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微专题：数列新定义问题
【考点梳理】
解数列中的新定义问题的解题步骤：①读懂定义，理解新定义数列的含义；②通过特例列举(一般是前面一些
项)寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系，进行求解.
【典例剖析】
典例1．定义：在数列 中，若对任意的 都满足 （d为常数），则称数列 为等差比数列．
已知等差比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
典例2．【多选】“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体为，取0，3，6，12，24，48，
96，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以
10，就得到“提丢斯数列”：0．4，0．7，1．0，1．6，2．8，5．2，10．0，…，则下列说法中正确的是（
）
A．“提丢斯数列”是等比数列
B．“提丢斯数列”的第99项为
C．“提丢斯数列”的前31项和为
D．“提丢斯数列”中，不超过20的有8项
典例3．（1）定义：若数列 满足 ，则称 为“平方递推数列”.已知：数列 中， ，
.
①求证：数列 是“平方递推数列”；
②求证：数列 是等比数列；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③求数列 的通项公式；
（2）已知：数列 中， ， ，求：数列 的通项.
【双基达标】
4．已知等差数列 和等比数列 满足 ， ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）数列 和 中的所有项分别构成集合 ， ，将 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列
，求数列 的前60项和 .
5．若实数数列 满足 ，则称数列 为“P数列”．
(1)若数列 是P数列，且 ， ，求 ， 的值；
(2)求证：若数列 是P数列，则 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)若数列 是P数列，且 中不含值为零的项，记 的前2025项中值为负数的项的个数为m，求m的所有
可能取值．
6．已知等比数列 的各项均为正数，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ， 表示a与b的最大值，记 ，求数列 的前n项和 ．
7．已知 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 中任意两项 ，在 中都存在一项 ，使 ；
②对于 中任意项 ，在 中都存在两项 ．使得 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(Ⅰ)若 ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列.
8．学习资料：有一正项数列 ，若作商 ，则当 时， 当 时， .
这是一种数列放缩的方法.现有一等差数列 的前 项和为 的前
项和为 .
(1)求 ；
(2)求证： .
9．已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ，定义使 为整数的 叫做“幸福数”，求
区间 内所有“幸福数"的和.
10．已知 是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，最小值记为 ，令
，并将数列 称为 的“生成数列”．
(1)若 ，求数列 的前 项和；
(2)设数列 的“生成数列”为 ，求证： ；
(3)若 是等比数列，证明：存在正整数 ，当 时， 是等比数列．
【高分突破】
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司11．若无穷数列{ }满足如下两个条件，则称{ }为无界数列：
① （n=1，2，3......）
②对任意的正数 ，都存在正整数N，使得 .
(1)若 ， （n=1，2，3......），判断数列{ }，{ }是否是无界数列；
(2)若 ，是否存在正整数k，使得对于一切 ，都有 成立？若存在，求出k的范
围；若不存在说明理由；
(3)若数列{ }是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得 .
12．已知 为数列 的前 项和，且满足 ， ．
(1)求证：数列 是递增数列；
(2)如果存在一个正数 ，使得 恒成立，则称数列 是有界的．判断数列 是否有界，并说明理由．
13．已知无穷数列 满足： ， （ ， ）．对任意正整数 ，记
， ．
（1）写出 ， ；
（2）当 时，求证：数列 是递增数列，且存在正整数 ，使得 ；
（3）求集合 ．
14．对于无穷数列 ， ，若 ，则称 是 的“伴随
数列”．其中， ， 分别表示 中的最大数和最小数．已知 为无穷数列，
其前 项和为 ，数列 是 的“伴随数列”．
(1)若 ，求 的前 项和；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)证明： 且 ；
(3)若 ，求所有满足该条件的 ．
15．对于数列 ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 为 数列.
（1）若 的前 项和 ，试判断 是否是 数列，并说明理由；
（2）设数列 是首项为 、公差为 的等差数列，若该数列是 数列，求 的取值范围；
（3）设无穷数列 是首项为 、公比为 的等比数列，有穷数列 ， 是从 中取出部分项按原来的顺
序所组成的不同数列，其所有项和分别为 ， ，求 是 数列时 与 所满足的条件，并证明命题“若
且 ，则 不是 数列”.
16．1.设数列 中前两项 、 给定，若对于每个正整数 ，均存在正整数 使得
，则称数列 为“ 数列”.
(1)若数列 为 、 的等比数列，当 时，试问 与 是否相等，并说明数列
是否为“ 数列”﹔
(2)讨论首项为 、公差为 的等差数列 是否为“ 数列”，并说明理由；
(3)已知数列 为“ 数列”，且 ， ，记 ，其中正整数
，对于每个正整数 ，当正整数 分别取1、2、…、 时， 的最大值记为 ，最小值记为
，设 ，当正整数 满足 时，比较 与 的大小，并求出 的最大值.
17．若数列 满足 ，则称 为E数列.记 .
(1)写出一个满足 ，且 的E数列 ；
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若 ， ，证明E数列 是递减数列的充要条件是 ；
(3)对任意给定的整数 ，是否存在首项为0的E数列 ，使得 ？如果存在，写出一个满足条件的
E数列 ；如果不存在，说明理由.
18．已知数列 为有限数列，满足 ，则称 满足性质 .
