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微专题：数字排列问题
【考点梳理】
对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐
含条件：0不能在首位.
【典例剖析】
典例1．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
典例2．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇
具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；
人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如
22，575，1661等．那么用数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为（ ）
A．25 B．20 C．30 D．36
典例3．用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相
邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
典例4．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有（ ）
A．36个 B．48个 C．66个 D．72个
【双基达标】
5．数字“ ”中，各位数字相加和为 ，称该数为“长久四位数”，则用数字 组成的无重复数字
且大于 的“长久四位数”有（ ）个
A． B．
C． D．
6．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
A．36个 B．24个 C．18个 D．6个
7．用0，2，4，5，6，8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（ ）
A．120个 B．192个 C．252个 D．300个
8．将0，1，2，3，4这5个数组成不同的五位偶数的个数为（ ）
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9．特种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从左到右第二个字符只能从字母 中选择，其他四个字符可以
从 这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个字符(从左到右)只想在数字 中选择，其他字符只
想在 中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
10．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位
数共有（ ）.
A．9个 B．24个 C．36个 D．54个
11．由数字1，2，3组成的各位上没有重复数字的所有三位数的和为（ ）
A．66 B．666 C．1332 D．2664
12．数学与文学有许多奇妙的联系，如文学中的诗歌有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学
中有回文数，如343，12521等.则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）
A．40 B．30 C．20 D．10
13．由0，1，2，3，4组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）．
A．60 B．72 C．96 D．120
14．用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则这样的六位数共有（ ）
A．192个 B．216个 C．276个 D．324个
15．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
16．数学与文学之间存在着奇妙的联系，诗中有回文诗，如“山东落花生花落东山，西湖回游鱼游回湖西”，倒
过来读，仍然是原句！数学上也有这样一类数，如66，202，3773，34543，无论从左往右读，还是从右往左读，
都是同一个数，我们称这样的数为“回文数”，现用数字1，2，3，4组数（可重复用），则组成的五位“回文
数”的个数为（ ）
A．24 B．28 C．48 D．64
17．若一位三位数的自然数各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们就把这样的三位数定义为“单重数”.例如：
232，114等，则不超过200的“单重数”中，从小到大排列第22个“单重数”是（ ）
A．166 B．171 C．181 D．188
18．若从1，2，3，…，9这9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为a，b，c，d，则使得a×b×c＋d为奇
数的不同排列方法有（ ）
A．1224 B．1800 C．1560 D．840
19．用1，2，3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数的
个数为（ ）
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20．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．60 B．24 C．12 D．36
21．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443等.那么在四位数中，回文数共有
（ ）
A．81个 B．90个 C．100个 D．900个
22．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的有（ ）
A．36个 B．45个 C．48个 D．55个
23．用数字0，1，2，3，4组成允许有重复数字的三位数，这样的三位数个数为（ ）
A．125种 B．100种 C．64种 D．60种
24．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之
一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是
最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角
填偶数，其余位置填奇数．则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是（ ）
图1 图2
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
25．用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
26．罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表
示法如下：
数
1 2 3 4 5 6 7 8 9
字
形
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅷ Ⅸ
式
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司405表示为 ）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位
数的个数为（ ）
A．87 B．95 C．100D．103
27．用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，下列结论正确的有（ ）
A．在这样的六位数中，奇数共有480个
B．在这样的六位数中，3、5、7、9相邻的共有120个
C．在这样的六位数中，4，6不相邻的共有504个
D．在这样的六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有60个
28．从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，可以组成多少个无重复数字的三位偶数（ ）
A．52 B．56 C．48 D．72
29．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率 的范围是： ，为纪念祖冲之在圆周率方面
的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，
打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那
么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A．600 B．300 C．360 D．180
30．由 组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
31．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都
小，则称这个数为“凹数”，如301、4123等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）
A．组成的三位数的个数为60
B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20
D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为30
32．用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字
都小，则称这个数为“凹数”，如301、423等都是“凹数”，则下列结论中正确的是（ ）
A．组成的三位数的个数为60 B．在组成的三位数中，偶数的个数为30
C．在组成的三位数中，“凹数”的个数为20 D．在组成的三位数中，“凹数”的个数为24
33．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
34．用数字 、 、 、 、 、 组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成 个不重复的四位数
B．可组成 个不重复的四位偶数
C．可组成 个能被 整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第 个数字为
35．由0，1，2，3，5，组成的无重复数字的五位数的偶数，则（ ）
A．若五位数的个位数是0，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数
B．若五位数的个位数是2，则可组成18个无重复数字的五位数的偶数
C．若五位数的个位数是2，则可组成24个无重复数字的五位数的偶数
D．总共可组成8个无重复数字的五位数的偶数
36．用数字 、 、 、 、 、 组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成300个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成96个能被3整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310
三、填空题
37．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止 ），由用户
肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来
防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数
字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已
知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.
