣A向终点A运动，点P，Q都运动到各自的终点时停止．设运动时间为t（秒），直线l
经过点C，且 ，过点P，Q分别作直线l的垂线段，垂足为E，F．当 与 全等时，t的
值不可能是（ ）A．2 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】分三种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值．本题考查了三角形全等的性质、一元一次
方程的应用，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
【详解】解：当P在 上，Q在 上时，如图，过点P，Q，C分别作 直线l于点E， 直线l
于点F， 于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ 于E， 于F．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；
当P在 上，Q在 上时，即P、Q重合时，则 ，
由题意得， ，
解得 ；当P在 上，Q在 上时，即A、Q重合时，则 ，
由题意得， ，
解得 ．
综上，当 与 全等时，t的值为2或 或6．
∴t的值不可能是3．
故选：C．
8．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图， 厘米， 厘米， ，如果点P在线段
上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线 运动．若经过t秒后，
与 全等，则t的值是（ ）
A．1 B．1.5 C．1或1.5 D．1或2
【答案】C
【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．
由题意知， ， ，由 与 全等，分 ， 两种情况，
列方程求解即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
∵ 与 全等，
∴分 ， 两种情况求解；
当 时， ，即 ，解得 ；
当 时， ，即 ，解得 ；
综上所述，t的值是1或1.5，
故选：C．
9．（23-24八年级上·湖北·周测）已知 ， ， ，其中 ．点P以每秒
2个单位长度的速度，沿着 路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为 秒．
①若 ，则点 运动路程始终是点 运动路程的 倍；
②当 、 两点同时到达A点时， ；
③若 ， ， 时， 与 垂直；
以上说法正确的选项为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①③
【答案】B
【分析】根据路程等于时间乘以速度求出点P和点Q的路程，即可判断①；首先求出点P到达点A时的时
间，然后根据题意列出算式求解即可判断②；首先画出图形，根据题意求出 ， ，
， ，然后得到 和 不全等，进而证明出
，即可判断③．
【详解】解：①∵点P以每秒2个单位长度的速度，运动时间为 t 秒，
∴点P运动路程为 ，
若 ，则点Q运动路程为 ，
∴点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，故①正确；
②当P点到达A点时， 秒，
∵P、Q两点同时到达A点，
∴ ，故②正确；
③如图所示，当 ， 时，
点P运动的路程为 ，点Q运动的路程为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 不全等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 不垂直，故③错误；
综上所述，正确的选项为①②．
故选：B．
【点睛】此题考查了动点问题，全等三角形的性质和判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的
点的位置．
10．（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，在 中， 厘米， 厘米，点D为
的中点．如果点P在线段 上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段 上以a厘
米/秒的速度由C点向A点运动．当 与 全等时，a的值为（ ）A．3 B．4 C．4或6 D．2或3
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的对应边相等
是解题的关键．
分 和 两种情况时，分别依据全等三角形的对应边相等求得点Q的移动速
度即可．
【详解】解：分两种情况：
①当 时， ，
∴点P运动的时间为 秒，
∴点Q的运动速度为 厘米/秒；
②当 时， ，
∴点P运动的时间为 ，
∴点Q的运动速度为 厘米/秒；
综上所述，当点Q的运动速度为4或6厘米/秒时，能够在某一时刻使 与 全等．
故选：C．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
11．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在 中， ， ， ，
为 边上的高，直线 上一点 满足 ，点 从点 出发在直线 上以 的速度移动，
设运动时间为 秒，当 秒时，能使 与以点 、 、 为顶点的三角形全等．【答案】7或15
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论， 或 ，进而求得 的
值，即可求解．
【详解】解： 为 边上的高，
，
， ，
，
，
当 时， ，
，
或 ，
或 ，
即当 或 秒时，能使 与以点 、 ．
故答案为： 或 ．
12．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在 中， ， ，
，点 为 的中点，点 在线段 上以 秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线
段 上由 点向 点运动．当点 的运动速度为 时，能够在某一时刻使 与 全