(1)判断数列 和 是否具有性质 ，请说明理由；
(2)若 ，公比为 的等比数列，项数为12，具有性质 ，求 的取值范围；
(3)若 是 的一个排列 符合 都具有性质 ，求所有满足
条件的数列 .
19．对于数列 ， ，…， ，定义变换 ， 将数列 变换成数列 ， ，…， ， ，记
， ， ．对于数列 ， ，…， 与 ， ，…， ，定义
．若数列 ， ，…， 满足 ，则称数列 为 数列．
(1)若 ，写出 ，并求 ；
(2)对于任意给定的正整数 ，是否存在 数列 ，使得 若存在，写出一个数列 ，若不存
在，说明理由：
(3)若 数列 满足 ，求数列A的个数．
20．数列 满足： 或 对任意i，j，都存在s，t，使得
，其中 且两两不相等.
(1)若 时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；① ；② ；③
；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)记 ，若 证明： ；
(3)若 ，求n的最小值.
21．已知数列 ： ， ，…， ，其中 是给定的正整数，且 .令 ， ，
， ， ， .这里， 表示括号中各
数的最大值， 表示括号中各数的最小值.
(1)若数列 ：2，0，2，1，-4，2，求 ， 的值；
(2)若数列 是首项为1，公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
(3)若数列 是公差 的等差数列，数列 是数列 中所有项的一个排列，求 的所有可能值（用
表示）.
22．对于序列 ，实施变换T得序列 ，记作 ；对 继
续实施变换T得序列 ，记作 ．最后得到的序列 只有一个数，
记作 ．
(1)若序列 为1，2，3，求 ；
(2)若序列 为1，2，…，n，求 ；
(3)若序列A和B完全一样，则称序列A与B相等，记作 ，若序列B为序列 的一个排列，请问：
是 的什么条件？请说明理由．
23．对于数列 ，若存在正数 ，使得 对任意 都成立，则称数列 为“拟等比数列”．
(1)已知 ， ，且 ，若数列 和 满足： ， 且 ，
；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①若 ，求 的取值范围；
②求证：数列 是“拟等比数列”；
(2)已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ， ， ，且 是“拟等比数
列”，求 的取值范围（请用 、 表示）．
24．已知无穷数列 满足：① ；② （ ； ；
）.设 为 所能取到的最大值，并记数列 .
(1)若 ，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 ，求数列 的前100项和.
25．已知数列 的前 项和 ，令 ，其中 表示不超过 的最大整数， ，
.
（1）求 ；
（2）求 ；
（3）求数列 的前 项之和.
26．设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不
存在，说明理由．
27．对于无穷数列 ，若 ， ，则称数列 是数列
的“收缩数列”，其中 分别表示 中的最大项和最小项，已知数
列 的前n项和为 ，数列 是数列 的“收缩数列”
（1）若 求数列 的前n项和；
（2）证明：数列 的“收缩数列”仍是 ；
（3）若 ，求所有满足该条件的数列 ．
28．定义数列 如下： ，对任意的正整数 ，有 .
（1）写出 ， ， ， 的值；
（2）证明：对任意的正整数 ，都有 ；
（3）是否每一个非负整数都在数列 中出现？证明你的结论.
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】根据等差比数列的定义可求得 的通项公式，将 变为 ，利用通项公式即可求得答案.
【详解】因为 为等差比数列， ， ， ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 ，
所以 ．
故选:C．
2．BCD
【分析】记“提丢斯数列”为数列 ，推导出等比数列 ，由等比数列的性质、通项公式和
前 项和公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】记“提丢斯数列”为数列 ，则当 时， ，
当 时， ，符合该式，当 时， 不符合上式，故 ，故A错误；
，故B正确；
“提丢斯数列”的前31项和为 ，故C正确；令 ，
即 ，得 ，又 ，故不超过20的有8项，故D正确．
故选：BCD．
3．（1）①见解析；②见解析；③ ；（2） .
【分析】（1）①依据“平方递推数列”定义，结合条件 ，可证数列 是“平方递推数列”；
②令 ，进而有 ．从而可证数列 为等比数列；
③由②知，数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，故可求；
（2）两边同乘以 整理得， ，两边取对数得： ，故数列 是以
为首项，3为公比的等比数列，从而可求数列 的通项．
【详解】解：（1）①由条件 ，得 ，
数列 是“平方递推数列”；
②令 ， ，则 ，
第 10 页， ，
数列 是等比数列；
③由②知， ，
，
；
（2）∵ ，
∴ ，
，
两边取对数得： ，
数列 是以 为首项，3为公比的等比数列，
，
，
.
4．（1） ， ；（2） .
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ，
∴ ， ，
∴ ， .
（2）当 的前60项中含有 的前6项时，令 ，
此时至多有 项（不符）.
当 的前60项中含有 的前7项时，令 ，
且 ， ， 是 和 的公共项，则 的前60项中含有 的前7项且含有 的前56项，再减去公共
的三项.
∴ .
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析新数列 是由 和 中的哪些选项构成的，还要注意去掉
公共项.