38．从2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7，9中任取2个数字，一共可以组成______个没有重复数字的
五位偶数（用数字作答）.
39．现有三张卡片，分别写有“1”､“2”､“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是
奇数的概率是__________．
40．用0，1，2，3，4，5这6个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的数的个数为______.（用数字
作答）
41．从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司42．从0，1，2，3，4中随机取3个数组成不重复的整数有______个（用数字作答）．
四、解答题
43．用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（3）能组成多少个比1 325大的四位数？
44．从集合 中取一个数字和集合 中取两个数字，问：
(1)可组成多少个三位数?
(2)可组成可重复一个数字的四位数多少个?
45．从 中任取 个数字，从 中任取 个数字．
(1)组成无重复数字的五位数，其中能被 整除的有多少个？
(2)一共可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)组成无重复数字的五位数，其中奇数排在奇数位上的共有多少个？
46．用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
（1）能被5整除的五位数；
（2）能被3整除的五位数；
（3）若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项.
47．用1、2、3、4、5、6、7这7个数字组成没有重复数字的四位数.
（1）这些四位数中偶数有多少个?能被5整除的有多少个?
（2）这些四位数中大于6 500的有多少个?
48．用0、1、2、3、4五个数字．
(1)可组成多少个五位数？
(2)可组成多少个无重复数字的五位数？
(3)可组成多少个无重复数字且是3的倍数的三位数？
(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数？
(5)组成没有重复数字的五位数，将这些数字由小到大排列，42130是第几个数？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个
排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和百位，最后用分类计数原理求解.
【详解】当个位数为0时，有 个，
当个位数为2或4时，有 个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选：C.
2．A
【分析】计算出由1个数字组成的4位回文数和由2个数字组成的4位回文数，相加后得到答案.
【详解】1，2，3，4，5可以组成的4位“回文数”中，
由1个数字组成的4位回文数有5个，
由2个数字组成的4位回文数有 个，
所以由数字1，2，3，4，5可以组成4位“回文数”的个数为20+5=25.
故选：A
3．B
【分析】利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、
2放到3、5、4、6形成的空中即可．
【详解】解：依题意分三步完成，
第一步：先将3、5排列，共有 种排法；
第二步：再将4、6插空排列，共有 种排法；
第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有 种排法．
由分步乘法计数原理得共有 （种 ．
故选：B
4．A
【分析】先安排末位有2种排法，再安排千位除去0都可以有3种排法，剩余3个元素排到十位、百位有 种排
法，再由分步乘法计数原理求解即可.
【详解】先排末位数，有 和 在末位两种选法，再排千位有3种选法，十位和百位从剩余的 个元素中选两个进
行排列有 种结果，
所以由分步乘法计数原理知共有四位奇数 个，
故选：A
5．C
【分析】确定数字和为9的四个数组有： 、 、 共三组，分别排列成无重复数字的四位数可得
结论．
【详解】卡片上的四位数字之和等于 ，四个数字为 组成的无重复数字且大于 的“长久四位数”共有：
， 组成的无重复数字且大于 的“长久四位数”共有 个； 组成的无重复数字且
第 7 页大于 的“长久四位数”共有 个，故共 （个）.
故选：C．
6．B
【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
各位数字之和为奇数的有两类：
两个偶数一个奇数：有 =18个；
②三个都是奇数：有 =6个．
∴根据分类计数原理知共有18+6=24个．
故选B．
7．C
【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.
【详解】若这个偶数的个位数是0，则有 个；
若这个偶数的个位数不是0，则有 个.
故满足条件的四位数中偶数的总个数为 ；
故选：C.
8．C
【分析】按个位数是0和不是0分类讨论．
【详解】解：当个位数字是0时，则有 （个），
当个位数字不是0时，则有 （个）
故所以所求五位偶数的个数为
故选：C
【点睛】本题考查排列组合的应用，解题时要注意特殊位置与特殊元素优先考虑的原则，对本题五位数而言，有
两个特殊位置，末位要是偶数字，首位不能为0，因此要优先考虑．是基础题.