等．【答案】 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，设点 、 的运动时间为 ， 的运动速度为 ，则
， ， ，再根据全等三角形的性质分 当 时，
， 和 当 时， ， 两种情况讨论即可，熟练掌握全等三
角形的性质及分类讨论思想是解题的关键．
【详解】 ，点 为 的中点，
，
设点 、 的运动时间为 ， 的运动速度为 ，则 ， ，
，
，
，
与 全等共有两种情况：
当 时，则有 ， ，
， ，
，
，故点 的运动速度为 ；
当 时，则有 ， ，
， ，
，
，故点 的运动速度为 ，
综上所述：点 的运动速度为 或 ．
13．（23-24七年级下·河南开封·期末）如图，在长方形 中， ， ，点P从点A出发，以 的速度沿 边向点B运动，到达点B停止，同时，点Q从点B出发，以 的速度沿
边向点C运动，到达点C停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为
时，存在某一时刻， 与 全等．
【答案】1或
【分析】主要考查了全等三角形的性质，一元一次方程的几何应用，解本题的关键是熟练掌握全等三角形
的判定与性质．可分两种情况：① 得到 ， ，② 得到
， ，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【详解】解：①当 ， 时， ，
，
，
，
，
，解得： ，
，
，
②当 ， 时， ，
，
，解得： ，
，
，
解得： ，
综上所述，当 或 时，存在某一时刻， 与 全等，故答案为：1或
14．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图， 在长方形 中， 厘米， 厘米，点E为
中点，已知点P在线段 上以2厘米/秒的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段 上由点C向
点B运动，如果 与 恰好全等，那么点Q的运动速度是 厘米/秒．
【答案】2或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握全等三角形对应
边相等．
设运动时间为t秒，根据题意可得： ，再进行分类讨论即可①当 时， ②当
时．
【详解】解：设运动时间为t秒，
根据题意可得： ，
∵ 厘米，点E为 中点，
∴ 厘米，
①当 时，
，
解得： ，
∴ 厘米，
∴ 厘米，
∴点Q的运动速度为 （厘米/秒），
②当 时，，
解得： ，
此时 厘米，
∴点Q的运动速度为 （厘米/秒），
故答案为：2或 ．
15．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在长方形 中， ， ，延长 到点E，使
，连接 ，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿 运动，设点P的运动
时间为t秒，当t的值为 秒时， 与 全等．
【答案】 或5
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，
根据题意分两种情况： 和 ，然后根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】如图所示，当 时，
∴
∵在长方形 中， ， ，
∴
∴
∴
∵点P的运动时间为每秒3个单位
∴ （秒）；
如图所示，当 时，∴
∴
∴
∴ （秒）
综上所述，当t的值为 或5秒时， 与 全等．
故答案为： 或5．
16．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，点 在
直线 上．点 从点 出发，在三角形边上沿 的路径向终点 运动；点 从 点出发，在三角
形边上沿 的路径向终点 运动．点 和 分别以 单位 秒和 单位 秒的速度同时开始运动，
在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终
点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过 和 作 于点 ， 于点 ，则点 的运动时间等
于 秒时， 与 全等．
【答案】2或 或12
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点 在 上，点 在
上；点 、 都在 上；点 到 上，点 在 上；点 到 点，点 在 上．
【详解】解： 与 全等，斜边 斜边 ，
分四种情况：
当点 在 上，点 在 上，如图：
，
，
，
当点 、 都在 上时，此时 、 重合，如图：
，
，
，
当点 到 上，点 在 上时，如图：
，，
，不符合题意，
当点 到 点，点 在 上时，如图：
，
，
，
综上所述：点 的运动时间等于2或 或12秒时， 与 全等，
故答案为：2或 或12．
17．（22-23八年级上·河南新乡·期中）如图，在 中， ，E是边 上一点，
，点D在边 上以1个单位/s的速度由点B向点C运动，同时点F在边 上以x个单位/s的速度
由点C向点A运动，若运动过程中存在某一时刻 与 全等（其中 与 是一组对应角），
则x的值为 ．
【答案】1或
【分析】此题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键，根据全等三角形对应边相等即可求出答
案，
【详解】解：设D、F运动的时间是t秒，
当 时，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当 时，
∴ ，
∵D和F同时出发，运动的路程相同，
∴D和F的速度相同，
∴ ，
∴x的值为1或 ．
故答案为：1或 ．
18．（21-22八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在 中， ， ， ．点P从
点A出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线 以
每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作 于E， 于