5．(1)
(2)见解析
第 11 页(3)
【分析】（1）推导出 ， ，由此能求出 ， 的值；
（2）假设 数列 的项都是正数，则 ， ，与假设矛盾；假设 数列
的项都是负数，则 ，与假设矛盾，由此能证明 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
（3）存在最小的正整数 满足 ， ，数列 是周期为9的数列，由此能求出结果．
(1)
解：因为 是 数列，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ；
(2)
证明：假设 数列 的项都是正数，即 ， ， ，
所以 ， ，与假设矛盾，
故 数列 的项不可能全是正数，
假设 数列 的项都是负数，
则 ，而 ，与假设矛盾，
故 数列 的项不可能全是负数，
所以 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(3)
解：由（2）可知 数列 中项既有负数也有正数，
且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．
因此存在最小的正整数 满足 ， ．
设 ， ，
则 ， ， ， ． ， ， ， ，
，
故有 ，即数列 是周期为9的数列，
由上可知 ， ， ， 这9项中，
， 为负数， ， 这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数，
因为 ，
所以当 时， ；
第 12 页当 时， ， ， ， 这 项中至多有一项为负数，而且负数项只能是 ，
记 ， ， ， 这 项中负数项的个数为 ，
当 ，3，4时，若 ，则 ，故 为负数，
此时 ， ；
若 ，则 ，故 为负数．
此时 ， ，
当 时， 必须为负数， ， ，
综上可知 的取值集合为 ．
【点睛】本题考查了利用数列的递推公式求数列中的项，考查数列中的项不可能全是正数，也不可能全是负数的
证明，考查实数的集合的求法，难度较大，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．
6．(1)
(2)
【分析】(1)根据题意，令 ，列出方程组，解方程组可得公比，进而求出首项，利用等比数列的定义即
可求出通项公式；
(2)由(1)，根据等比数列前n项求和公式求出 ，可得 ，根据题意给的定义求得所以
，再次利用等比数列前n项求和公式计算即可.
(1)
设 的公比为 ．
由 ，得
②÷①，得 ，结合 ，解得 ．将 代入①，解得 ，
所以数列 的通项公式为 ．
(2)
由（1）， ，则 ，
从而当 时， ；当 时， ，所以 ．
当 时，
第 13 页．
综上， ．
7．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析.
【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断；
(Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；
(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明 ，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.
解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得 成等比数列，之后证得 成等比数列，同理
即可证得数列为等比数列，从而命题得证.
【详解】(Ⅰ) 不具有性质①；
(Ⅱ) 具有性质①；
具有性质②；
(Ⅲ)解法一
首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：
显然 ，假设数列中存在负项，设 ，
第一种情况：若 ，即 ，
由①可知：存在 ，满足 ，存在 ，满足 ，
由 可知 ，从而 ，与数列的单调性矛盾，假设不成立.
第二种情况：若 ，由①知存在实数 ，满足 ，由 的定义可知： ，
另一方面， ，由数列的单调性可知： ，
这与 的定义矛盾，假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得，数列中的项数同号.
其次，证明 ：
利用性质②：取 ，此时 ，
第 14 页由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：
假设数列 的前 项成等比数列，不妨设 ，
其中 ，（ 的情况类似）
由①可得：存在整数 ，满足 ，且 （*）
由②得：存在 ，满足： ，由数列的单调性可知： ，
由 可得： （**）
由（**）和（*）式可得： ，
结合数列的单调性有： ，
注意到 均为整数，故 ，
代入（**）式，从而 .
总上可得，数列 的通项公式为： .
即数列 为等比数列.
解法二：
假设数列中的项数均为正数：
首先利用性质②：取 ，此时 ，
由数列的单调性可知 ，
而 ，故 ，
此时必有 ，即 ，
即 成等比数列，不妨设 ，
然后利用性质①：取 ，则 ，
即数列中必然存在一项的值为 ，下面我们来证明 ，
否则，由数列的单调性可知 ，
第 15 页在性质②中，取 ，则 ，从而 ，
与前面类似的可知则存在 ，满足 ，
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与假设矛盾；
若 ，则： ，与数列的单调性矛盾；
即不存在满足题意的正整数 ，可见 不成立，从而 ，
然后利用性质①：取 ，则数列中存在一项 ，
下面我们用反证法来证明 ，
否则，由数列的单调性可知 ，
在性质②中，取 ，则 ，从而 ，
与前面类似的可知则存在 ，满足 ，
即由②可知： ，
若 ，则 ，与假设矛盾；
若 ，则 ，与假设矛盾；
若 ，由于 为正整数，故 ，则 ，与 矛盾；
综上可知，假设不成立，则 .
同理可得： ，从而数列 为等比数列，
同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证，数列 为等比数列.
【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的
性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.
8．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 公差 ，根据 可得首项和公差，利用等差数列前n项公式可得答案；
第 16 页（2）求出 ，计算出 ，根据单调性再计算出当 时，
可得 ，利用等比数列求和公式可得答案.
(1)
设 公差 ， ，
解得 ， ，
.
(2)
（随 递减），
当 时， ，即 （ ，仅 时相等），
（从 开始放缩），
.
9．(1)
(2)1349
【分析】（1）根据 可得 ，两式相减可推得 的奇数项和偶数项各自成
等差数列，由此求得答案；
（2）利用（1）写出 的表达式，继而可得 。由其为整数可求得 ，结合区间
确定m的值，可求得答案.