9．D
【分析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码､第二个号码以及最后三个号码的选法数目，进而由分步计数原理
计算可得答案.
【详解】根据题意，车主第一个号码在数字3､5､6､8､9中选择，共5种选法，
第二个号码只能从字母B､C､D中选择，有3种选法，
剩下的3个号码在1､3､6､9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法，
则共有5×3×64=960种，
故选：D.
【点睛】本题考查排列､组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有4×4×4种选法，
而不是A3种，属于基础题.
4
10．D
【分析】先选后排，计算出结果.
【详解】先从3个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排，共有 （个）.
第 8 页故选：D
11．C
【分析】先列举出所有的三位数，再求和.
【详解】由数字1，2，3组成的各位上没有重复数字的所有三位数有：123，132，213，231，312，321.
所以所有三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332.
故选：C
12．A
【分析】若三位数的回文数是偶数，则个位上的数字可能为2，4，6，8中的一种，按个位、十位、百位分步计数
即可.
【详解】由题意知，若三位数的回文数是偶数，则个位上的数字可能为2，4，6，8中的一种，十位上的数字有10
种不同的取值，百位上的数字同个位上的数字，所以三位数的回文数中偶数的个数为 ，
故选:A.
13．A
【分析】根据题意，分为两类：当末位为 和末位不为 ，结合排列数的公式，即可求解.
【详解】由题意，可分为两类：
当末位为 时，可得无重复数字的五位偶数的个数为 个；
当末位不为 时，从 中选一个排在末位，再从非零的数字中选一个排在首位，
共有 个，
结合分类计数原理，共有 个.
故选：A.
14．A
【分析】先考虑0也有可能在首位的所有情况，再运用排除法解决问题.
【详解】这6个数字中，偶数有0，2，4，奇数有1，3，5.
要使所组成的六位数为偶数，且有且仅有2个奇数相邻，先将0可能出现在首位也考虑进去.这样共有
个，
再减去0在首位的个数，
当0在首位，且有且仅有2个奇数相邻，末位也是偶数的，共有 个.
所以满足题意的6位数共有 个.
故选：A.
15．B
【分析】分步计数：先确定末位数字，再确定首位数字，最后确定中间两位数字，由乘法原理可得．
【详解】末位可挑1和3两个数字，共两种情况，然后首位排除0后可挑3个数，中间
两位共 种排法，因此共 种情况．
故选：B．
16．D
【解析】先读懂题意，然后根据排列组合及两个计数原理求解即可．
【详解】解:若五位“回文数”仅由1个数字组成，则“回文数”的个数为 ；
第 9 页若五位“回文数”由2个数字组成，则“回文数”的个数为 ；
若五位“回文数”由3个数字组成，则“回文数”的个数为 ．
由分类加法计数原理知，组成的五位“回文数”的个数为 ，
故选:D．
【点睛】本题结合“回文数”的定义考查排列组合的有关知识，考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理
能力．
17．B
【解析】根据所给条件进行分析，分别求出所有“单重数”，再找到对应排序的“单重数”，即可得解.
【详解】由题意可得：不超过200的数，
两个数字一样同为0时，有100，200有2个，
两个数字一样同为1时，有110，101，112，121，113，131，一直到191，119，共18个，
两个数字一样同为2时，有122，有1个
同理，两个数字一样同为3，4，5，6，7，8，9时各1个，
综上，不超过200的“单重数”共有 ，
其中最大的是200，较小的依次为199，191，188，181，177，171，
故第22个“单重数”为171，
故选：B.
【点睛】本题考查数字规律，考查了对新概念的理解，同时考查了逻辑推理能力，属于基础题.
18．B
【分析】首先 为奇数，则 为偶数，进而根据 的奇偶分布情况求排列方法数，再 为偶数，则
为三个奇数，求排列方法数，进而加总.
【详解】当 为奇数时， 为偶数：
1、 一偶两奇，此时不同排列方法为 种；
2、 两偶一奇，此时不同排列方法为 种；
3、 三个偶数，此时不同排列方法为 种；
当 为偶数时， 为奇数，此时 三个奇数，不同排列方法为 种；
综上，不同排列方法有1800种.
故选：B
19．B
【分析】计算四位数的个数需要3步，求出每一步的方法数，再利用分步乘法计数原理计算即得.