F，设运动时间为t，当 与 全等时，t的值为 ．
【答案】1秒，或3.5秒，或12秒
【分析】根据 于E， 于F，得到 与 都是直角三角形，当 与 全等时，
得到 ，分三种情况讨论求解即可，当P在 上，Q在 上时，根据 ， ，
得到 ，解得 ；当P、Q在 上重合时，根据 ， ，得到 ，
解得 ：当Q到达A点后，点P运动到 上时，根据 ，得到 ．满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒．
本题主要考查了全等三角形，熟练掌握全等三角形的性质定理，分类讨论，是解题的关键．
【详解】∵ 于E， 于F，
∴ ，
∴ 与 都是直角三角形，
∴当 与 全等时， ，
当P在 上，Q在 上时，
∵ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ；
当P、Q在 上重合时， ， ，
∴ ，
解得 ：
当Q到达A点后，点P运动到 上时， ，
∴ ．
综上，当 与 全等时，满足条件的t值为1秒，或3.5秒，或12秒．
故答案为：1秒，或3.5秒，或12秒．
19．（2024·江苏盐城·三模）如图， 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点，如果
点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上由 点向 点运动．若点
的运动速度为 厘米/秒，则当 与 全等时， 的值为 ．【答案】2.25或3
【分析】此题考查了全等三角形的性质．分两种情况讨论：①若 ，根据全等三角形的性质，
则 厘米， （厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②
若 ，则 厘米， ，得出 ，据此求解即可．
【详解】解： 中， 厘米，点 为 的中点，
厘米，
若 ，则需 厘米， （厘米），
点 的运动速度为3厘米 秒，
点 的运动时间为： 秒，
（厘米 秒）；
若 ，则需 厘米， ，
，
解得： ；
的值为：2.25或3，
故答案为：2.25或3．
20．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）在 中， ，直线l过点 C． ，
，如图，点B与点F关于直线l对称，连接 ．点M从A点出发，以每秒 的速度沿
路径运动，终点为C，点N以每秒 的速度沿 路径运动，终点为F，分别过
点M，N作 直线l于点D， 直线l于点E，点M，N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止
运动，设运动时间为t秒．当t是 秒时， 与 全等．【答案】 或5或
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质．分点 沿 路径运动、点 沿 路径运动、点
沿 路径运动、点 沿 路径运动四种情况计算即可．
【详解】解：∵ ， 直线l于点D，点B与点F关于直线l对称，
∴ ，
∴ ，
∵运动时间为t秒．
∴ ，
∴当 时， ，
当点 沿 路径运动时， ，
，
解得， ，不合题意，
当点 沿 路径运动时， ，
，
解得， ，
当点 沿 路径运动时，
，
解得， ，
当点 沿 路径运动时， ，
，
解得， ，
综上所述，当 或5或 时， ．
故答案为： 或5或 ．
三、解答题21．（23-24七年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形 中， ， ，
，点 从点 出发，以 的速度向点 运动，当点 与点 重合时，停止运动．设点 的运
动时间为 秒．
(1) ________ ．（用含 的代数式表示）
(2)如图1，当 为何值时， ．
(3)如图2，当点 从点 开始运动，同时点 从点 向点 以 的速度运动（点 运动到点 处时停
止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动）．在点 和点 运动过程中， 与 可能
全等吗？若可能，求出 的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键．
（1）根据路程 速度 时间，根据点 的速度，表示出 ，再表示出 ；
（2）根据全等三角形对应边相等的性质得 ，即 ，求解即可；
（3）分两种情况讨论，当 ， ， 时或当 ， ， 时，
与 全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出 的值，再计算 的值即可．
【详解】（1）解： 点 从点A出发，以 秒的速度向点 运动，点 的运动时间为 秒，
，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，，
∴ ，
当 时， ；
（3）解：情况一：当 ， ， 时， ，
， ，
，
，
，
，
∴ ，
；
情况二：当当 ， ， 时，
， ，
，
，
，
，
综上所述，当 或 时， 与 全等．
22．（23-24七年级下·江西宜春·期中）如图所示，在 中， ， ，
，D为 的中点，点P在线段 上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段 上由点C出发
向点A运动，设运动时间为 ．(1)若点P与点Q的速度都是 ，则经过多长时间 与 全等？请说明理由．
(2)若点P的速度比点Q的速度慢 ，则经过多长时间 与 全等？请求出此时两点的速度．
【答案】(1)2s，理由见解答过程
(2)经过1s，点P的速度是9 ，则点Q的速度是12 时， 与 全等
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用；
（1）根据等腰三角形的性质可得出 ，由点 、 同速同时出发可得出 ，结合全等三角
形的判定定理可得出当 时 与 全等，进而即可得出关于 的一元一次方程，解之即可得
出结论；
（2）设点 的速度为 ，则点 的速度为 ，由 、 结合全等三角形的性质
可得出 、 ，进而即可得出关于 、 的方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）解： 点 与点 的速度都是 ，