（1）因为 ，所以当 时， ，故两式相减得： ，即
的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且 ，所以奇数项
，则 为奇数时， ，偶数项 ，则 为偶数
第 17 页时， ，故数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）可得， ，所以
，设 ,故 ，令
，则 ，由于m是整数，故m的值取1，2，3，4，5，故区间 内所有“幸福数"的
和为 .
10．(1) ；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用差比法判断数列的单调性，结合等比数列的定义和前 项和公式进行求解即可；
（2）根据数列的单调性，结合生成数列的定义运用累加法进行证明即可；
（3）结合（2）的结论，根据等比数列的定义分类讨论进行证明即可.
(1)
因为 ，所以 ．
所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以数列 是等比数列，
所以数列 的前 项和为： ；
(2)
由题意可知 ， ，
所以 ，
所以 ．所以 ，
所以 ，
由“生成数列”的定义可得 ，
所以 ．
累加可得 .
(3)
第 18 页由题意知 ．由（Ⅱ）可知 ．
① 当 时，得 ，即 ，
所以 ，
所以 .
即 为公比等于1的等比数列，
②当 时，令 ，则 .
当 时，显然 ．
若 ，则 ，与 矛盾,
所以 ，即 .
取 ，当 时，
，显然 是等比数列,
综上，存在正整数 ，使得 时， 是等比数列.
【点睛】关键点睛：根据数列的单调性是解题的关键.
11．(1){ }是无界数列；{ }不是无界数列.
(2)存在，
(3)证明见解析
【分析】（1）对任意的正整数 ，取 为大于 的一个偶数，有 ，符合无界数列的定义；
取 ，显然 ，不符合无界数列的定义.
（2）讨论 ， ， 都不成立，当 时，将 变形为：
，从而求得k的范围.
（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{ }是单调递增的无界正数列证明.
(1)
{ }是无界数列，理由如下：
对任意的正整数 ，取 为大于 的一个偶数，有 ，所以{ }是无界数列.
{ }不是无界数列，理由如下：
取 ，显然 ，不存在正整数 ，满足 ，所以{ }不是无界数列.
(2)
第 19 页存在满足题意的正整数k，且 .
当 时， ，不成立.
当 时， ，不成立
当 时， ，不成立
当 时，将 变形为：
.
即取 ，对于一切 ，有 成立.
(3)
因为数列{ }是单调递增的无界数列，所以 ，
所以
.
即
因为{ }是无界数列，取 ，由定义知存在正整数 ，使 所以 .
由定义可知{ }是无穷数列，考察数列 ， ， …，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可
知存在正整数 ，使得
.
故存在正整数 ，使得
.
故存在正整数 ，使得 成立
12．(1)证明见解析；
(2)有界，理由见解析.
【分析】（1）利用 与 关系可求得 ，可证得 ，由此可证得结论；
第 20 页（2）由 可得数列 有界.
(1)
当 时， ；经检验： 也满足 ，
数列 的通项公式为 ，
，
， 数列 是递增数列；
(2)
数列 有界．
理由如下： ，即 恒成立， 数列 有界．
13．（1） ， ；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】（1）根据题意有 解出 ，根据 解出 ；
（2）根据递增数列定义判定 成立，存在正整数 使得 ，取特殊值验证 即可得出结论；
（3）由（2）可得，当 时，存在正整数 使得 ，所以若 ，则 ，结合（1）得 ，验
证其是否成立.
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，所以
因为
又 ，所以
结合 可得 ．
（2）当 时，对任意 ，都有
，
所以 ．
所以数列 是递增数列．
因为 ，
第 21 页所以 ．
令 ，则 ，
所以 ．
所以存在正整数 ，使得 ．
（3）由题意得，对任意 ，都有 且 ．
由（2）可得，当 时，存在正整数 ，使得 ，所以 ．
所以若 ，则 ．
又因为 ，所以若 ，则 ．
所以若 ，则 ，即 ．
下面证明 ．
①当 时，对任意 ，都有 ．
下证对任意 ， ．
假设存在正整数 ，使得 ．
令集合 ，则非空集合 存在最小数 ．
因为 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，与 矛盾．
所以对任意 ， ．
所以当 时， ．
②当 时， ．
下证对任意 ， ．
假设存在正整数 ，使得 ．
令集合 ，则非空集合 存在最小数 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ．
，且 ，
第 22 页所以 ，与 矛盾．
所以当 时， ．
所以当 时，对任意 ，都有 ．
所以 ，即 ．
因为 ，且 ，所以 .
【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：
（1）作差比较法根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列；
（2）作商比较法根据 ( 或 )与1的大小关系进行判断；
（3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.
14．(1) ；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）由 可得 为递增数列， ， ，从而易得 ；
（2）令 ，即可得 .利用 ，
，可证 ；
（3）首先，由已知，当 时， ；当 时， ， ；当 时，
（*），这里分析 与 的大小关系， ， 均出现矛盾， ，结合(*)式可得 ，因此猜
想 （ ），用反证法证明此结论成立，证明时假设 是首次不符合 的项，
则 ，这样题设条件变为 （*），仿照讨论 的情
况讨论 ，可证明．
(1)
由 可得 为递增数列，
所以
，
故 的前 项和为 .