【详解】分三步完成，第1步，确定被使用了2次的数字，有3种方法；
第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个数位上，有3种方法；
第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个数位上，有2种方法，
由分步乘法计数原理知，不同的四位数有 个.
故选：B
20．D
第 10 页【分析】采用分步计数原理，分两步，第一步先选取三个数，第二步对选出的三个数进行排列.
【详解】第一步先将三个数取出，有 种，
第二步对取出的三个数进行排列，共有 种，
所以完成两步共有 种.
故选：D.
【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一道基础题.
21．B
【分析】依据题意可知该数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，简单计算可得结果.
【详解】由题可知：回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的
所以共有：
故选：B
22．B
【分析】先举十位数字分别是1、2、3的例子看符合题意的数有几个，找出规律后，再求出答案．
【详解】十位数字是1时，十位数字比个位数字大的两位数是10，有1个；
十位数字是2时，十位数字比个位数字大的两位数是20，21，有2个；
十位数字是3时，十位数字比个位数字大的两位数是30，31，32，有3个；
…
由此可以推知：“十位上的数字是几，符合条件的两位数就有几个．”
所以，十位数字比个位数字大的两位数共计有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45．
即个位数字小于十位数字的共有45个．
故选：B．
23．B
【分析】首先确定百位数字，再根据允许有重复数字，即可确定十位与个位的数字，按照分步乘法计数原理计算
可得；
【详解】解：首先排百位数字，只能是1，2，3，4中的一个，故有4种排法，
因为允许有重复数字，故十位与个位均有5种排法，故一共有 种；
故选：B
24．C
【解析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出所有排法的总数，再由古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
先排左上角的数字，可以排2,4,6,8，有4种排法，如果固定了左上角的偶数，如图，假设是2，则有两种排法，当
四个角的数字固定之后，其他空位的数字随其固定，所以共有 种排法满足题意.
第 11 页要求所有的结果，可以先排四个角上的偶数，有 种结果，再排其他四个空位，有 种结果，共有
.
由古典概型的概率公式得 .
故选：C
【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
25．B
【分析】先排个位，再排百位和十位，即得结果.
【详解】先排个位，有2种选法，再排百位和十位，有 种排法，
因此共有 种排法，
故选：B
26．D
【分析】将6根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解.
【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个
（108,180,801,810）.
2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有
个.
3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相
同，可表示的数有 个；除0外的两个数字不同，则有 个，所以共有 个.
1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）.
1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有
个.
2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；
三个数字中的两个数字相同，则有 个，共有 个.
综上可知，可组成的三位数共有 个.
故选：D.
【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类、分步计数原理的应用，注意分类时要做到“不重不漏”，
属于难题.
27．A
【分析】A选项，特殊位置优先考虑求出这样的六位数中，奇数个数；B选项，相邻问题捆绑法求解；C选项，不
相邻问题插空法求解；D选项，定序问题使用倍缩法求解.
【详解】用3，4，5，6，7，9这6个数组成没有重复数字的六位数，个位为3,5,7,9中的一位，有 种，其余五个
数位上的数字进行全排列，有 种，综上：在这样的六位数中，奇数共有 个，A正确；
在这样的六位数中，3、5、7、9相邻，将3、5、7、9捆绑，有 种排法，再与4,6进行全排列，故共有
第 12 页个，B错误；
在这样的六位数中，4，6不相邻，先将3、5、7、9进行全排列，再从五个位置中任选两个将4,6排列，综上共有
个，C错误；
在这样的六位数中，4个奇数从左到右按照从小到大排序的共有 个，D错误.
故选：A
28．A
【分析】分类讨论个位为0与不为0的情况，按照特殊位置优先考虑原则分析求解.
【详解】当个位为0时，共有 个；当个位不为0时，共有 个，所以综合可得，
共有 个偶数.
故选：A
29．B
【分析】分最后一位为1、不为1两种情况，结合特殊位置法、插空法、捆绑法及排列组合数对不同情况计数，即
可得答案.
【详解】当最后一位为1时，共有 种；
当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有 种，
把余下2个数字与9全排有 种，
将两个1插入4个空中的2个有 种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有 种，
共有 种；
综上，共有 种.
故选：B
30．D
【分析】利用排列组合知识可求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】由 组成没有重复数字的五位数，基本事件总数为： ；
其中是奇数的基本事件个数为： ， 所求概率 .
故选：D.