，
， ， ，
要使 与 全等，则需 ，
即 ，
，
即经过 的时间 与 全等；
（2）解：设点 的速度是 ，则点 的速度是 ，
， ，
，
，要使 与 全等，则需 ， ，
，解得： ，
经过 ，点 的速度是 ，则点 的速度是 时， 与 全等．
23．（23-24八年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原点． 两点的坐标分别
为 ，且 ，点 从 出发，以每秒1个单位的速度沿射线 匀速运动，
设点 运动时间为 秒．
(1)求 的长；
(2)连接 ，若 的面积不大于3且不等于0，求 的范围；
(3)过 作直线 的垂线，垂足为 ，直线 与 轴交于点 ，在点 运动的过程中，是否存在这样的点
，使 ？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的范围是 且
(3)存在， 的值是3或9
【分析】（1）根据绝对值的非负性求出m、n的值，即可得出答案；
（2）分两种情况进行讨论，用t表示出三角形的面积，然后分别求出t的取值范围即可；
（3）根据 时，一定要使 ，然后分两种情况：P在线段 上时或P在线段
的延长线上进行讨论，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ， ；
（2）解：分为两种情况：①当P在线段 上时，如图所示：， ，
∴ 的面积 ，
∵若 的面积不大于3且不等于0，
∴ ，
解得： ；
②当P在线段 的延长线上时，如图所示：
∵ ， ，
∴ 的面积 ，
∵若 的面积不大于3且不等于0，
∴ ，
解得： ；
即t的范围是 且 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
分两种情况：①当P在线段 上时，如图所示：∵ ，
∴ ；
②当P在线段 的延长线上时，如图所示：
∵ ，
∴ ；
即存在这样的点P，使 ，t的值是3或9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，三角形面积的计算，三角形全等的性质，注意进行分类讨论．
24．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， 为高， ，点 为 上的一点，
，连接 交 于点 ， （ 和 是对应角）．(1)求 的度数；
(2)有一动点 从点 出发沿线段 以每秒4个单位长度的速度运动，设点 的运动时间为 秒，是否存在
t的值，使得 的面积为18？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， 的值为 或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用 表示出三角形的
高是解题的关键．
（1）根据题意可知 ，再由 ，推出 ，结合 即可得
到 ；
（2）由 ， ，可推出 ， ， ，由（1）可知，
，即 以 为底时高为 ，从而推出当 时， 在线段 上，此时 ，
则 ，解之得到 ；当 时， 在线段 上，此时 ，则
，解之得到 ．
【详解】（1）解： 在 中， 为高
，
又
，
（2）解： ， ，
，由（1）可知， ，且 点从点 出发，在 上以4个单位的速度运动，那么
，即 以 为底时高为 ，如图所示
当 时， 在线段 上，则
解得：
当 时， 在线段 上，则
解得：
综上所述，存在 的值为 或 ．
25．（19-20八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在 中， ，点F从点
B出发，沿线段 以 的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段 以 的速度运动至点
G．E、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动， 与 交于点D，设点E的运
动时间为t（秒）．(1)分别写出当 和 时线段 的长度（用含t的代数式表示）．
(2)在点F从点C返回点B过程中，当 时，求t的值．
(3)当 时，直接写出所有满足条件的t值．
【答案】(1)当 时， ，当 时， ；
(2) ；
(3) 或4
【分析】本题考查的是函数关系式的确定和全等三角形的性质的应用：
（1）根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；
（2）根据题意列出方程，解方程即可；
（3）分点F从点B运动至点C、从点C返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
当 时， ；
（2）解：由题意得， ，
解得 ；
（3）解：当 时， ，
则 ，即 ，
解得 ，
当 时， ，
则 ，即 ，
解得 ，
则 或4时， ．
26．（23-24八年级上·吉林四平·期末）长方形 中， ， ，点 以每秒1个单位的速度
从 向 运动，点 同时以每秒2个单位的速度从 向 运动，设 ， 两点运动时间为 ，点 为边
上任意一点．(点 不与点 、点 重合)(1)请直接用含 、 的代数式，表示线段 的长度；
(2)当 时，连接 ，若 与 全等，求 的长；
(3)若在边 上总存在点 使得 ，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，列代数式；一元一次不等式的应用；
（1）利用路程，速度，时间的关系求出 ，即可解决问题；
（2）由题意得： ， ， ，当 时：当 时 分别建立方程，解方程
即可求解；
（3）由 ，知 ， ，故 ，得 ，可得 ①，
②，即可解得答案．
【详解】（1）解：根据题意， ， ，
，
线段 的长度为 ；
（2）由题意得： ， ， ，
当 时：
，
解得：此时 ；
当 时： ，
得 ，
此时 ；
综上所述： 或 时， 与 全等；
（3） ，
， ，
由 知： ，
解得： ，
， ，
；
即 ①，
，
，
，
即 ②；
由①②解得： ，
满足条件 的取值范围为
27．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图，已知 中， ， ， ，点 为 的