(2)
第 23 页时， ，
因为 ，
，
所以
所以 ；
(3)
由 可得
当 时， ；
当 时， ，
即 ，所以 ；
当 时， ，
即 （*），
若 ，则 ，
所以由（*）可得 ，与 矛盾；
若 ，则 ，
所以由（*）可得 ，
所以 与 同号，这与 矛盾；
若 ，则 ，由（*）可得 .
猜想：满足
的数列 是： .
经验证，左式
，
右式
.
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件.
法1：由上述 时的情况可知， 时， 是成立的.
第 24 页假设 是首次不符合 的项，则 ，
由题设条件可得 （*），
若 ，则由（*）式化简可得 与 矛盾；
若 ，则 ，
所以由（*）可得
所以 与 同号，这与 矛盾；
所以 ，则 ，所以由（*）化简可得 .
这与假设 矛盾.
所以不存在数列不满足 的 符合题设条件.
法2：当 时， ，
所以
即
由 可得
又 ，所以可得 ，
所以
，
即
所以 等号成立的条件是
，
所以，所有满足该条件的数列 为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义问题，考查学生创新意识，从特殊到一般的思维能力，题中讨论
与 大小关系是解题关键所在．
15．（1）是，理由见解析；（2） ；（3）当 是 数列时， 与 满足的条件为 或
第 25 页，证明见解析.
【解析】(1)由 数列定义知，仅需验证当 时， 恒成立即可；
(2)写出 ， 的表达式，则 对满足 的任意 都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的
问题，然后据此去求解 的范围；
(3)根据数列 是 数列，可以得到 ，所以需要分 ， 和 ， 去讨论，和(2)相似，
还是去求解使得 的 取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应
的 的取值范围即可.在证明命题“若 且 ，则 不是 数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列
的项都在数列 中、数列 的项都在数列 中的情况.若数列 至少有一项不在数列 中，且数列 至
少有以一项不在数列 中,先去掉其公共项得到数列 ， ，设数列 的最大项为 ，且数列
的最大项比数列 的最大项大，然后根据数列 是 数列的性质,得到 ,从而推出矛盾，进而所求
证得证.
【详解】(1)∵ ，
∴ ，
当 时， ，
故 ，
那么当 时， ，符合题意，
故数列 是 数列；
(2)由题意知，该数列的前 项和为 ， ，
由数列 是 数列，可知 ，故公差 ，
对满足 的任意 都成立，则 ，解得 ，
故 的取值范围为 ；
(3)①若 是 数列，则 ，
若 ，则 ，又由 对一切正整数 都成立，可知 ，即 对一切正整数 都成
立，
由 ， ，故 ，可得 ；
第 26 页若 ，则 ，又由 对一切正整数 都成立，可知 ，即 对一切正整数 都成
立，
又当 时， 当 时不成立，
故有 或 ，解得 ，
∴当 是 数列时， 与 满足的条件为 或 ；
②假设 是 数列，则由①可知， ， ，且 中每一项均为正数，
若 中的每一项都在 中，则由这两数列是不同数列，可知 ；
若 中的每一项都在 中，同理可得 ；
若 中至少有一项不在 中且 中至少有一项不在 中，
设 ， 是将 ， 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 ， ，
不妨设 ， 中最大的项在 中，设为 ，
则 ，故 ，故总有 与 矛盾，故假设错误，原命题正确.
【点睛】本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题.
16．(1)相等，是“T数列”；
(2)具体见解析；
(3) ，最大值为 .
【分析】（1）根据题意求出 ，进一步求出 ，然后验证两者是否相等，最后根据“ 数列”的定义得
到结论；
（2）若 ，由常数数列的特征可以判断结论，若 或 ，通过举反例即可判断结论；
（3）由题意，对于每个正整数 ，均有 ， ，且对于所有正整数 ，
均有 ，即 ，进而对于每个正整数 ，取适当的正整数t， ，使得
， ，然后证明 ， ，进一步得到
，进而判断数列 的单调性，最后得到答案.
(1)
第 27 页由题意， ，当正整数 时， ，所以
.
因为对于每个正整数 ，均存在正整数2，使得 ，所以数列 为“ 数列”.
(2)
时，对于每个正整数 ，均存在正整数1，使得 ，则数列为“ 数列”；
时， ， 时， ，
于是， 时，对n=3，当正整数k满足 时，总有 ，即 时，数列不是“
数列”.
(3)
由题意可知，对于每个正整数 ，均有 ， ，且对于所有正整数 ，均
有 ，即 ，记 ，
对于每个正整数 ，取适当的正整数t， ，使得 ， ，由
，则
，即 .
类似的， ，
即
因为 ，
所以 ，
，
所以
，则 ，
因为 所以 ，则 .
于是，正整数 时， 成立，即正整数 时， 成立，
第 28 页所以正整数 满足 时，当n=3时， 取得最大值为 .
【点睛】本题第（3）问难度大，在思考这样的新信息题目时，可以先从特殊值出发，找到一定的规律，然后推广
到一般的情况；另外，数列中最值的问题往往与数列的单调性结合在一起，而比较大小的的方法有作出法、函数
法、放缩法等等，平常注意对这方面的训练.
17．(1)0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）
(2)证明见解析；
(3)不存在，理由见解析.