31．BC
【分析】对于A，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可求得答案，即可判断；
对于B，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为0，②个位数为2或4，然后根据分步乘法原理及分类相加原
理即可得出答案，从而判断；
对于C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，②十位为1，③十位为2，，然后根据分步乘法原理及分类相
加原理即可得出答案，从而判断.
【详解】解：对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为 ，故A错误；
对于B，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为0，则有 种，
②个位数为2或4，则有 种，
第 13 页所以在组成的三位数中，偶数的个数为 ，故B正确；
对C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为0，则有 种，
②十位为1，则有 种，
③十位为2，则有 种，
所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为 ，故C正确，D错误.
故选：BC.
32．BC
【分析】对于A，因为百位数上的数字不能为零，然后利用分步乘法原理即可判断；
对于B，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为 ，②个位数为 或 ，然后根据分步乘法原理及分类加法原
理即可判断；
对于C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为 ，②十位为 ，③十位为 ，然后根据分步乘法原理及分类加法
原理即可得判断.
【详解】对于A，因为百位数上的数字不能为零，所以组成的三位数的个数为
，故A不正确；
对于B，将所以三位数的偶数分为两类，①个位数为 ，则有 种，
②个位数为 或 ，则有 种，
所以在组成的三位数中，偶数的个数为 ，故B正确；
对于C、D，将这些“凹数”分为三类，①十位为 ，则有 种，
②十位为 ，则有 种，
③十位为 ，则有 种,
所以在组成的三位数中，“凹数”的个数为 ， 故C正确，D不正确.
故选：BC.
33．ABD
【分析】由题意按照个位是0、个位不是0分类，结合分步乘法、排列的知识可得无重复数字偶数的个数，即可判
断A；再由排列数的运算逐项判断其它选项即可得解.
【详解】对于A，如果个位是0，则有 个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有 个无重复数字的
偶数，所以共有 个无重复数字的偶数，故A正确；
对于B，由于 ，所以 ，故B正确；
对于C，由于 ，所以 ，故C错误；
对于D，由于 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了分类加法、分步乘法及排列的应用，考查了排列数的运算，属于基础题.
34．BC
【解析】A选项选一个非0数在首位，其他几位全排列；B选项，分为 在末位和 不在末位；C选项能被 整除的
四个数然后分类讨论排列；D选项分类讨论：首位为 、前两位为 、前两位为 进而得出答案.
第 14 页【详解】解：A选项，有 个，错，
B选项，分为两类： 在末位，则有 种， 不在末位，则有 种，
∴共有 种，对，
C选项，先把四个相加能被 整除的四个数从小到大列举出来，
即先选： ， 、 、 、 ，
它们排列出来的数一定可以被 整除，∴共有： 种，对，
D选项，首位为 的有 个，前两位为 的有 个，前两位为 的有 个，此时共有
个，
因而第 个数字是前两位为 的最小数，即为 ，错，
故选：BC.
【点睛】解排列、组合问题要遵循的两个原则:
（1）按元素(位置)的性质进行分类；
（2）按事情发生的过程进行分步：具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，
再考虑其他元素(位置).
35．AB
【分析】由于0是特殊元素，故按0分类讨论可得出答案.
【详解】对于A，若五位数的个位数是0，则前4位数在剩下的4个数任意排列，共 个无重复
数字的五位数的偶数，故A正确；
对于B、C，若五位数的个位数是2，则0必须在十位、百位、千位中任选一位来排有3种选法，那么剩下的数就
可以任意排列，共有 个无重复数字的五位数的偶数，故B正确，C错误；
对于D，由选项A、B可知选项D不正确.
故选：AB
36．ABC
【分析】根据每个选项的四位数的特点分别利用排列组合的计算方式计算出结果即可判断.
【详解】A选项，从 、 、 、 、 中选一个排在首位有 种选法，再从剩下的五个数中选三个数排在百位、
十位、个位有 种排法，
由分步乘法原理可得： 个，所以A正确；
B选项，分为两类： 在个位，则有 种；
不在个位，从 、 中选一个排在个位，首位从 、 、 和 、 中剩下的一个数共四个数中选一个，
十位和百位再从剩下的四个数中选排，则共有 种，
∴共有 种，所以B正确；
C选项，先把四个相加能被 整除的四个数从小到大列举出来，
即先选： ， 、 、 、 ，
它们排列出来的数一定可以被 整除，∴共有： 种，所以C正确；
第 15 页D选项，首位为 的有 个，前两位为 的有 个，前两位为 的有 个，
因而第 个数字是前两位为 的最小数，即为 ，所以D不正确；.