中点，如果点 在线段 上以每秒2个单位长度的速度由 点向 点运动，同时，点 在线段 上以每
秒 个单位长度的速度由 点向A点运动，设运动时间为 （秒） ．(1)用含 的代数式表示 的长度： __________．
(2)若 与 全等，则点 的运动速度 为多少？请说明理由．
【答案】(1)
(2) 或2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思
考问题．
（1）用 的长度减去 的长度即可；
（2）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．
【详解】（1）解： 点 在线段 上以每秒2个单位长度的速度由 点向 点运动， ，
；
故答案为： ；
（2）解： 中， ， ，点 为 的中点， ，
，
，
当 时， ，
， ，
解得： ， ；
当 时， ，
， ，
解得： ， ；
综上所述， 或2．28．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在 中， ， ， ，
，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边 运动，回到点A停止，速度为
，设运动时间为 ．
(1)如图①，当 时， ________cm；
(2)如图①，当 ________ 时， 的面积等于 面积的一半；
(3)如图②，在 中， ， ， ， ．在 的边上，若另外有一个
动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边 运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时
刻，恰好 ，求点Q的运动速度．
【答案】(1)6
(2) 或
(3)Q运动的速度为 或 ．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，
清晰的分类讨论思想是解答本题的关键．
（1）利用速度乘时间即可求解；
（2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答；
（3）设点Q的运动速度为 ，然后分点P在 上，点Q在 上；点P在 上，点Q在 上两
种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
故答案为：6；
（2）解：如图，当P在 上， 的面积等于 面积的一半，∴ ，
∴ ，
当 在 上时，如图， 的面积等于 面积的一半，
∴ ，
∴ ，
综上：当 为 或 时， 的面积等于 面积的一半；
故答案为： 或 ；
（3）解：设点Q的运动速度为 ，
①当点P在 上，点Q在 上， 时， ，
∴ ，解得 ；②当点P在 上，点Q在 上， 时， ，
∴点P的路程为 ，点Q的路程为 ，
∴ ，解得 ；
∴Q运动的速度为 或 ．
29．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图， 中， ， ， ，直线l经
过点C且与边 相交．动点P从点A出发沿 路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿
路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为 和 ，两点同时出发并开始计时，当
点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作 于点E， 于点F．设运动时间为
t秒，解答下列问题：
(1)用含t的式子表示 ______ ， ______ ；
(2)探究t取何值时， 与 全等？
【答案】(1) ，
(2)当 秒或 秒或12秒时， 与 全等
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答；
（1）根据题意的运动方式，列代数式即可；（2）分为 ， ， 三种情况分别解答即可
【详解】（1）当动点P在 上时；当动点Q在 上时， ， ，
当动点P在 上时；当动点Q在 上时， ， ，
综上， ， ；
（2）①如图1，Q在 上，点P在 上时，作 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
则 ，
即 ，
解得： ；
②如图2，当点P与点Q重合时，
当 ，
则 ，
∴ ．
解得： ；③如图3，当点Q与A重合时，
，
∴ ，
当 ，
则 ，
即 ，
解得： ；
当综上所述：当 秒或 秒或12秒时， 与 全等．
30．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线 ， 平分 ，过点B作
交 于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以 的速度沿射线 运动，动点D以
的速度在直线 上运动．已知 ，设动点D，E的运动时间为 ．
(1) 的度数为 ；
(2)当点D沿射线 运动时，若 ，求t的值；
(3)当动点D在直线 上运动时，若 与 全等，则t的值为 ．
【答案】(1)
(2) 或4
(3) 或
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识：（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
（2）作 于H， 于G．由 平分 ，推出 ，由 ，
可得 ，解方程即可解决问题．
（3）存在．由 ，可知当 时， ，列出方程即可解决
问题．
【详解】（1）解：如图1中，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：如图2中，
①当E在线段 上时，作 于H， 于G．
∵ 平分 ，
∴ ，
∵∴ ，
∴ .
②当点E运动到 延长线上，同法可得 时，也满足条件，
∴当 或 时，满足 ．
故答案为： 或 ；
（3）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴
∴
∴ 时， ．
当D在 延长线上时， ，
综上所述，满足条件的t的值为2或6，
故答案为： 或 ．