【分析】(1)根据 与 和 可考虑写出 交替的数列.
(2)先证必要性，根据 数列 是递减数列，可得 ，进而求得 .再证明充分性，
因为 ，故 ，再累加可得 证明即可.
(3)设 ,则 ，再累加求得
，再分析 的奇偶，根据整除的性质，先假设存
在再证明矛盾即可.
(1)
（或 ）
(2)
必要性：因为 数列 是递减数列，
所以 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ；
充分性：由于 ， ，…， ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是递减数列.
综上，结论得证．
(3)
令 ，
则 ．
因为 ， ，……, ，
所以
第 29 页因为 ，所以 为偶数 ，
所以 为偶数．
所以要使 ，必须使 为偶数，即 整除 ，
亦即 或 ．
当 时，
数列 的项满足 ， ， 时，
有 ， ；
当 时，
数列 的项满足 ， ， ， 时，
有 ， ．
当 ， 时， 不能被 整除，
所以对任意给定的整数 ,不存在 数列 使得 ， ．
【点睛】关键点点睛：在解数列新定义的问题,需要根据题意去绝对值分析,并根据整除的性质推理证明.
18．(1) 满足， 不满足
(2)
(3)共4个满足，分别是 ： 和 和 和
【分析】（1）结合题设中的定义可判断给定的两个数列是否具有性质 ；
（2）等比数列具有性质 等价于 对任意的 恒成立，就
分类讨论后可得 的取值范围.
（3）设 ，先考虑 均不存在具有性质 的数列，再分别考虑 时具有性质
的数列，从而得到所求的数列.
(1)
对于第一个数列有 ，满足题意，该数列满足性质
对于第二个数列有 不满足题意，该数列不满足性质 .
(2)
由题意可得，
两边平方得：
整理得：
第 30 页当 时，得 ， 此时关于 恒成立，
所以等价于 时 ，所以 ，
所以 或者 ，所以取 .
当 时，得 ， 此时关于 恒成立，
所以等价于 时 ，所以 ，
所以 ，所以取 .
当 时，得 .
当 为奇数的时候，得 ，因为 ，故显然成立
当 为偶数的时候，得 ，因为 ，故显然不成立，
故当 时，矛盾，舍去.
当 时，得 .
当 为奇数的时候，得 ，显然成立，
当 为偶数的时候，要使 恒成立，
所以等价于 时 ，所以 ，
所以 或者 ，所以取 .
综上可得， .
(3)
设 ， ，
因为 ， 故 ，
所以 可以取 或者 ，
若 ， ，则 ，
故 或 （舍，因为 ），
所以 （舍，因为 ）.
若 ， ，则 ，
故 （舍，因为 ），或
所以 （舍，因为 ）.
所以 均不能同时使 ， 都具有性质 .
当 时，即有 ，
故 ，故 ，
故有数列 ： 满足题意.
当 时，则 且 ，故 ，
第 31 页故有数列 ： 满足题意.
当 时， ，
故 ，故 ，
故有数列 ： 满足题意.
当 时，则 且 ，
故 ，
故有数列 ： 满足题意.
故满足题意的数列只有上面四种.
【点睛】本题为新定义背景下的数列存在性问题，先确定 时均不存在具有性质 的数列是
关键，依据定义枚举再依据定义舍弃是核心，本题属于难题.
19．(1) ； ；
(2)不存在适合题意的数列 ；
(3) .
【分析】（1）利用变换 的定义即；
（2）利用 数列的定义，记 中有 个 ，有 个 ，则 ，进而即得；
（3）由题可得 ，进而可得 ，然后结合条件即得.
(1)
由 ，
可得 ，
，
∴ ；
(2)
∵ ，
由数列A为 数列，所以 ，
对于数列 ， ，…， 中相邻的两项 ，
令 ，若 ，则 ，若 ，则 ，
记 中有 个 ，有 个 ，则 ，
因为 与 的奇偶性相同，而 与 的奇偶性不同，
故不存在适合题意的数列 ；
(3)
首先证明 ，
对于数列 ， ，…， ，有 ， ，…， ， ，
第 32 页， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
， ，…， ， ， ， ，…， ， ，
∵ ，
，
∴ ，
故 ，
其次，由数列 为 数列可知， ，
解得 ，
这说明数列 中任意相邻两项不同的情况有2次，
若数列 中 的个数为 个，此时数列 有 个，
所以数列 的个数为 个.
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁
移.
20．(1)②③
(2)证明见详解
(3)1008
【分析】（1）由题干的四个限定条件对数列序号逐一判断即可；
（2）由反证法证明即可；
（3）由（2）得出一个 ，证明 满足题意，即可得到 的最小值，
(1)
由题可知，数列 必满足： 或1，对任意i，j，都存在s，t，使得 ，
且两两不相等，
对①， ，不满足 ，故①不符合；
对②，当 时，存在 ，同理当 时，存在 ，当 时，存在 ，
故②符合；
同理对③也满足，故满足题目条件的序列号为：②③；
(2)
证明：当 时，设数列 中1，2，3出现的频次为 ，由题意知， ，假设 时， ，
（对任意 ），与已知矛盾，故 ，同理可证 ，
假设 ，数列 可表示为： ，显然 ，故 ，经验证 时，显然符合
，所以 ， ， ，数列 的最短数列可表示为： ，故 ；
(3)
由（2）知，数列 首尾应该满足 ，假设中间 各出现一次，
第 33 页此时 ，显然满足 或1，
对 或 时显然满足 （ ）；
对 ， 或 时显然满足 （ ）；
对 ， 时，则可选取 ，满足 ；同理若 ， ，则可选取
，满足 ；
如果 ，则可取 ，这种情况下每个数最多被选取一次，因此也成立，故对任意i，j，
都存在s，t，使得 ，其中 且两两不相等，故 的最小值为1008
21．(1) ， ；
(2) ；
(3)所有可能值为 .