故选：ABC．
37．
【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是 的事件数，根据古典概
型概率计算公式计算出所求概率.
【详解】根据“钟型验证码” 中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是 .
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），
所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯
一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯
一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法
唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排
法唯一），所以方法数有 种.
当中间是 时，其它 个数字可以是 ，选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边
（排法唯一），所以方法数有 种.
所以该验证码的中间数字是7的概率为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解
能力，属于中档题.
38．2880
【分析】利用分步乘法计数原理，结合排列组合，按位置分析法列式计算作答.
【详解】先按给定条件取出偶数和奇数，有 种方法，再从3个偶数中取1个放在个位，余下4个数字作全排
列，有 种方法，
由分步乘法计数原理得： ，
所以一共可以组成2880个没有重复数字的五位偶数.
故答案为：2880
39．
【分析】计算出三位数个数和其中奇数个数，根据古典概型概率公式求得结果.
第 16 页【详解】解：三张卡片随机排序组成一个三位数，共有： 个，其中奇数有： 个，
该三位数是奇数的概率：
故答案为： .
40．108
【分析】按个位数是0和5分类计数后可得所求的个数.
【详解】若四位数的个位数为0，则没有重复数字的四位数的个数为 ，
若四位数的个位数为5，则没有重复数字的四位数的个数为 ，
故能被5整除的数的个数为108.
故答案为：108.
【点睛】本题考查排数问题，此类问题关键是特殊元素特殊处理，本题属于基础题.
41．198
【分析】分0在个位，0在十位或百位，不用0三类情况分别研究，注意个位上必须是偶数，0不能在千位，要优
先考虑安排个位，先选后排，由分步计数原理求得各类情况下的四位偶数的个数，然后利用分类加法计数原理求
和得到答案．
【详解】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.
当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），
将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种
方法；
当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个
数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法
计数原理，有2×3×3×2=36种方法；
当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一
个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3
个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．
根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，
故答案为：198.
【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，本题是典型的先选后排分
步计数原理题型．
42．48
【分析】分类3个数含0、不含0两种情况，结合组合排列数求不重复的整数的个数.
【详解】当3个数含0时，不重复的整数有 个；
当3个数不含0时，不重复的整数有 个；
所以随机取3个数组成不重复的整数有48个.
故答案为：48
43．（1）156(个)；（2）216(个)；（3）270(个)．
【分析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它
第 17 页们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数；
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和；
（3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比
三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和．
【详解】解：（1）符合要求的四位偶数可分为三类：
第一类：0在个位时有 个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有 种），十位和百位从余下的数字中选（有 种），于
是有 个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有 个．
由分类加法计数原理知，共有四位偶数： 个．
（2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有 个；个位数上的数字是5的五位数有 个．
故满足条件的五位数的个数共有 个．
（3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类：
第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共 个；
第二类：形如14□□，15□□，共有 个；
第三类：形如134□，135□，共有 个；
由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有： 个．
【点睛】本题考查分类计数及简单计数问题，解题的关键是理解所研究的事件，对计数问题分类计数，本题考查
了分类讨论的思想，以及运用排列组合数公式进行计算的能力，本题是计数问题中运算量较大的题，要注意准确
运用分类原理与分步原理计数.
44．(1)
(2)
【分析】（1）先从集合 中任取一个数，有 种取法，再从集合 中取得的两个数字中没有0和含有0，两种情
况分类讨论，结合分类计数原理，即可求解；
（2）先从集合 中任取一个数，有 种取法，再从集合 中取得的两个数字中没有0和含有0，两种情况分
类讨论，结合分类计数原理，即可求解.
(1)
解：从集合 中任取一个数，有 种取法，
若从集合 中取得的两个数字中没有0，有 种取法，
此时可以组成的三位数的个数为 个；
若从集合 中取得的两个数字中含有数字0，有 种取法，
此时可以组成的三位数的个数为 个，
由分类计数原理可得，共有 个三位数.
第 18 页(2)
解：从集合 中任取一个数，有 种取法，
若从集合 中取得的两个数字中没有0，有 种取法，
可构成有重复数字的四位数的个数为 个数字；
若从集合 中取得的两个数字中含有数字0，有 种取法，
可构成有重复数字的四位数的个数为 个数字；
由分类计数原理，可得可重复一个数字的四位数 个.
45．(1)216
(2)1224
(3)396
【分析】（1）根据能被 整除确定个位数字为 ，然后从 中任取 个，从 中任取 个，再将取出的四
个数字作全排列即可得解；
（2）按照五位数中是否含 分两类，可求出结果；
（3）按照 个奇数排的位置分三类计数，再相加可求出结果.
(1)
因为被 整除的数的个位必为 ，所以先从 中任取 个，有 种，从 中任取 个，有 种，然后将得
到的 个数字在前面四个位置上作全排列，有 种，所以满足题意的五位数共有 个.
(2)
若五位数中含 ，则 不能排在首位，有 种，然后从 中任取 个，有 种，从 中任取 个，有 种，
然后将得到的 个数字在剩余的四个位置上作全排列，有 种，
此时，共有 个；
若五位数中不含 ，则从 中任取 个有 种，从 中任取 个有 种，将取出的 个数字作全排，有 种，
此时共有 个，
综上所述：满足题意的五位数共有 个.
(3)
若 个奇数排在万位和百位上，有 个；
若 个奇数排在万位和个位上，有 个；
若 个奇数排在百位和个位上，有 个，
所以满足题意的五位数共有 个.
46．（1）216；（2）216；（3）193.
【分析】（1）根据题意，分个位数字分别是0和5两种情况，当个位数字上是5时考虑数字里含0和不含0两种
情况，进而结合分类加法计数原理得到答案；
（2）五位数能被3整除，进而考虑各位数数字之和能被3整除的情况，然后根据排列数公式结合分类计数原理得
到答案；
第 19 页（3）根据所给数字，考虑首位数字是1和2两种情况，当首位数字为1时都比240 135小，当首位数字为2时考虑
比240 135小的数字，进而根据排
列数公式和分类加法计数原理得到答案.
【详解】（1）个位上的数字必须是0或5，个位上是0，有 个；个位上是5，若不含0，则有 个；若含0，但
0不作首位，则0的位置有 种排法，其余各位有 种排法，故共有 + + ＝216(个)能被5整除的五位数.
（2）能被3整除的条件是各位数字之和能被3整徐，则5个数可能有{1，2，3，4，5}和{0，1，2，4，5}两种情
况，能够组成的五位数分别有 和 个.
故能被3整除的五位数有 (个).
（3）由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有 个数，首位数字为2，万位上为0，1，3中的一个有
个数，∴240 135的项数是 ＋ ＋1＝193，即240 135是数列的第193项
47．（1）360个，120个；（2）160个.
【分析】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解；
（2）分最高位上是7和6，由分类加法计数原理，即得解
【详解】（1）偶数的个位数只能是2、4、6，有 种排法，其他位上有 种排法，
由分步乘法计数原理，知共有四位偶数 =360(个)；
能被5整除的数个位必须是5，故有 =120(个)
（2）最高位上是7时大于6 500，有 种，
最高位上是6时，百位上只能是7或5，故有2× 种.
由分类加法计数原理知，这些四位数中大于6 500的共有 +2× =160(个).
48．(1)2500
(2)96
(3)20
(4)36
(5)88
【分析】（1）首位上不能为0，用分步乘法计数原理即可求解；
（2）先排特殊位置“万位”有4种填法，再排其余四个位置；
（3）构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，分别由 和 ， 以及 组成三位数
即可；
（4）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，最后排其他位置；
（5）本小问的本质就是不大于42130的数有多少，按分类加法计数原理，讨论各位数字排列即可．
(1)
各个数位上数字允许重复，首位上不能为0，故采用分步乘法计数原理，
有 个．
(2)
第 20 页考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4种填法，
其余四个位置，4个数字全排列，故共有 个．
(3)
构成3的倍数的三位数，其各个位上数字之和是3的倍数，
则由 和 ， 以及 组成三位数，
由 和 组成的三位数有 个，
由 以及 组成三位数有 个，故共有 个；
(4)
考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有 种填法，
然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有 种填法，包含0在内还有3个数
在中间三个位置上全排列，排列数为 ，故共有 个．
(5)
本小问的本质就是不大于42130的数有多少．
按分类加法计数原理，当万位数字为1、2、3时均满足，共有 三个数，
当万位数字为4，千位数为0、1时均满足，共有 个数，
当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1时均满足，共有 个，
所以42130是第 个数．
第 21 页第 22 页