【分析】（1）根据函数定义写出 ， 即可.
（2）讨论数列A的项各不相等或存在相等项，当各项都不相等，根据题设 定义判断
，当存在相等项，由等比数列通项公式求q，进而确定 的值；
（3）利用数列A的单调性结合（2）的结论求 的取值范围，估计所有可能取值，再应用分类讨论求证
对应所有可能值均可取到，即可得结果.
(1)
由题设， ， ， ，则 ，
， ， ，则 ，
所以 ， .
(2)
若数列 任意两项均不相等，
当 时 ；
当 且 时， ，
又 ， ，
此时 ；
综上， ，故 ，不合要求；
要使 ，即存在 且 使 ，即 ，
又 ，则 ，
当 ，则 ，不合要求；
当 ，则 ，满足题设；
综上， .
(3)
第 34 页由题设数列 单调递增且 ，
由（2）知： ，
根据题设定义，存在 且 ， ，
则 ，
由 比数列 中 个项大， ，同理 ，
所以 ；
又 至少比数列 中一项小， ，同理 ，
所以 ；
综上， .
令数列 ，下证 各值均可取到，
ⅰ、当 ，而数列 递增，
， 且 ，
此时， ， ，
则 ；
ⅱ、当 时， ，则 ，
当 且 时，令 ，则 ，
所以 ，
，
此时 ；
ⅲ、给定 ，
令 ( )且 ( )，
则 ( )， ( )，
又数列 递增， ，
( )， ( )，
所以 ，
此时 且 ，
故 ，
综上， .
【点睛】关键点点睛：第三问，首先根据数列的单调性和定义求 的取值范围，再由定义结合分类讨论
求证范围内所有可能值都可取到.
22．(1)
(2)
第 35 页(3)充分不必要条件
【分析】（1）根据所给定义计算可得；
（2）根据归纳推理可得 ，利用倒序相加法，化简即可得结果.
（3）根据充分条件、必要条件的定义判断即可；
(1)
解：序列 为1，2，3， ， ， ，即8， ．
(2)
解： 时，
时， ．
时， ，
时， ，
，
取 时， ，
取 时， ①，
则 ②，
① ②得，
所以 ．
由序列 为1，2， ， ，可得 ．
(3)
解：序列 为序列 ，2， ， 的一个排列， ．而反之不成立．
例如取序列 为： ， ， ，2，1，满足 ．
因此 是 的充分不必要条件．
23．(1)① ；②证明见解析
(2)
【分析】（1）①根据基本不等式可求得 的取值范围；
②利用数学归纳法证明出： ， ，然后利用不等式的性质可证得 ，即可证得
结论成立；
（2）由题中条件 ， ， ，先求出 的范围；再根据 是“拟等比数列”，分类讨论
第 36 页和 ，利用参变量分离法结合数列的单调性即可得出结果.
(1)
解：①因为 ， ，且 ， ， ，
所以， 的取值范围是 ；
②由题意可得 ，
则 ，即 ，
假设当 时， ，
则当 时， ，即 ，
所以，对任意的 ， ，
所以， ， ，
即存在 ，使得 ，
所以，数列 是“拟等比数列”.
(2)
解：因为 ， ， ，
即 ，所以 ，
即 ，且有 ，
因为 ，则 ，所以， ，
又因为数列 是“拟等比数列”，故存在 ，使得 ，且数列 为单调递减数列.
①当 时，此时 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
第 37 页因为数列 在 时单调递减，故 ，
而 ；
②当 时， ，则 ，
由 ，则 ，
因为数列 在 时单调递减，故 .
由①②可得 ，即 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解数列不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
24．(1) ；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据数列的新定义即得；
（2）由题可得 或 ，分情况讨论，进而可得 ；
（3）由题可得 ，进而猜想数列 ：1，2，4，5，7，8， ，然后利用数学归纳法证明，再利用数列求和公
式即得.
(1)
；
(2)
因为 ，
所以 ，所以 或 .
因此 .
第 38 页当 时，
且 同时成立，
此时 .
当 时，
且 同时成立，此时矛盾.
综上， .
(3)
因为 ，
所以 .
所以 .
由 知， .
事实上，当 时，
与 同时成立，
所以 ，从而 .
猜想数列 ：1，2，4，5，7，8， ，
即数列 由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数A： 的两条性质.
下面用数学归纳法证明.
①当 时结论成立.
②假设 时结论成立，则当 时，
当 时，此时 ，
由于 ；
；
上面各式均成立，此时有 .
当 时，此时 ，
由于 ；
；
上面各式均成立，此时有 .
综上，数列 是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成.
数列 的前100项和为： .
第 39 页【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁
移.
25．（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）根据 与 的关系即可求出数列 的通项公式；
（2）由（1）求得数列 的通项，再根据定义即可求得答案；
（3）当 时， ，且在数列 中有 个 ，设 ，
数列 的前m项的和为 ，求数列 的前 项之和即为求数列 的前m项的和 ，利用错位
相减法即可求得答案.
【详解】解：（1）当 时， ，
当 时， ，
当 时，等式也成立，
所以 ；
（2） ，则 ，
因为 ，
所以 ；
（3）当 时， ，且在数列 中有 个 ，
设 ，数列 的前m项的和为 ，
则 ①，
②，
①-②得：
，
所以 ，
所以数列 的前 项之和为 .
26．（1）不可以是 数列；理由见解析；（2） ；（3）存在； ．
【分析】(1)由题意考查 的值即可说明数列不是 数列；
(2)由题意首先确定数列的前4项，然后讨论计算即可确定 的值；
(3)构造数列 ，易知数列 是 的，结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 的值.
【详解】(1)因 为 所以 ，
第 40 页因 为 所 以
所以数列 ，不可能是 数列.
(2)性质① ，
由性质③ ，因此 或 ， 或 ，
若 ，由性质②可知 ，即 或 ，矛盾；
若 ，由 有 ，矛盾.
因此只能是 .
又因为 或 ，所以 或 .
若 ，则 ，
不满足 ，舍去.
当 ，则 前四项为:0，0，0，1，
下面用数学归纳法证明 ：
当 时，经验证命题成立，假设当 时命题成立，
当 时：
若 ，则 ，利用性质③：
，此时可得： ；
否则，若 ，取 可得： ，
而由性质②可得： ，与 矛盾.
同理可得：
，有 ；
，有 ；
，又因为 ，有
即当 时命题成立，证毕.
综上可得： ， .
(3)令 ，由性质③可知：
，
由于 ，
因此数列 为 数列.
由（2）可知:
若 ；
第 41 页， ，
因此 ，此时 ， ，满足题意.
【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、
新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的
透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三
基，以不变应万变才是制胜法宝.
27．（1） ；（2）证明见解析；（3）所有满足该条件的数列 的通项公式为 ， ，
．
【分析】（1）根据 为递增数列以及收缩数列的定义可得结果；
（2）根据 ， 以及不等式的性质可得
，再根据收缩数列的定义可得结果；
（3）在 中，令 可得 ，猜测
， ， ，再证明证明其它数列都不满足（3）的题设条件，可得解.
【详解】（1）由 可得 为递增数列，
所以 ，
所以 .
（2）因为 ，
，所以
所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
所以数列 的“收缩数列”仍是 .
（3）由 ，
可知当 时， ，
当 时， ，则 ，因为 ，所以 ，
当 时， ，即 （*），
若 ，则 ，所以由（*）可得 ，与 矛盾；
若 ，则 ，所以由（*）可得 ，即 与 同号，这与 相矛
盾；
第 42 页若 ，则 ，所以由（*）可得 ，符合，
猜想，满足 的数列为
， ， ，
经验证左边 ，
右边 ，
下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件，
由上述 的情况可知， 时是成立的，
假设 是首次不符合 ， 的项，则 ，
由题设条件可得 ，
即 （&），
若 ，则 ，所以由（&）式化简可得 与 矛盾，
若 ，则 ，所以由（&）式化简可得 ，所以 与 同号，这与
矛盾，
若 ，则 ，所以由（&）化简可得 ，这与 矛盾，
所以假设不成立，所以其它数列都不满足（3）的题设条件，
所以所有满足条件的数列 的通项公式为 ， ， .
【点睛】本题考查了数列中的新定义，考查了分类讨论思想，考查了等差数列的求和公式，考查了归纳推理能力，
考查了反证法，考查了数列的单调性，解题关键是对新定义的理解和运用，属于难题.
28．（1） ， ， ， ；（2）证明见解析；（3）每一个非负整数都在数列 中出现，证明
见解析.
【分析】（1）利用题目中定义的数列 ，直接将 代入即可求 ， ， ， 的值；
（2）利用数学归纳法证明即可；
（3）对于任意的非负整数 ，考虑 ， ，若 ，令
，可得 ，令 ，再由数学归纳法证明对于 都有 ，即可
求证.
【详解】（1）当 时，
第 43 页， ，
， ；
（2）利用数学归纳法证明如下：
当 时， ， 此时成立，
假设当 时成立，即 ，
当 时，
若 ，则 ，满足 ，
若 ，则 ，满足 ，
若 ，则 ，满足 ，
所以当 时也成立；
综上所述：对任意的正整数 ，都有 ；
（3）每一个非负整数都在数列 中出现，证明如下：
对于任意的非负整数 ，考虑 ，
由（2）知： ，
若 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，下面证明：对于 都有 ，
当 时，成立，
假设当 时成立， 且
则 ，故 时也成立，
所以 ， ，
故 ，则 ，
， ，
取 ，则 ，
从而 在数列中出现，故每一个非负整数都在数列 中出现.
【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念法则、运算化归到常
规的数学背景中，运用数学归纳法解决与正整数有关的问题.
第 44 页第 45 页
